2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何161-170-专项训练【含答案】

【例62】如图14，已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆的离心率为，且椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程;（2）线段是椭圆过点的弦，且，求内切圆面积最大时,实数的值.【解析】（1）设椭圆的标准方程为.因为椭圆的离心率为，且椭圆经过点，所以。又，所以.所以椭圆的标准方程为.（2）显然直线不与轴重合。当直线与轴垂直时，;当直线不与轴垂直时，设直线:代入椭圆的标准方程，整理得：.。因为，所以，故所以当直线与轴垂直时最大，且最大面积为3.设内切圆半径为，则≤3，即，此时直线与轴垂直.内切圆面积最大，所以.【例63】如图15，椭圆的中心为原点.长轴在轴上，离心率。过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，=4.（1）求该椭圆的标准方程；（2）取平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外.求△的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程.【解析】（1）由题意知，点在椭圆上，则，从而，由，从而故该椭圆的标准方程为。由椭圆的对称性，可设，又设是椭圆上任意一点，则。设，由题意，是椭圆上到的距离最小的点，因此上式中当时取得最小值。又因为，所以上式中，当时取得最小值，从而，且。由对称性知，故。所以当时，△的面积取得最大值。因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为【例64】如图16，设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，动点满足（其中不重合）。求点的轨迹的方程；过直线，上的动点作圆的两条切线，设切点分别为。若直线与（1）中的曲线交于两点，求的取值范围。【解析】（1）设点，由，得.由于点在上，则。故点的轨迹的方程为。（2）解法1设点，则所在直线的方程为：又点在上，则有：①②由①②知所在直线的方程为：设点，则圆心到的距离又由得于是于是设，则，于是设，于是设令，得。得在上单调递增，故。即的范围为。解法2用极坐标法由知。结论：当长轴时，达到最大值，当与长轴重合时达到最小值1.【例65】如图17，已知直线与椭圆相交于两点，是椭圆上一点，设直线分别与轴交于两点，为坐标原点，求证：为定值。【解析】解法1坐标法设，则，且。将代入，可得为定值。解法2仿射变换利用仿射变换，将椭圆变为圆，如图18，由于，于是四点共圆，进而有因此与相似，进而为定值。【例66】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2。（1）求椭圆的方程；（2）如图19，动直线交椭圆与两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，圆的半径为，是圆的两条切线，切点分为，求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率。【分析】（1）本小题由确定的值即可。（2）通过联立方程组化简得到一元二次方程后应用韦达定理，应用弦长公式确定及圆的半径的表达式。进一步求得直线的方程并与椭圆方程联立，确定得到的表达式，在研究其取值范围这个过程中，可以考虑利用换元思想，应用二次函数的性质及基本不等式。【解析】（1）由题意知，，所以因此椭圆的方程为。（2）设，联立方程得。由题意知，且，，所以。由题意可知圆的半径。由题设知，所以，因此直线的方程为联立方程得因此由题意可知而令，则。因此当且仅当，即时等号成立。此时，所以，因此。所以的最大值为。综上所述：的最大值为，取得最大值时，直线的斜率为。【评注】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题。解答此类题目，利用的关系，确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础，通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程，应用一元二次方程根与系数的关系。得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法——如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解，本题易错点是复杂式子的变形能力不足。本题能较好地考查考生的逻辑思维能力，运算求解能力，分析问题、解决问题的能力等。【例67】一种作图工具如图20所示，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动。且.当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为，以为原点，所在的直线为轴建立如图21所示的平面直角坐标系。(1)求曲线的方程；(2)设动直线与两定直线和分别交于两点。若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由。【解析】（1）如图22，设点，依题意，，且，所以，且即且由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得。即所求曲线的方程为。（2）如图23，当直线的斜率不存在时，直线为或，都有；当直线的斜率存在时，设直线。由消去，可得因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以△=，即①又由可得，同理可得。由原点到直线的距离为和，可得②将①代入②得，当时，；当时，。当，即，所以，当且仅当时取等号，所以当时，的最小值为8.综上可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△的面积取得最小值8.第五章双曲线拉档经典题例本章对双曲线的六大基本问题，以例题的形式进行系统梳理，尤其是与双曲线渐近线相关的问题，理清概念、校正错误、归类题型及破招技巧。例题也是学生作业易错题，难度中等，错误也有代表性，题型全面。双曲线的渐近线是椭圆抛物线都不具备的特性，应引起足够重视。为了让同学们消除错误及巩固知识，设置了与例题有关联的“变式训练"。对于有一般规律的典型问题还给出了“规律探索”，涉及的重要知识给出了“概念梳理"。为满足不同层次同学的需求还给出了“拓展提升"问题，有一定难度。一、标准方程相关问题【例1】若实数满足，则曲线与曲线的（）A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等【答案】D【解析】已知，即，双曲线的实半轴长为5，虚半轴长为，焦距为，离心率为；双曲线的实半轴长为，虚半轴长为3，焦距为，离心率为。因此,两双曲线的焦距相等，故选D【评注】双曲线系数符号定实轴，椭圆系数大小定长轴。【概念梳理】双曲线的标准方程。焦点在轴上：；焦点在轴上：。【例2】在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是。【答案】【解析】右准线方程为，渐近线为，则，，，则。【评注】已知双曲线，则渐近线；2.已知渐近线，可设双曲线标准方程为；3.双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.【例3】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为。【答案】【解析】由于，故。联立方程消去并整理得。所以，即，所以渐近线方程为。【拓展提升】已知是三角形的—个内角，且，则方程表示（）焦点在轴上的椭圆B.焦点在轴上的椭圆焦点在轴上的双曲线D.焦点在轴上的双曲线【答案】B【解析】由，得，故，故选B。【变式训练】l.设是等轴双曲线右支上一点，是左、右焦点，若，则该双曲线的方程为。2.已知双曲线的离心率为2,是左、右焦点，为双曲线上一点，且,求该双曲线的标准方程.3.双曲线的虚轴长为4，离心率，是它的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于两点，且是与的等差中项,则。离心率系列之探求【例4】已知是双曲线的—个焦点，是虚轴的一个端点，线段交于点，且，则的离心率为。【答案】【解析】设双曲线方程为，易得。故，得，所以。【评注】线段成比，求点代入。【变式训练】l已知双曲线：的左、右焦点分别为,过作双曲线的—条渐近线的垂线，垂足为，若的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为（）B.C.2D.3过双曲线：的右焦点作—条渐近线的乖线垂足为，交双曲线于点，若。则双曲线的离心率为。3.在平面直角坐标系中，双曲线：的渐近线与抛物线：（）交于点，若△的垂心为的焦点，则的离心率为。【拓展提升】1.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点若点满足，则该双曲线的离心率是。【答案】【解析】解法1由已知得双曲线的渐近线方程为，分别与联立方程组，解得。设