2025高考数学二轮复习-拉档提分数列170-180-专项训练【含答案】

与对数函数有机结合[例10]已知函数.(1)当时，把已知函数的图象与直线的交点横坐标依次记为求证(2)对于每一个值,设为已知函数图象上与轴距离为1的两点,求证:取任意一个正整数时,以为直径的圆都与一条定直线相切,并求出这条定直线的方程和切点坐标.解析(1)原函数可化为,由可得即.则(2)为曲线上与轴距离为1的,点,设则,又的中点到轴的距离为故以为圆心为直径的圆与轴相切，所以这条定直线为又因为圆心在轴上,所以切点为(0,0).6.与分式函数有机结合例11对任意函数可按图示构造一个数列发生器,其工作原理如下：(1)输入数据经数列发生器输出;(2)若则发生器结束工作;若则将反贵回输入端，再输出并依此规律继续下去.现定义.(1)若输入则由发生器产生数列请写出数列的所有项;（2)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据的值;(3)(理)若输入时,产生的无穷数列满足:对任意正整数$n,$均有，求的取值范围(文)是否存在,在输入数据时,该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列?若存在，求出的值;若不存在,请说明理由.解析(1)的定义域为,计算知数列只有三项:(2)令得即或,即当或时，故时时.(3)理解不等式得或要使则或,又若则故不合题意若则且依此类推，可得数列的所有项都有.综上所述由得.(文)设止得由得;由得.因为所以同时使为负数的不存在,故所求不存在.7.与分段函数有机结合设函数的图象是自原点出发的一条折线,当时,该图象是斜率为的线段(其中正常数).设数列由定义.(1)求和的表达式$;的解析式，并写出定义域当时,函数的图象是斜率为1的线段，止得.又,当时,$凵$函数的图象是斜率为的线段，故止即得.由函数图象中的第段线段斜率为可得又,所以即是首项为$1,$公比为的等比数列.因为所以.当时,由(1)知即当时当即时,止(1)知,故为求定义域,要对进行讨论当时当时.所以当时的定义域为;当时的定义域为.8.与反函数有机结合[(例13)已知函数的反函数为若数列的前项和为对所有大于1的自然数都有且,求数列的通项公式.解析因为又,所以,所以.因此累加可得,所以所以，即故数列的通项公式为拓展提升1.已知函数若在数列中求数列的通项公式.2.已知数列是递增数列试确定的取值范围.9.与抽象函数有机结合例设函数的定义域为,当时,,且对于任意的实数有成立.又数列满足且(1)求证:是上的减函数;(2)求的值;（3)若不等式对一切均成立,求的最大值.解析(1)止题设,令可得故当时,则且故得,从而可得设且则故从而即所以函数在上是减函数.(2)止得,即.止的单调性,有即,因此,是首项为1,公差为2的等差数列，从,而(3)设则且对恒成立.则有即,故,因此,即的最大值为.10.与对勾函数有机结合若定义在(0,1)上的函数满足且对任意的有则A.对任意的正数,存在使得B.存在正数对任意的使得C.对任意的且有D.对任意的且有则对给定的正数$M,$只要取定了的值,必有正整数使得取对数得,故存在使得故选数列解几，有机结合1.与抛物线的有机结合【例1】如图,已知点列在曲线上,点列在轴上,,,为等腰直角三角形（1）求(2)求证：解析(1)十题意有即即从而可得则累加得,所认(2)例如图,已知实数,曲线与直线的交点为异于原点),在曲线上取一点过点作平行于轴,交直线于点过点平行于轴,交曲线于点,接着过点作平行于轴,交直线于点过点作平行于轴,交曲线于点如此下去,可以得到点设点的坐标为(1)试用表示,并证明;(2)求证且(3)当时,求证.解析,点的坐标满足方程组所以解得,故,因为所以,故.(2)止已知,即所以,因为所以\下面用数学归纳法证明.(i)当时成立(ii)假设当时,有成立,则当时,所以所以当时命题也成立，止(1)(ii)知成立.(3)当时,,$$所以.因为所以当时,止(2)知,所以有.又因为所以,故有.评注在高考中解答此题第（2）问时，若只是由图推断而不作严格证明，得分一律不超过2分。变式训练1.在平面直角坐标系xOy中，y轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足直线在轴上的截距为点的横坐标为(1)(2)求证:存在使得对任意都有2.在抛物线内作一个半径为1的圆,使它与抛物线有两个切点,在圆的上方再作一个圆,使它与圆外切,同时与抛物线有两个切点,这样下去,得到一系列圆,试求.的方程.3.已知分别为抛物线上的点,作垂直于轴,垂直于轴,线段交抛物线于,再作垂直于轴,垂直于轴,线段交抛物线于,这样依次下去,求矩形,…的面积之和,其中.4.设抛物线的准线交轴于点,过点的直线交抛物线于$A,B$.两点.若直线的斜率依次为时,线段,的垂直平分线与对称轴的交点依次是,当时,的值.【拓展提升】1.已知顶点在坐标原点,开口向上的抛物线经过点,过点.作抛物线的切线交轴于点,过点作轴的垂线交抛物线于点,过点作抛物线的切线交轴于点,…,过点作抛物线的切线交轴于点(1)求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为求证:;(3)设若对于任意正整数,不等恒成立,求正数的取值范围.2.给定整数n≥2,设是抛物线与直线的一个交点.求证:对于任意正整数.必存在整数$k≥2$,使为抛物线与直线的一个交点.2.与圆的有机结合如图，已知在平面直角坐标系中有一系列点，对每个正整数n，以点为圆心的与轴及射线都相切，且与外切.且(1)求证:数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)设数列的各项为正,且满足,求证:（3)对于(2)中的数列,当时,求证:解析(1),点列必在射线上,所以为的半径，因为与外切，所以,解得或，因为所以即数列是等比数列，由得.(2)而,则,係加得，又所以即设,当时,，当时,,所以综上知待证不等式成立。.(3)由得则,令则因为，所以3.与直线的有机结合例4在直角坐标平面上有一点列对一切正整数$n,$点位于函数的图象上,且的横坐标构成以一为首项,-1为公差的等差数列(1)求