2023届高考数学特训营第1节-计数原理

第九单元第1节计数原理2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.通过实例，理解排列、组合的概念.3.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式1.两个计数原理逻辑推理数学建模数学运算2.排列组合的综合应用0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练1．两个原理名称完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法N＝m＋n种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法N＝m×n种不同的方法[注意]

以上两个原理可以推广到多类或多步的情形．

一定作为

不同排列不同组合

n！1[探究]

排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．1．[生活拓展]“排列三”是中国福利彩票的一种，它是使用摇奖机、摇奖球进行摇奖的，“排列三”“排列五”共同摇奖，一次摇出5个号码，“排列三”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位，“排列五”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码，每日进行开奖．2．[概念辨析]两个计数原理的联系与区别原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是针对完成一件事的方法种数而言区别一每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最终结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的都是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事区别二各类方法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，既不能重复也不能遗漏3.[思想方法]排列问题与组合问题的识别方法名称识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关4.[学以致用]青岛是一座美丽的滨海城市，空气良好，城市生活也很悠闲，海水清澈漂亮，能看到美丽的海岸线，青岛的海鲜很便宜，在海滨城市边吃海鲜边吹海风很惬意，小新决定“五一”期间从枣庄乘火车到济南办事，再于次日从济南乘汽车到青岛旅游，一天中火车有3班，汽车有2班，小新从枣庄到济南共有多少种不同的走法？解：因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，从枣庄到青岛需乘一次火车再接着乘1次汽车就可以了，所以根据分步乘法计数原理，知共有3×2＝6(种)不同的走法.1．[易错诊断]六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(

)A．192种

B．216种

C．240种 D．288种B2．[教材改编]某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．答案：303．[模拟演练](2022·四川高三零模)现有4种不同颜色的涂料对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能涂同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．答案：48解析：若先给C块着色，有4种方法；再给A块着色，有3种方法；再给B块着色，有2种方法；最后给D块着色，有2种方法．由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种)着色方法．4．[真题体验](2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(

)A．60种

B．120种C．240种 D．480种C02能力特训特训点1特训点2考向1与数字有关的问题典例1用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案：1080特训点1两个计数原理【多维考向类】

与数字有关的问题的常见类型有以下4种：①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在某范围内的数；③各数字的和具有某种特征；④各数字满足某种关系．考向2涂色、种植问题典例2如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂1种颜色的涂料，其中2和9同色，3和6同色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法有(

)A．360种

B．720种C．780种 D．840种B

涂色、种植问题的四个解答策略涂色、种植问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，求解涂色、种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算；(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算；(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题．再利用(1)，(2)策略进行计算；(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准．考向3几何图形问题典例3

(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(

)A．48 B．18C．24 D．36D(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(

)A．60 B．48C．36 D．24B解析：(1)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．(2)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.几何图形问题，分析几何图形的结构特点，分清事件由哪些几何元素构成，满足什么样的几何特征才是完成一个事件．考向1相邻问题与相间问题典例4

(1)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有(

)A．12种

B．24种

C．48种 D．96种特训点2排列与组合【多维考向类】C

(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(

)A．72 B．120C．144 D．168B

考向2特殊元素(位置)问题典例5大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8个小孩，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有(

)A．18种

B．24种

C．36种 D．48种B

“特殊”优先原则常见的“在”与“不在”有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先．一般从以下三种思路考虑：(1)以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；(2)以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；(3)用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化为以下框图．当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决．考向3分配、分组问题典例6

(1)(2020·海南卷)要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，则不同的安排方法共有(

)A．2种

B．3种

C．6种 D．8种C(2)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要被平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．答案：90(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一