【二轮复习】高考数学 重难点08 正、余弦定理解三角形的重要模型和综合应用（新高考专用）（原卷版）

重难点08正、余弦定理解三角形的重要模型和综合应用【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三角形中的边、角计算】 3【题型2解三角形中的中线模型】 4【题型3解三角形中的倍角模型】 6【题型4解三角中的角平分线模型】 7【题型5解三角形中的等分点模型】 8【题型6三角形、四边形的面积最值或范围问题】 9【题型7三角形中的边长或周长的最值或范围问题】 11【题型8解三角形与三角函数综合】 12解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；综合考查以解答题为主，中等难度.对于解答题，主要考查正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查.【知识点1解三角形中的重要模型】1.中线模型(1)中线长定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则.(2)向量法：.2.倍角模型，这样的三角形称为“倍角三角形”．推论1：；推论2：.3.角平分线模型角平分线张角定理：如图，为平分线，则斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积．4.等分点模型如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，．【知识点2正、余弦定理解三角形的方法技巧】1.正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用正弦定理、余弦定理解三角形的主要作用是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，实现三角形边角关系的互化，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2.对三角形解的个数的研究已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.

(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明.

由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：

①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0；

②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1；

③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.

显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形内角和等于”等，此时需进行讨论.3.与三角形面积有关问题的求解思路：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.4.三角形中的最值（范围）问题的解题策略：(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）．(2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值．【题型1三角形中的边、角计算】【例1】（2023·四川绵阳·四川校考一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin(A+B)=csinB+C(1)求A；(2)已知c=3，b=1，边BC上有一点D满足S△【变式1-1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=33BC(1)求sin∠(2)若△ABC面积为3，求CD【变式1-2】（2023·云南·统考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(1)求角C；(2)若c=25，D为边BC的中点，△ADC的面积S=1且B【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）已知平面四边形ABCD，AB=6，AC=219，BC<AB(1)求∠ABC(2)若S△ABC=3S△【题型2解三角形中的中线模型】【例2】（2023下·辽宁大连·高一校联考期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2b(1)求sinC(2)若△ABC的面积为67，求AB边上的中线CD【变式2-1】（2023·青海海东·统考模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C(1)求角A的值；(2)若a=2，求BC边上的中线AD【变式2-2】（2023下·浙江湖州·高一湖州中学校考阶段练习）在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM(1)求BP的长度；(2)求∠MPN【变式2-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A,B,C(1)求角A的大小；(2)若边a=2，边BC的中点为D，求中线AD【题型3解三角形中的倍角模型】【例3】（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量m=a+c,(1)求证：C(2)求ba+【变式3-1】（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足b2(1)证明：B=2(2)求1tan【变式3-2】（2023·全国·模拟预测）记△ABC的内角A,B,C(1)判断A与B的等量关系，并证明．(2)若b=1，求△【变式3-3】（2023·云南昆明·校联考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c(1)证明：B=2(2)求a+b【题型4解三角中的角平分线模型】【例4】（2023·云南曲靖·统考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，b=23，(1)求角B的大小；(2)当△ABC面积最大时，求∠BAC的平分线AD的长．【变式4-1】（2023·山西吕梁·统考二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠A=135°，AB=2，∠ABD的平分线交AD于点

(1)求∠ABE及BD(2)若∠BCD=60°，求【变式4-2】（2023下·江西·高一校联考期末）记△ABC的内角A,B,∠ACB(1)若cosB=3(2)已知D为AB上一点，从下列两个条件中任选一个作为已知，求线段CD长度的最大值.①CD为∠ACB的平分线；②CD为边AB上的中线注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【变式4-3】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos(1)求A；(2)若D为边BC上的一点，AD为∠BAC的平分线，且AD=3，求【题型5解三角形中的等分点模型】【例5】（2023上·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知△ABC中，点D为线段AC上靠近A的四等分点，其中cos∠BDC（1）求A的值；（2）若BD=37，求△【变式5-1】（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知函数f(x)=23cosx-π2cosx+2sin2x，在△(1)求角A；(2)若b=3，c=2，点D为BC边上靠近点C的三等分点，求AD的长度．【变式5-2】（2023·湖北·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(1)判断△ABC(2)已知D为BC上一点，则当A=2π3，a=33，【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，AD为BC边上的中线，c＝1，∠BAC=(1)求AD的长度；(2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为△ABC的重心，连接EG并延长与AC交于点F，求AF【题型6三角形、四边形的面积最值或范围问题】【例6】（2023·四川乐山·统考一模）在平面四边形ABCD中，已知∠BAD=3∠BCD，AB=2，(1)若∠BDC=5(2)求△BCD面积的最大值【变式6-1】（2023·四川乐山·统考一模）已知四边形ABCD内接于圆O，AB=2，AD=2(1)若∠BDC=π3，求(2)求四边形ABCD面积的最大值.【变式6-2】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，P是边长为2的正三角形△ABC所在平面上一点（点A、B、C、P逆时针排列），且满足CP=CA

(1)若θ=π3(2)用θ表示△PAB的面积S，并求S的取值范围【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且(1)证明：|(2)若|AO|=3，|OM【题型7三角形中的边长或周长的最值或范围问题】【例7】（2023·湖南长沙·统考一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sin(1)求角B的值；(2)若a=2，求△【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）在△ABC中，内角A,B,C(1)求角A的大小；(2)若△ABC的中线AD=3【变式7-2】（2023·海南海口·校联考一模）在圆内接四边形ABCD中，已知AC=3，CD=1，∠(1)求∠ADC及AD(2)求四边形ABCD周长的最大值．【变式7-3】（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①asinB-3bcosBcosC=3在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，(1)求角B的大小；(2)若△ABC为锐角三角形，c=1，求a2【题型8解三角形与三角函数综合】【例8】（2023·上海·高三专题练习）已知f(x)=（1）求f(（2）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b【变式8-1】（2023·云南·校联考三模）已知函数fx=3sinωx(1)求fx(2)若钝角△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx(1)求函数y=(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2-b【变式8-3】（2023·全国·高一专题练习）设函数f(x)=m⋅(1)求f((2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知f(A)=2，b=1，△ABC的面积为31．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,cA．π10 B．π5 C．3π2．（2021·全国·统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与A．346 B．373 C．446 D．4733．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，∠BAC=60°,AB=2,BC=6，∠4．（2022·全国·统考高考真题）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD5．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△(1)若∠ADC=π(2)若b2+c6．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB(1)求sin∠(2)若D为