苏教版高中数学知识点

第一讲集合

一、知识精点讲解

1.集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若。是集合4的元素，记作“wZ；若6不是集合4的元素,

记作6史A；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设力是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是｛的元素，或者

不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因

此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号｛｝内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的•般符号及取值（或变化）范围，再

画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，'

般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N,；

整数集，记作Z有理数集，记作Q；实数集，记作R。

2.集合的包含关系：

（1）集合/的任何一个元素都是集合8的元素，则称/是8的子集（或8包含4）,

记作/=8（或NuB）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若Z=8且则称/等于8,记作/=8：

若ZqB且/力8,则称/是8的真子集，记作/B；=

（2）简单性质：1）/=4；2）①3）若4=BQC,则4=C；4）若集合N

是n个元素的集合，则集合力有211个子集（其中2"—1个真子集）；

3.全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

（2）若S是一个集合，A^S,则，Cs=｛x|xeS小W/｝称S中子集4的补集；

4.交集与并集：

（1）一般地，山属于集合工且属于集合8的元素所组成的集合，叫做集合4与8的交

集。交集/=｛x|xeNJlxe8｝。

（2）一般地，由所有属于集合/或属于集合8的元素所组成的集合，称为集合4与8

的并集。并集ZDB=｛x|x€/或xe8｝。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集

的关键是“且”与“或。在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、

挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

第二讲函数概念与表示

一、知识精点讲解

1.函数的概念：

设48是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系/,使对于集合/中的任意一个

数x,在集合3中都有唯一确定的数7(x)和它对应，那么就称f为从集合/到集合8

的一个函数。记作：y=J{x),xSJo其中，x叫做自变量，x的取值范围/叫做函数的定义域：

与X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(Xx)|xGN}叫做函数的值域。

注意：(1)“月⑴”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“尸g(x)”；

(2)函数符号“产加0”中的火x)表示与x对应的函数值，•个数，而不是/乘X。

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

(1)解决•切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：

①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，

偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等)；

②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难

点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；

③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

(2)求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函

数的值域问题。

①配方法(将函数转化为二次函数)；②判别式法(将函数转化为二次方程)：③不等

式法(运用不等式的各种性质)；④函数法(运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函

数图象等)。

3.两个函数的相等：

函数的定义含有三个要素，即定义域2、值域C和对应法则f当且仅当两个函数的定

义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4.区间：区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

5.映射的概念

一般地，设/、8是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则/,使对于集合/

中的任意一个元素x,在集合8中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应fATB

为从集合Z到集合8的一个映射。记作ATB”。

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意

两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就

叫映射。

注意：(1)这两个集合有先后顺序，4到8的射与8到/的映射是截然不同的.其中/

表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。

(2)“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

6.常用的函数表示法：(1)解析法：(2)列表法：(3)图象法：

7.分段函数

若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称

分段函数；

8.复合函数

若V或u)，u=g(x)/e(a,h),ue(m,n),那么产y[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，

它的取值范围是g(x)的值域。

第三讲函数的基本性质

一、要点精讲

1.奇偶性

（1）定义：如果对于函数大X）定义域内的任意X都有人—x）=-Ax）,则称Hx）为奇函数；

如果对于函数兀0定义域内的任意X都有人一x）yx）,则称火X）为偶函数。

如果函数/（X）不具有上述性质，则人X）不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，

则./（X）既是奇函数，又是偶函数。

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②山函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任

意一个X,则一X也•定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定7（-X）与/（X）的关系；

®作出相应结论：

若/（-x）=Ax）或7（-x）-/（x）=0,则"）是偶函数；

若大-x）=一/）或.火一x）+/（x）=0,则危）是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函

数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设/（X），g（x）的定义域分别是那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇、奇=偶，偶+偶=偶，偶乂偶=偶，奇乂偶=奇

2.单调性

（1）定义：一般地，设函数月（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D

内的任意两个自变量为，X2，当为＜处时，都有兀V。勺（X2）（/3）次应）），那么就说＜x）在区间

D上是增函数（减函数）；

注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间。内的任意两个自变量制，X2；当X|VX2时，总有｛X］）＜/（X2）

（2）如果函数产Ax）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=/（x）在这一区

间具有（严格的）单调性，区间。叫做内（X）的单调区间。

（3）设复合函数产y［g（x）］,其中"=g（x）,N是y=/［g（x）］定义域的某个区间，B是映射g:

xfw=g（x）的象集：

①若w=g（x）在4上是增（或减）函数，尸犬"）在8上也是增（或减）函数，则函数片

./［g（x）］在Z上是增函数；

②若w=g（x）在4上是增（或减）函数，而产.火〃）在8上是减（或增）函数，则函数尸/［g（x）］

在/上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤：

©任取X2G。，且X|〈X2；

@作差府）一加2）；

®变形（通常是因式分解和配方）；

©定号（即判断差《修）一/（必）的正负）；

©卜结论（即指出函数大X）在给定的区间。上的单调性）。

(5)简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数/(x)+增函数g(x)是增函数；

减函数/(x)+减函数g(x)是减函数；

增函数/(X)-减函数g(x)是增函数；

减函数/(X)-增函数g(x)是减函数。

3.最值

(1)定义：

最大值：一般地，设函数月(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：①对于任意的x

£/.都有7(x)WM：②存在xoG1,使得./(xo)=M。那么，称M是函数y=")的最大值。

最小值：一般地，设函数片信)的定义域为/，如果存在实数M满足：①对于任意的x

£/,都有犬x)》M；②存在xoG1,使得.危o)=M。那么，称M是函数产女)的最大值。

注意：

①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在使得兀v°)=M；

②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的xe/,都有/(x)

WM

(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法：

①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值；

②利用图象求函数的最大(小)值；

®利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

如果函数内(x)在区间口，6］上单调递增，在区间［6,c］上单调递减则函数产危)在尸6

处有最大值.犬6);

如果函数片布)在区间口，6］上单调递减，在区间［Ac］上单调递增则函数产/(x)在尸方

处有最小值负6);

4.周期性

(D定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有｛x+7)=/(x),

则称/(x)为周期函数；

(2)性质：颂x+7>/(x)常常写作/(x+g)=/(x—g),若左)的周期中，存在一个最小

的正数，则称它为<x)的最小正周期；②若周期函数,/(x)的周期为T,则.火3万)(370)是

周期函数，且周期为工。

第四讲基本初等函数

一、要点精讲

1.指数与对数运算

（1）根式的概念：

①定义：若一个数的〃次方等于且〃eN*）,则这个数称。的〃次方根。即若

x"=a,则x称a的〃次方根〃>1且”eN*）,

1）当〃为奇数时，a的〃次方根记作后；

2）当〃为偶数时，负数。没有〃次方根，而正数。有两个〃次方根且互为相反数，记

作士后（a〉0）。

②性质：1）④）"=a；2）当〃为奇数时，行=a；

t—a(a>0)

3)当片为偶数时，=\a\={o

-<0)

(2).累的有关概念

①规定：1)an=a-a..a(nGN*；2)。°=1(。00)；

、________)

Y

n个

1-

3)a-p=-y(pcQ,4)a"=Na"(a>O.m且”1）。

②性质：1)ar-as=arJrs(a>0,r>seQ)；

2）（d『二o''（a〉0,、seQ）；

3）（a-by=ar-br（a>0,/>>0,reQ）。

（注）上述性质对r、SER均适用。

（3）.对数的概念

①定义：如果a（a>0,月。K1）的6次事等于N,就是/=N,那么数b称以a为底

N的对数，记作log0N=6,其中“称对数的底，N称真数。

1）以10为底的对数称常用对数，log1°N记作IgN；

2）以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称自然对数，log,N,记作InN；

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）log“l=0；

3）log“a=l；4）对数恒等式：a'""=N。

③运算性质：如果a>0,a^0,M>0,N>0,则

1）log„（W）=logaM+logaN；

M

2）logfl-=log„M-logaN■,

n

3）log^M=^logrtGR）o

logN

④换底公式：log,N=-3「（a〉0,。w0,加>0,m手1,N>0）,

log,”a

1）logb-log；,a=l-,2）logb"=—log„/>»

flm

2.指数函数与对数函数

（1）指数函数：①定义：函数歹=优（。>0,且4/1）称指数函数,

1）函数的定义域为R；2）函数的值域为（0,+8）：

3）当0<。<1时函数为减函数，当a>1时函数为增函数。

②函数图像：

（2）对数函数：①定义：函数y=log“x（a>0,月。w1）称对数函数,

a>l0<a<l

y，

y=logax_________

o

（1）定义域：（0,+8）

（2）值域:R

（3）过点（1,0）,即当x=l时，y=0

(4)x£(0,1)时X£(0,l)时"0

》<0

XG(L+8)时y<0

X€(1,+00)时

y>0

（5）在（0,+8）上是增函在（0,+8）上是减函数

数

第五讲函数图象及数字特征

一、知识精点讲解

1.函数图象

(1)作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法。

作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化筒函数的解析式；③讨论函数的性质即

单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势)；④描点连线，画出函数的图象。

用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的

变换。

(2)三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

①平移变换：

I、水平平移：函数_y=/(x+a)的图像可以把函数y=/(x)的图像沿x轴方向向左

(“〉0)或向右(a<0)平移||个单位即可得到；

左移〃右移〃

1)y=f(,x)-»y=/(x+h)；2)y=j(x)->月(x-h)；

IK竖直平移：函数歹=/(x)+a的图像可以把函数y=/(x)的图像沿x轴方向向上

(a>0)或向下(a<0)平移|。|个单位即可得到：

上移〃下移〃

1)y=fix)-»Tx)+h；2)y=f(x)T词x)-h.。

②对称变换：

I、函数y=/(-x)的图像可以将函数歹=/(x)的图像关于y轴对称即可得到；

询

y=fix)-^y=A-x)

IK函数y=-/(x)的图像可以将函数y=/(x)的图像关于x轴对称即可得到

第

y=f(x)-尸TW

III,函数y=-/(-%)的图像可以将函数y=/(x)的图像关于原点对称即可得到

原点

y=f(x)-^y=-fi-x)

IV、函数x=f(y)的图像可以将函数y=/(x)的图像关于直线y=x对称得到

直线片X

y=Ax)x=fiy)

V、函数N=/(2a—x)的图像可以将函数夕=/(x)的图像关于直线x=a对称即可得

直线x=a

EMfy=flla-x).

③翻折变换：

I、函数y=|/(x)|的图像可以将函数y=/(x)的图像的X轴下方部分沿X轴翻折到

X轴上方，去掉原X轴下方部分，并保留y=/(x)的X轴上方部分即可得到；

II、函数y=/(|x|)的图像可以将函数y=/(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替

代原y轴左边部分并保留y=/(x)在y轴右边部分即可得到.

④伸缩变换:

I、函数歹=qf(x)(“>0)的图像可以将函数y=/")的图像中的每一点横坐标不变

纵坐标伸长(a>1)或压缩(0<。<1)为原来的。倍得到;

yxa

y=fix)-^y=afix)

IK函数y=/(ax)(a>0)的图像可以将函数y=/(x)的图像中的每一点纵坐标不变

横坐标伸长(a>1)或压缩(0<a<l)为原来的!倍得到。

a

xxa

f{x},y=f{x}Ty=f(ax)

(3)识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。

2.2函数

在考查学生对塞函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的塞函数歹=x"

中a限于在集合1—2,-1,1,2,31中取值。

I232J

塞函数有如下性质：

⑴它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；

⑵定义域为R或的密函数都具有奇偶性，定义域为&+或［0,+8］的

幕函数都不具有奇偶性；

⑶黑函数丁=》«。工0）都是无界函数；在第一象限中，当a<0时为减函数，当a〉0

忖为增函数：

⑷任意两个黑函数的图象至少有一个公共点（1,1）,至多有三个公共点；

第六讲函数与方程

一、知识精点讲解

1.方程的根与函数的零点

(1)函数零点概念：对于函数y=/(x)(xw。)，把使/(x)=0成立的实数X叫做函

数》=f(x)(xe。)的零点。

函数零点的意义：函数y=/(x)的零点就是方程/(x)=0实数根，亦即函数y=/(x)

的图象与x轴交点的横坐标。即：方程/(x)=0有实数根=函数y=/(x)的图象与x轴

有交点=函数y=/(x)有零点。

二次函数y=办2+6x+c(aw0)的零点：

1)△>0,方程分2+6x+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点,

二次函数有两个零点；

2)△=0,方程⑪2+乐+。=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴

有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

3)A<0,方程方2+&+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数

无零点。

零点存在性定理：如果函数卜=/(x)在区间出力］上的图象是连续不断的条曲线，并

且有/(。)/(6)<0,那么函数y=/(x)在区间(。,6)内有零点。既存在ce(a,6),使得

/(c)=0,这个c也就是方程的根。

2.二分法

二分法及步骤：

对于在区间［a,b］上连续不断，且满足/(。)•/(6)<0的函数y=.f(x),通过不断

地把函数/(x)的零点所在的区间吩为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零

点近似值的方法叫做二分法.

给定精度£,用二分法求函数/(%)的零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间口，b］,验证/⑷•/(b)<0,给定精度£；

(2)求区间区,6)的中点再；

（3）计算/（xj：

①若/区）=0,则再就是函数的零点;

②若/⑷•/（Xj）＜0,则令6=修（此时零点/w（凡再））；

③若/区）•/（6）＜0,则令。=再（此时零点,£（%,6））；

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件/（。）・/（6）＜0表明用二分法求函数

的近似零点都是指变号零点。

3.二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a（x—x\）（x—X2）;y=a（x—x（））2+na

（2）当4＞0,段）在区间［p,q\上的最大值最小值优，令xo=；0+夕）。

若一一＜p，则/（p）=〃7,他尸M；

2a

若pW—，-＜x。,则/（—，-）=〃?，尸M;

若xoW-3vq,则/（p）=M,＜一二）=加；

la2a

若一则加尸A/,人夕尸以。

（3）二次方程/（x）=a?+打+c=o的实根分布及条件。

①方程/x）=0的两根中一根比厂大，另一根比厂小＜=＞a•.〃）＜（）；

A=Z)2-4ac>0,

b

②二次方程小）=0的两根都大于厂O＜-->r,

2a

q/O。

A=-4ac>0,

b

P<~—

③二次方程/（x）=0在区间⑦，夕）内有两根u＞＜2a

。•/⑷>0,

"(p)>0;

④二次方程/a尸0在区间S，9）内只有一根0加）・火夕）V0,或加尸0（检验）或/日尸0（检

验）检验另一根若在⑦，夕）内成立。

第七讲空间几何体

一、知识精点讲解

1.柱、锥、台、球的结构特征

⑴柱

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公

共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的

底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底

面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做

圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什

么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；

(2)锥

棱锥：•般的有一个面是多边形，其余各面都是有个公共顶点的三角形，由这些面所

围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫

做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围

成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜

边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

(3)台

棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的

底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的

底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

(4)球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;

半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

(5)组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

2.空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：

(1)正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和长度；

(2)侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和宽度；

(3)俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图：

它能反映物体的长度和宽度；

第八讲空间几何体的表面积和体积

一、知识精点讲解

1.多面体的面积和体积公式

名称侧面积(S01)全面积(S企)体积(V)

棱柱直截面周长XI

棱S底•h=S直截面•h

柱S侧+2S底

直棱柱chS底•h

棱锥各侧面积之和

梭%・h

S侧+S底

锥正棱锥-chy

2

棱台各侧面面积之和

S侧+S上底+S卜~h(S上底+S卜底

棱

1,,

台正棱台-(c+J

底+Js卜底.S卜底)

表中S表示面积，c'、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h'表示斜高，1表示侧

棱长。

2.旋转体的面积和体积公式

名称圆柱圆锥圆台球

S侧冗rl

2ndn(ri+r2)l

”(ri+r)l+n(r2!+r2)

222

S全2nr(l+r)nr(l+r)4nR

22

；nh(r|+r|r2+r2)

V冗r2h(BPnr2l)—nr^h-JiR3

33

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，中「2分别表示圆台上、

下底面半径，R表示半径。

第九讲空间中的平行关系

一、复习目标要求

1.平面的基本性质与推论

借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间

线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：

♦公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；

♦公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

♦公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直

线；

♦公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；

♦定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

2.空间中的平行关系

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，

认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳

出以下判定定理：

♦平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；

♦一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；

通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

♦一条直线与•个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面交线与该直线平行；

♦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；

♦垂直于同•个平面的两条直线平行

能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

二、要点精讲

1.平面概述

(1)平面的两个特征：①无限延展②平的(没有厚度)

(2)平面的画法：通常画平行四边形来表示平面

(3)平面的表示：用一个小写的希腊字母a、夕、y等表示，如平面a、平面力；用

表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。

2.三公理三推论：

公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：

As/,Be/,Asa,Bea=>/ua

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的

集合是一条过这个公共点的直线。

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。

3.空间直线：

（1）空间两条直线的位置关系：

相交直线——有且仅有一个公共点；

平行直线——在同一平面内，没有公共点；

异血直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直

线。

异面直线的画法常用的有下列三种：

（2）平行直线：

在平面几何中，平行于同•条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。

即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直

线是异面直线。推理模式：与。是异面直线。

4.直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。

它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为aua,aHa=A,alia.

线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那

么这条直线和这个平面平行。推理模式:

a（ta、bua,a//b=aHa.

线面平行的性质定理：如果•条直线和个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相

交，那么这条直线和交线平行。推理模式：alla,aup,anp=b=a/lb.

5.两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公

共点）

（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，

那么这两个平面平行。

auB

定理的模式：S

a[yb=P,na//£

alla

b//a

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么

这两个平面互相平行。

推论模式：aC\b=P,aua,bua,推Ob'=P\du°,b'ua.bllb'=aH0

（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于

另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

第十讲空间中的垂直关系

一、知识精点讲解

1.线线垂直

判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直

于另一条。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的

射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平血内的一条直线，如果和这个平面的一条

斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。

POVa,O&a

推理模式：PAV\a=A

auJ-AP

注意：⑴三垂线指PA,PO,AO都垂直a内的直线a.其实质是：斜线和平面内•条直

线垂直的判定和性质定理.⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。

2.线面垂直

定义：如果一条直线/和一个平面a相交，并且和平面a内的任意一条直

线都垂直，我们就说直线/和平面a互相垂直.其中直线/叫做平面的垂线，平a\J//

山面a。叫做直线/的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。直线/与平面a垂直记作：■，方.」7,

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直4t-----------斗

线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3.面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：（线面垂直=面面垂直）

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：（面面垂直=线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平

面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

第十一讲直线、圆的方程

一、知识精点讲解

1.倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜

角，范围为［0,乃）。

2.斜率：当直线的倾斜角不是90°时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tona；

当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在。

过两点Pl（x0）,p2（x2,y2）（Xl=X2）的直线的斜率公式:k=tana=上一~—（若勺=应，则直

x2-x1

线p1P2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°）。

4.直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形

式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

名称方程说明适用条件

k——斜率倾斜角为90°的直线不

斜截式y=kx+b

b——纵截距能用此式

Go,则）----直线上倾斜角为90°的直线不

点斜式y-yo=k(x-xo)

已知点，k——斜率能用此式

――乂_X—「8,力），3,及）是直线上与两坐标轴平行的直线

两点式

%-乂x2-%1两个已知点不能用此式

4九1a一直线的横截距过（0,0）及与两坐标轴

截距式

ahh——直线的纵截距平行的直线不能用此式

ACC

---，----,----分别为

一般式Ax+By+C=QBAB

/、8不能同时为零

斜率、横截距和纵截距

5.圆的方程

圆心为C（a,6）,半径为厂的圆的标准方程为：（x—a）2+3-6）2=/（,•〉（））。特殊

地，当。=6=0时，圆心在原点的圆的方程为：x2+y2=r2.

圆的一般方程/+/+瓜+切+/=0,圆心为点（―£,—g）,半径

r=g+"上竺,其中。2+后2一4尸〉。。

2

二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F^0,表示圆的方程的充要条件是：

①、》?项/项的系数相同且不为0,即/=。力0；

②、没有9项，即8=0；③、D2+E2-AAFyO.

第十二讲直线、圆的位置关系

一、知识精点讲解

1.直线h与直线b的的平行与垂直

(1)若L，12均存在斜率且不重合：

①1幽2<=>k[=k2；J_bok]k2=~'1。

(2)若/]:A^x+B^y+Cj=0,/2•-vB1y4-C2—0

若小、42、B、、%都不为零。

①11//120区=刍_#5;

HB?C2

®h_Lh<^>小42+8182=0；

③h与b相交O幺H殳；

“2

④h与b重合o区=旦=6；

A2B2C2

注意：若小或当中含有字母，应注意讨论字母=0与W0的情况。两条直线的交点:两

条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。

2.距离

(1)两点间距离：若A(x”yJ,B(X2，y2)，则=八/一匹产+(力—子>

特别地：AB//X轴,则|AB|=|再-/1、AB〃y轴，则|AB|=|乃—%|。

(2)平行线间距离：若4:Ax+By+C}=0,l2:Ax+By+C2=0,

|C.-Cd

则：''-1o注意点:x,y对应项系数应相等。

VA2+B2

(3)点到直线的距离：P(xo,yJ,1:Ax+By+C=0,贝UP至U1的距离为：

工|Ax。+By。+C|

A2+B2

3.直线4<：+87+。=0与圆。一。)2+(y—b)2=/的位置关系有三种

\Aa+Bh-^C\.、

(1)若I」「二，尸o相禺=A<0；

jT+京

(2)d=〃=相切=A=0；

(3)/<〃<=>相交=A〉00

[AxBy+C=0

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组，；求解，通过解

[x2+y2+Dx+Ey+F^O

的个数来判断：

（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；

（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；

（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C到直线1

的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：

相切Od=r=△=0；

相交"d〈r=A>0；

相离Od>rO△<0。

4.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为Oi，半径分别为r”r2>|O,（92|^^O

d>八+々=外离<=>4条公切线；

d=八+々o外切。3条公切线；

卜一&|<d<外+々o相交<=>2条公切线；

1=h-々|=内切=1条公切线；

0<目<卜1一々|=内含o无公切线；

外切

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。

第十三讲任意角的三角函数及诱导公式

一、知识精点讲解

1.任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射

线由原来的位置0Z,绕着它的端点。按逆时针方向旋转到终止位置。8,就形成角a。旋

转开始时的射线。/叫做角的始边，。8叫终边，射线的端点O叫做叫a的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形

成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2.终边相同的角、区间角与象限角

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）

在第儿象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴匕就认为

这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角，它们彼此相差2kn（kez）,即Be

{B|B=2kJi+a,kez},根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

TT54715乃

区间角是介于两个角之间的所有角，$lia€{a|-^a^—}=[-,—]»

66