2025高考数学二轮复习-拉档提分数列191-200-专项训练【含答案】

事实上，当时，即，又，所以当时，故满足的所有的值为3，4，5【例11】已知有穷数列an共有2k项(整数首项设该数列的前项和为且其中常数(1)求证:数列是等比数列;(2)若数列满足求数列的通项公式；(3)若(2)中的数列满足不等式求的值.【解析】(1)止得，代入得整理得，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.(2)若止(1)得，所以数列的通项公式是.（3）由(2)知是单调递增数列，当时即当时即.原式左边由得，又于是的值为1，2，3，4，5，6，7.【例12】已知在数列中且.(1)求数列的通项公式;(2)令数列的前项和为试比较与的大小，并证明.【解析】(1)由知，由累加法得当时，，代入得时，，故.(2)解法1：时，则，记函数，所以则所以.由于此时;此时此时由于故时，此时.综上所述，当时当时.解法2：数学归纳法由猜想：.当时，成立；假设当时成立，即，，即时成立，故成立.综上所述，当时，；当时，【评注】证明无上界.无上界.【例13】.设数列的前项和为已知且，，其中，为常数，(1)求与的值；(2)求证：数列为等差数列；(3)求证：不等式对任何正整数，都成立.(1)由得把分别代入得解得(2)由(1)知，即①又②②-①得即③又④④-③得，所以，又，因此数列是首项为1，公差为5的等差数列.(3)由(2)知，.考虑即因此【例14】已知正项数列满足数列满足，且.(1)求数列的通项公式(2)求证：.【解析】(1)由得，所以从而(2)由得，由得得即，所以【例15】已知各项均为正数的数列的前项和满足且.(1)求的通项公式；(2)数列满足，并记为的前项和，求证：.【解析】(1)由解得或由题设因此又由得或因为故不成立，舍去，因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为(2)证法1：由可解得从而因此令则.因为故.特别地从而即证法2：证法1求得及.由二项式定理知当时，不等式成立.由此不等式有证法3：同证法1求得及.令.因为所以，人而【例16】已知数列的各项均为正数，且满足.(1)求数列的通项公式;(2)若恒成立，求的取值范围.(1)由题设知当时，；当时，，所以故数列的通项公式为(2)由(1)知，记则当时，，故有当时，要使得恒成立，即恒成立，由于，考察函数的单调性，因为显然当时，，所以当时，函数单调递增，又因为时，，所以当时恒成立，故的取值范围是【例17】设为等差数列的前项和，其中且.(1)求常数的值，并写出的通项公式；(2)记数列的前项和为若对任意的都有成立，求的取值范围【解析】(1)由及得.因为是等差数列，所以即，所以(2)由(1)知所以，所以，因为所以是关于的递增数列.又因为对任意的都有成立，所以即，所以，解得，又因为所以.【例18】已知在数列中记，当时，求证：(1)(2);(3)【解析】(1)因为由题意知是方程的正根，所以又可知对任何都成立.(2)由，得因为所以由及得，所以(3)由得，所以，于是故当时，，又因为，所以【例19】已知等差数列的前项和为且(1)求数列的通项公式;(2)设是否存在使得成等比数列？若存在，求出所有符合条件的，的值；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设等差数列的公差为，则由已知，得解得所以.(2)假设存在使得成等比数列，则.因为所以，所以整理得.因为所以解得因为，所以，此时故存在，使得成等比数列.【例20】已知数列满足数列满足，，数列的前项和为(1)求证：数列为等比数列;(2)求证：数列为递增数列;(3)若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围.【解析】(1)因为所以是等差数列.又所以因为所以又因为所以是以为首项为公比的等比数列.(2)因为，所以.当时，又，所以所以是单调递增数列.(3)因为当且仅当时，取得最小值，所以即所以.【例21】设为等差数列的前项和，其中且.(1)求常数的值，并写出的通项公式；(2)记数列的前项和为，若对任意的都有，求常数的最小值.【解析】(1)解法1：由及得因为是等差数列，所以即所以解法2:设公差为，由得，即所以有解得，所以(2)由(1)知所以，①②①-②得所以要使成立，即成立.记则因为所以又所以当时，恒有故存在对任意的都有成立.【例22】设数列已知.(1)求数列的通项公式;(2)求证:对任意为定值;(3)设为数列的前项和，若对任意都有・求实数的取值范围.【解析】(1)，又所以是以2为首项为公比的等比数列.所以.(2)，所以所以恒成立，即为定值.(3)由(1)(2)得可得，所以，所以，由得，因为，所以，当为奇数时随的增大而递增，则，当为偶数时随的增大而递减，则，所以的最大值为的最小值为2，由，得，解得，所以所求实数的取值范围是[2，3]【例23】如图，在平面直角坐标系中，设，有一组圆心在轴正半轴上的圆与轴的交点分别为和过圆心作垂直于轴的直线在第一象限与圆交于点(1)试求数列的通项公式;(2)设曲边形(阴影所示)的面积为若对任意恒成立，试求实数的取值范围.(1)由条件可得，所以数列是等比数又因为所以，(2)因为所以，所以且，所以所以故可得实数.【例24】已知常数满足数列满足(1)求(2)猜想的通项公式(不用给出证明)(3)求证：对成立.【解析】(1)，(2)猜想.(3)因为，所以，而由(2)知所以的符号与的符号相同，，依次类推，我们只需要证明因为，而，所以所以所以所以即【例25】已知数列的前项和是且数列满足∈(1)求数列和的通项公式;(2)设数列的前项和为是否存在实数，使得对任意正整