2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何181-190-专项训练【含答案】

四、两种焦半径焦点弦【例16】如图1，双曲线（）的左焦点引圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若为线段的中点,为坐标原点,则与的大小关系为（）A.B.C.D.不确定答案：B【解析】设已知故,由题意可知即,所以[评注]双曲线焦半径与圆相切所隐含的重要性质要熟记,并结合定义快速作答.【例17】若双曲线的左、在顶点分别为点A,B,P是双曲线在第一象限内的点.若直线PA,PB的倾斜角分别为,且,那么的值是_________.答案：【解析】由得即从而得以下过程略.【评注】这里用了对偶运算，用两式积运算时破解的关键。【例18】已知：双曲线的离心率，左右焦点分别为,左准线为L，能否在双曲线的左支上找到一点P,使得是点到L的距离与的等比中项?【解析】设因为又所以.所以所以，所以所以.是使成立的充要条件.故不存在,点满足题意.【评注】利用双曲线的第二定义是快速解题的关键。181【变式训练】已知双曲线的左、右焦点分别是其一条渐近线方程为点在双曲线线，则等于（）A.-12B.-2C.0D.4【拓展提升】若点和点分别是双曲线的中心和左焦点,为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为（）A.C.D.答案：B【解析】因为F（-2,0）是已知双曲线的左焦点，所以，即所以双曲线方程为.设点则有解得.因为所以此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为，因为,所以当时取得最小值.故的取值范围是故选.182五、中点弦的相关问题【例19】已知等腰三角形ABC的底边端点A,B在双曲线的右支上，顶点C在X轴上，且AB不垂直于X轴，则顶点C的横坐标t的取值范围_________.$AB$不垂直于轴,则顶点的横坐标的取值范围是【答案】【解析】设弦AB的垂直平分线交轴于点.设的中点,于是即即又故.【拓展提升】设点A,B是双曲线同支上两点（AB不垂直于x轴），求证：弦AB的垂直平分线一定不过焦点。【解析】设,点A,B同在右支上,弦AB的垂直乎分线交轴点于点.设的中点,，即即，故即或所以.故弦AB的垂直平分线一定不过焦点.【评注】本问题的背景实质也是以点Q为圆心的圆与双曲线恰有一个公共点，圆心位置的范围t.【例20】双曲线的动弦AB所在的直线的斜率为2，则AB中点M的轨迹方程是_________【答案】【解析】设已知则183两式相减,得故即,即。【例21】双曲线的动弦AB所在直线过定点P（4,0），则AB中点M的轨迹方程是__________【答案】【解析】设A已知：，则两式相减得即。【评注】一般地，直线过点，并且交双曲线于两点，则的中点轨迹方程为;直线过点并且交椭圆于A,B两点,则AB中点的轨迹方程为；直线过点并且交抛物线于A,B两点，则AB中点的轨迹方程为。【例22】双曲线的动弦AB所在的直线的斜率为k，则AB中点为M，则___________.【答案】【解析】设已知则两式相减得，故即即.【评注】一般地,双曲线的动弦AB所在直线的斜率为k,AB中点为M则椭圆的动弦AB所在直线的斜率为k,AB中点为M,则.【例23】试确定的取值范围,使得双曲线上有不同的两点关于直线对称.【解析】设关于直线对称的两点为中点.已知则184两式相减得即若点A,B在同支上,则中点在曲线内，于是无解;若点A,B在异支上,则中点在曲线外得【拓展提升】设平面点集其中,则所表示的平面刘形的面积为________.【答案】由图形割补即得所表示的平面图形的面积为图2图2【例24】设直线与椭圆交于不同两点A,B,与双曲线相交于不同两点C,D问是否存在直线，使得若存在,指出这样的直线条数;若不存在,请说明理由.【解析】设则.①设则.②因为所以此时.由得.所以或.由上式解得或当时，由①和②得。因为m为整数，所以m的值为-3，-2，-1,0,1,2,3;当m=0，由①和②得，因为k是整数，所以k=-1,0，1.于是满足条件的直线共有9条。185第六章抛物线拉档经典题例一、抛物线的神奇性质掠影本节对抛物线基本问题，以例题引出问题，探索总结规律并上升到定理的经典形式，展示了具有重要特性的抛物线性质，理清概念、校正错误、归类题型及破招技巧，例题也是学生作业易错题，难度中等，错误也有代表性，题型全面.为了让同学们消除错误及巩固知识，设置了与例题有关联的“变式训练”.对于有一般规律的典型问题还给出了“规律探索”，为满足不同层次同学的需求还给出了“拓展提升”问题，有一定难度.【例1】已知A，B为抛物线y=2x上两动点，且AB过抛物线内定点T（3，1）.过点A，B分别作抛物线的切线，相交于点Q.（1）求点Q的轨迹方程；（2）求过T点的中点弦所在直线的方程；（3）设过定点T平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点N，求点N处的切线方程；（4）求证点N的切线与（1）中轨迹和中点弦平行且等距离.【解析】（1）点Q的轨迹方程是x一y+3=0；（2）过T点的中点弦所在直线的方程是x一y一2=0；（3）点N处的切线方程是2x-2y+1=0；（4）由直线方程知它们平行且等距离。详细过程略，思路可参考定理1的证明。【评注】这是抛物线一点一线最神奇的性质，要深刻体会，熟练应用。【规律探索】定理1过抛物线内一定点的直线交抛物线于点A,B，过A,B两点分别作抛物线的切线，相较于点Q点Q的轨迹必为定直线；轨迹直线必与过T点的中点弦平行设过定点T平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点N，则点N处的切线也与轨迹直线平行；点N的切线与轨迹直线和中点弦等距离。【解析】设,点则切线AQ,BQ的方程为:由得整理得故由得整理得即即,从而,得到.解法由,得,即即可得186得由得解法由得.即故从而由得.（2)过点的中点弦.(3)则切线方程(4)略当定点跑到抛物线对称轴上时，即得例2【规律探索】中的定理2.【变式训练】如图1,过抛物线外一定点的直线交拋物线于A,B两点,过A,B两点分别作切线BQ,AQ，且BQ,AQ的交点为Q.求点Q的轨迹方程；过点Q平行于抛物线对称轴的直线交弦AB于点P，求证：点P为弦AB的中点；设过定点T平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点N，求点N处的切线方程；求证：点N的切线Q与点轨迹直线平行。【例2】过抛物线对称轴上一定点的直线交抛物线于点A,B,过A,B两点分别作抛物线的切线,交于点,求点的轨迹方程.【答案】点Q的轨迹方程为[评注]本题是上述一般情形的特例，再特殊一点,当点与焦点重合时,点的轨迹即为抛物线准线.【规律探索】定理2如图2，过抛物线对称轴上一定点T（t,0）的直线交抛物线于点A,B，过A,B两点分别作抛物线的切线，交于点Q，则点Q的轨迹必为定直线x=-t，当点与焦点重合时，轨迹直线与准线重合.【解析】设点则切线AQ,BQ方程为：由得于是由187整理得,即即从而得.当定点T与抛物线焦点重合时，即得下述重要定理3.定理3如图3，抛物线焦点弦端点AB处的切线BQ,AQ的交点Q的轨迹必为准线【解析】参考定理2的一般证法.【例3】过定直线上动点作抛物线的切线,切点为A,B，则求证：AB所过定点的坐标;求证：AB中点轨迹为过定点的抛物线;（3)设过定点平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点,则点处的切线与定直线平行：（4)求证:过定点的中点弦CD与定直线平行(5)求证:点的切线与定直线和中点弦等距离.【解析】设点在直线上.则由切点弦公式得直线AB的方程为.又所以得定点T(2)AB中点轨迹为过定点（3）设过定点T平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点N，则点N处的切线方程为(4)过定点的中点弦CD所在直线的方程为与定直线平行.(5)由中点弦CD方程为点的切线与定直线知它们平行且等距离.【评注】参考定理4的证明过程.【规律探索】点和抛物线切点弦的重要直线关系：点在抛物线外直线为过点的切点弦点在抛物线上直线为过点的切点弦点在抛物线内直线为与抛物线相离的直线（与切线平行）【定理4】过定直线上动点作抛物线的切线,切点为M,N，则（1）MN所在直线过定点;（2）MN中点轨迹为过定点的抛物线;（3）设过定点T，平行于抛物线对称轴的直线交抛物线于点R，而则点R处的切线与定直线平行；（4）过定点的中点弦CD与定直线平行;（5）R点的切线与定直线和中点弦等距离.【解析】（1）设，则切点连线MN所在直线方程为：由于在直线上.所以由得故则从而定点.(2)设过定点的弦MN的中点坐标为.188设则.即,从而即（3）同定理1证明.(4)由已知得定点设如图4.故即故,【定理5】抛物线的焦点在切线AP上的投影的轨迹为过顶点的切线OP.【解析】如图5设,点则切线AP方程为:因为故即即即得【定理6】抛物线的焦点关于切线AP的对称点的轨迹为准线.【解析】如图6,设,点.则切线AP的方程为.因为则.由得,由得即,手是得由得.设由于点与点关于直线AP对称，所以.189【定理7】抛物线的焦点关于切线AP的对称点与切点的连线必平行于拋物线的对称轴.【解析】如图7，由定理6的结论即得证说明:上述三题均可由定义法结合平面几何性质快速得证.【定理8】抛物线焦点弦端点AB在准线上的投影为,则.【解析】如图8，设易得定理抛物线焦点弦端点AB在准线上的投影为I,H,则I,O,B三点共线,H,O,A三点共线.【解析】如图9，设由定理