《十字相乘法》导学案

《十字相乘法》导学案一、教材分析1、教材版本：沪教版（上海）。2、册数与章节：七年级第一学期，第九章整式，第5节因式分解中的9.15十字相乘法。3、教材内容主旨整式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，而十字相乘法是因式分解中一种非常重要且实用的方法。它在简化代数式、求解方程等方面有着广泛的应用。通过学习十字相乘法，能让同学们更好地理解整式之间的关系，提高代数式运算的能力，为后续学习分式、方程等知识奠定坚实的基础。二、学情分析1、知识基础同学们在之前已经学习了整式的乘法运算，对单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等有了一定的了解。例如，对于\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)这样的式子已经熟悉，这为理解十字相乘法的原理提供了知识铺垫。但对于将一个二次三项式逆向分解成两个一次式的乘积，可能会存在一定的思维难度。2、能力水平七年级的学生正处于从具体运算向形式运算过渡的阶段，逻辑思维能力还在逐步发展。在学习十字相乘法时，可能会在观察式子的系数特征、寻找合适的分解组合等方面遇到困难。他们需要通过大量的实例练习来提高对这种方法的掌握程度。3、学习特点这个年龄段的学生对新鲜事物充满好奇心，但注意力集中的时间有限。所以在教学过程中，要采用多样化的教学方法，如有趣的实例引入、小组竞赛等，来激发他们的学习兴趣并保持他们的注意力。三、教学目标1、知识与技能目标理解十字相乘法的概念和原理，能够熟练运用十字相乘法对二次三项式\(ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)进行因式分解。例如，对于\(x^{2}+5x+6\)，能够准确地分解为\((x+2)(x+3)\)。能通过十字相乘法解决一些简单的代数式求值和方程求解问题。比如，在方程\(x^{2}3x10=0\)中，先将左边因式分解为\((x5)(x+2)=0\)，进而求出方程的解\(x=5\)或\(x=2\)。2、过程与方法目标通过对具体二次三项式的分析、分解过程，培养学生观察、分析、归纳的能力。例如，在分析\(2x^{2}+7x+3\)时，观察系数\(2\)、\(7\)、\(3\)之间的关系，尝试不同的组合，从而归纳出十字相乘法的一般步骤。经历从整式乘法到因式分解的逆向思维过程，提高学生的逆向思维能力。让学生明白乘法与因式分解是互逆的恒等变形。3、情感态度与价值观目标让学生在探索十字相乘法的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。例如，当学生成功分解出一个较复杂的二次三项式时，会获得成就感。培养学生严谨的学习态度和勇于探索的精神。在寻找系数分解组合的过程中，需要耐心和细心，这有助于养成良好的学习习惯。四、教学重难点1、教学重点十字相乘法的原理和步骤。理解如何将二次项系数和常数项分解成两个数的乘积，并且这四个数交叉相乘再相加后等于一次项系数。例如，对于\(3x^{2}+8x+4\)，二次项系数\(3=1\times3\)，常数项\(4=2\times2\)，通过十字交叉相乘\(1\times2+3\times2=8\)（一次项系数），从而得到\((x+2)(3x+2)\)。运用十字相乘法对二次三项式进行因式分解。能够准确、快速地对各种形式的二次三项式进行分解，包括二次项系数不为\(1\)的情况。2、教学难点对二次项系数和常数项进行合理分解。当二次项系数和常数项有多种分解方式时，如何准确地找到满足十字相乘条件的分解组合。比如\(6x^{2}+7x5\)，二次项系数\(6=1\times6=2\times3\)，常数项\(5=(1)\times5=1\times(5)\)，要从中找出正确的组合\(2\times5+3\times(1)=7\)（一次项系数）。当二次三项式中的系数为分数或负数时的十字相乘法运用。例如\(2x^{2}+3x+2\)，需要考虑系数的符号和分数运算的情况。五、教学方法1、讲授法在讲解十字相乘法的概念、原理和基本步骤时，采用讲授法。教师通过简洁明了的语言，向学生阐述十字相乘法的关键知识点。例如，解释二次项系数、一次项系数和常数项在十字相乘中的关系，以及如何根据系数进行分解组合。2、练习法在讲解完基本知识点后，安排大量的练习。练习内容包括简单的二次三项式分解，如\(x^{2}+3x+2\)，逐步过渡到较复杂的情况，如\(4x^{2}4x3\)。通过练习，让学生巩固所学知识，提高运用十字相乘法的能力。3、讨论法当遇到一些有多种分解可能或者较难的二次三项式时，组织学生进行小组讨论。例如对于\(8x^{2}+6x9\)，让学生在小组内讨论二次项系数\(8\)和常数项\(9\)的分解方式，以及如何找到合适的十字相乘组合。通过讨论，激发学生的思维，培养他们的合作能力。六、教学过程1、导入新课（5分钟）教师先在黑板上写出两个整式相乘的式子\((x+3)(x+2)\)，让学生运用整式乘法的知识进行计算，得到\(x^{2}+5x+6\)。然后提问：“如果现在给你\(x^{2}+5x+6\)这个式子，你们能不能把它还原成刚才那两个整式相乘的形式呢？”引发学生的思考，从而引出本节课的主题——十字相乘法。可以结合生活中的例子，比如把一个长方形的面积\(x^{2}+5x+6\)（假设长和宽都是整式）分解成两个整式表示的边长，就像把一个大的区域划分成两个小的区域一样。2、讲授新课（20分钟）十字相乘法的原理讲解以\(x^{2}+5x+6\)为例，教师在黑板上画出一个十字交叉的形式。二次项系数\(1=1\times1\)，写在十字交叉的左边；常数项\(6=2\times3\)，写在十字交叉的右边。然后交叉相乘再相加，\(1\times3+1\times2=5\)（正好是一次项系数），所以\(x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)\)。接着，再举一个二次项系数不为\(1\)的例子，如\(2x^{2}+7x+3\)。二次项系数\(2=1\times2\)，常数项\(3=1\times3\)，通过十字交叉相乘\(1\times3+2\times1=7\)（一次项系数），所以\(2x^{2}+7x+3=(x+3)(2x+1)\)。总结十字相乘法的步骤第一步：把二次项系数分解成两个因数的乘积，写在十字交叉的左边。第二步：把常数项分解成两个因数的乘积，写在十字交叉的右边。第三步：交叉相乘，将所得的积相加，如果和等于一次项系数，那么就可以写出因式分解的结果。强调注意事项当二次项系数和常数项有多种分解方式时，要耐心尝试，找到满足十字相乘条件的组合。对于系数为分数或负数的情况，要特别注意符号的运算。3、课堂练习（20分钟）教师在黑板上给出以下练习题：简单类型：\(x^{2}+4x+3\)，\(x^{2}5x+6\)，\(x^{2}+2x3\)。中等类型：\(2x^{2}+5x+3\)，\(3x^{2}7x+2\)，\(4x^{2}4x3\)。较复杂类型（可作为选做题）：\(6x^{2}+7x5\)，\(8x^{2}+6x9\)。让学生在练习本上进行练习，教师巡视课堂，及时发现学生存在的问题并给予指导。对于普遍存在的问题，如系数分解错误或者十字相乘计算错误等，教师要及时在黑板上进行纠正和讲解。4、课堂小结（10分钟）请几位同学站起来分享自己在本节课的收获，包括十字相乘法的原理、步骤以及在练习过程中的注意事项等。教师对学生的回答进行补充和总结，再次强调十字相乘法的重点和难点。例如，强调在分解系数时要全面考虑各种可能的组合，以及如何准确判断找到正确的组合。5、布置作业（5分钟）必做题：课本上关于十字相乘法的课后练习题，如练习册上的\(10\)道基础练习题，包括二次项系数为\(1\)和不为\(1\)的二次三项式因式分解。选做题：对于学有余力的同学，可以布置一些拓展性的作业，如尝试用十字相乘法解决一些简单的方程\(3x^{2}+5x2=0\)，并思考十字相乘法在解决实际问题（如面积计算、利润计算等）中的可能应用，写出自己的想法，字数在\(200\)字左右。七、教学评价1、课堂表现评价在课堂上观察学生的表现，包括是否积极参与讨论、回答问题是否准确、在练习过程中的专注度和完成情况等。对于积极参与的学生给予表扬和鼓励，对于存在问题的学生给予个别指导。2、作业评价根据学生的作业完成情况，了解学生对十字相乘法的