2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何41-50-专项训练【含答案】

二、斜率公式，万能钥匙【例2】已知两点过点的直线与线段有公共点，求直线的斜率的取值范围。【解析】解法1如图1，因为直线与线段有公共点，所以的倾斜角介于直线与直线的倾斜角之间。当的倾斜角小于时;当的倾斜角大于时.由已知，得，所以的取值范围是或。解法2设过点的直线方程为，则即解得或.考虑到端点，则或.【评注】本题解法用了下面的定理定理已知点和点及不过点的直线的方程且直线与交于点则【解析】设,已知即从而，又所以求得若点在线段上，则；若点在线段的延长线上，则;若点在线段的延长线上，则;若点与点重合，则；若点与点重合，则；若点趋于无穷远处，则.【例3】已知直线与线段（或）的延长线相交，其中求直线斜率的取值范围。【解析】解法1直线过定点,如图2，因为直线与线段（或）的延长线相交，所以或因为，所以或.解法当直线与线段相交时或即或；当直线与线段平行时，.所以当直线与线段或的延长线相交时，且解法由于直线相交于线段两侧，故，即，即解得.【例4】如图3，已知直线与线段的延长线相交，其中，，求直线倾斜角的取值范围.【解析】由于直线与线段的延长线相交，故即解得.【规律探索】有关这类问题用“公式”求解最快速，需要注意的是：若直线与线段的延长线相交，则;若直线与线段的延长线相交，则;若直线与线段的相交，则线段的端点单独考虑。【变式训练】1.已知点直线与线段相交，求实数的取值范围.2.已知点直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围.3.已知点直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围.4.已知点直线与线段相交，求实数的取值范围.5.已知点，直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围.6.已知点直线与线段的延长线相交，求实数的取值范围.三、定点直线，十大问题【例5】已知直线过定点分别交轴，轴于点求解下列问题：（1）当时，的面积的最小值是；（2）当的面积时，直线的条数为；（3）当的面积时，直线的条数为；（4）当的面积时，直线的条数为；（5）当时的最小值是；（6）当直线在轴，轴上的截距的绝对值相等时，直线的方程是；（7）若则的最小值是；（8）若则的是小值是；（9）若则周长的最小值是；（10）若则外接圆面积的最小值是；【答案】（1）（2）三条（3）四条（4）二条（8）【解析】（1）（如图1）易知可得即所以.（2）（如图2）因为所以当直线绕,点运动时，过第一、二、四象限，第一、二、三象限，第一、三、四象限各有一条直线，使得故共有三条直线满足条件.（3）（如图3）因为所以当直线绕点运动时，过第一、二、四象限有两条直线使得过第一、二、三象限有唯一的直线使得过第一、三、四象限有唯一的直线使得故共有四条直线满足条件.（4）（如图4）所以当直线绕,点运动时，过第一、二、四象限没有直线使得过第一、二、三象限有唯一的直线使得过第一、三、四象限有唯一的直线使得故共有两条直线满足条件.（5）（如图5）因为设则.当即时，取最小值.（6）（如图6）①当时，求得直线的方程为；②当时，可得或即或.直线的方程是.（7）（如图7）设，则。（8）（如图8）设，则因为所以当即时等号成立.（9）（如图9）设则令则上式化为当即时等号成立.由于三角形是直角三角形，所以其外接圆的圆心在上，故圆的面积取最小值时，即为长最小时，。【变式训练】如图11，已知直线直线过点交于点，交轴于点，求面积的最小值.四、两种对称，快速求法【例6】已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为【答案】【解析】点与点关于轴对称，则；点与点关于轴对称，则；点与点关于直线对称，则.【规律探索1】两种对称快速求法.两种对称：中心对称和轴对称.（1）点关于点的对称点为（2）点关于直线的对称点为（3）点关于直线的对称点为;（4）点关于直线的对称点为：评注点关于直线对称的两个必要条件：(1)两点连线的中点在直线上；(2)两点连线的斜率与直线斜率互为负倒数，故下面仅对（4）进行证明（其余的证明请读者自行完成）点关于直线的对称点为，可知设则从而整理得故从而评注对于(2)(3)关于点与线对称要看清对称轴斜率的绝对值是否为1，满足条件的，在求对称点时，只要直接代入，即求对称的坐标时，只要把对称轴方程写成的形式，求对称的坐标时只要把对称轴方程写成的形式.【例7】已知点轴则周长的最小值为【答案】【解析】点关于直线的对称点为点关于轴的对称，点为.连接交于点，交轴于点.此时周长的最小值为.【变式训练】1.已知直线与夹角的平分线方程为若的方程为，那么的方程是2.点关于直线的对称点为点，则的方程是3.已知一束光线通过点经直线反射.如果反射光线通过点则反射光线所在直线的方程是4.直线上有一点，它与两定点的距离之差最大，则点的坐标是5.在等腰中是边上异于的一点，光线从点出发，经，发射后又回到原点（如图1）.若光线经过的中心，则等于（）A.2B.1C.D.6.已知顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为求边所在直线的方程.7.已知点，在直线和轴上各找一点使得的周长最小，求点的坐标.五、线系方程，巧妙应用【例8】直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是【答案】【解析】设过两直线和的交点的直线系方程为即由于与平行，所以解得.故直线的方程是【评注】用直线系方程可避免求交点坐标.【规律探索】直线系方程.1．设点在直线（其中不全为零）上，则这条直线的方程可以写成.注值得我们重视的是直线表示的是过点的所有直线（即直线系)，应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止漏解或错解.2.过点且与直线（其中不全为零）平行的直线方程也可以写成.3.过点且与直线（其中不全为零）垂直的直线方程也可以写成.4.过直线与直线交点的直线系方程可以写成.【例9】求过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.【解析】设所求直线方程为（其中不全为零）。显然当或时，所得直线方程不满足题意，故均不为零.当时当时.根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则令则，整理得解得或.则或.故所求直线方程为或【评注】利用过点的直线系方程（其中不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形