2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量141-150-专项训练【含答案】

十二、最低造价【例19】如图,已知等腰梯形的面积为S,高为h,求的最小值.【解析】设则,则从而,(当时取等号),即所求的最小值为十三、刚体运动【例20】如图,已知点在半价为1的上半圆上运动,以AP为边作正方形ABCP,求OB的取值范围.【解析】设则将顺时针旋转则则有即所以点的轨迹方程为.由图易得.【例21】如图，已知点在半径为1的上半圆上运动,以AP为边作正方形ABCP,求OC的取值范围【解析】设，则将逆时针旋转则则有，即所以点的轨迹方程为.由图易得【例22】如图,已知点在半径为1的上半圆上运动以AB为边作正(1)求点的轨迹方程;(2)求四边形OBCA面积的最大值.【解析】如图,设则易知AB的中点为,则将逆时针旋转则,因为.所以,从而有即可得，即点的轨迹方程为(2)如图,又.故,所以，即四边形OBCA面积的最大值为.【例23】如图，已知点在半径为1的上半圆上运动,以AB为直角边作等腰求四边形OBCA面积的最大值.【解析】设则.又则所以，即四边形OBCA面积的最大值为.十四、重心支点【例24】如图，在等边中为重心,过点的直线交AB于点N,交AC于点M.求的最值求的值。【解析】（1）因为,设则在和中，由正弦定理得所以当即时取得最大值当,即或时取得最小值(2)易知,则十五、方的定值【例25】如图，已知扇形的圆心角为,半径为1,C为的中点,D,E分别为OB,OA上的两个动点,且求的取值范围.【解析】设由余弦定理得,整理得即该方程在[0,1]上有两个根.令则有解得即十六、铁路铺设【例26】如图，某城市有一条公路从正西方沿AO通过市中心后转向东北方，沿OB铺设.现要修一条铁路L,在AO上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分视为直线段,要求市中心与铁路AB的距离为问把A,B分别设在距多远的地方才能使AB最小?并求出AB的最小值.【解析】设因为AO沿正西方向,OB沿东北方向，所以,则当且仅当时等号成立.设则又点到直线AB的距离为10.所以，当且仅当和与的距离均为时,AB最小,其最小值为十七、道路设计【例27】如图,某住宅小区的平面图为扇形AOC.小区的两个出入口设置在点和点处,有两条笔直的小路AD,DC,且拐弯处的转角为已知某人从处沿CD走到处用了10分，从处沿DA走到处用了6分.若此人步行的速度为每分50米,求该扇形的半径OA的长。（精确到1m）【解析】解法1：设该扇形的半径为r米。由题意得米米在中即，解得米.解法2:如图,连结AC,作于点H.由题意得米米在中所以米，在中，米，所以十八、最佳折叠【例28】如图，在边长为1的正的边AB,AC上分别取D,E两点，沿线段DE折叠时.顶点正好落在边BC上,则AD的长的最小值为【答案】【解析】设作关于DE的对称图形则点的对称点落在BC上.在中,有,得,故当时.十九、兔狼较量【例29】如图,直线是树林的边界,兔子和狼分别位于直线的垂线AC上的点兔)和点狼)处它们都以固定的速度奔跑,且兔子的奔跑速度是狼的两倍.如果狼比兔子早到或者与兔子同时到达点,兔子就会被狼逮住.设兔子沿线段AD进人树林,那么点应该在何处,兔子才不会被狼逮住?【解析】设是AD上任意一点，要使兔子不被逮住,则,所以,即以AE为主元的二次函数恒大干0.则进而得,所以得。【例30】在一个很大的湖边（可视湖岸为直线）停着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成角,速度为同时岸上一人从同一地点开始追小船，已知他在岸上跑的速度为在水中游的速度为问此人能否追上小船?若小船速度改变,则小船能被追上的最大速度是多少?【解析】如图，设小船的速度为，追上小船所用的时间为t，人在岸上跑的时间为在中由余弦定理得,即由得或.故此人能追上小船，小船能被追上的最大速度为二十一、海防监测【例31】如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在上点处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在的正东方处和处.某时刻，监测点收到发自静止目标的声波信号,8s后监测点收到这一信号，20s后监测点收到这一信号.在当时的气象条件下,声波在水中的传播速度是(1)设点到点的距离为分别用表示点B,C到点的距离，并求的值;(2)求静止目标到海防警开线的距离.(结果精确到)【解析】(1)依题意有因此在中,。同理得.由即,解得.(2)如图，作垂足为.在中故静止目标到海防警戒线的距离约为二十二、棚区改造【例32】如图所示为某棚户区改造建筑用地.规划建筑用地区域是半径为的圆,该圆的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地，测量可知边界(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆的半径的值;(2)因地理条件的限制,边界AD,DC不能变更,而边界AB,BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在上设计一点P,使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求出最大值。【解析】（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以,连结AC,由余弦定理得所以因为故,在中，由余弦定理得，故由正弦定理得所以（2）设则.由余弦定理得，又则当且仅当时取等号.所以即所求最大面积为二十三、广告创意【例33】如图,某公司要在A,B两地连线上的定点处建造广告牌CD,其中为顶端，AC长35米,CB长80米.设A,B在同一水平面上,从处和处看点的仰角分别为和设计中CD是铅垂方向,若要求问CD的长至多为多少？（结果精确到0.01米）（2）施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得求CD的长。（结果精确到0.01米）【解析】本题属于解三角形问题,条件可转化为即而可用CD的长表示出来，从而得到关于CD的不等式，解之可得所求结论。第（2）小题要求CD的长，可在或中解得，由此要求得AD或BD的长,然后利用余弦定理，求出CD的长.而AD或BD在中，可用正弦定理求得.(1)因为且所以,即,解得米，故CD的长至多为28.28米。（2）由题意,因为所以米.因为所以米.二十四、三圆相切【例34】如图，已知扇形AOB的圆心角为,半径为r,在扇形AOB中作内切圆，即以及与外切并与OA,OB都相切的则当为何值时,的面积最大?最大值是多