2024-2025学年高二物理 同步学与练（ 人教版2019必修第三册）10.6 带电粒子在电场中的曲线运动 （原卷版）

10.6带电粒子在电场中的曲线运动

学习目标

课程标准物理素养

物理观念：会从运动和力的关系的角度分析带电粒子在匀强电场中的加速问

题。知道带电粒子垂直于电场线进入匀强电场的特点。了解示波管的工作原

理。

3.1.5能分析带电粒子在科学思维：带电粒子垂直于电场线进入匀强电场后，能对偏移距离、偏转角

电场中的运动情况，能解度、离开电场时的速度等物理量进行分析和计算。

释相关的物理现象。科学探究：通过解决带电粒子在电场中加速和偏转的问题，加深对牛顿运动

定律和功能关系两个角度分析物体运动的认识，以及将匀变速曲线运动分解

为两个方向上的简单运动来处理的思路的认识。

科学态度与责任：体会静电场知识对科学技术的影响。

02思维导图

电场中的力、电综合问题

1．带电粒子在电场中的运动

(1)分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然

后选用恰当的规律解题。

(2)受力特点：在讨论带电粒子或其他带电体的静止与运动问题时，重力是否要考虑，关键看重力与其他力

相比较是否能忽略。一般来说，除明显暗示外，带电小球、液滴的重力不能忽略，电子、质子等带电粒子

的重力可以忽略，一般可根据微粒的运动状态判断是否考虑重力作用。

2．处理带电粒子(带电体)运动的方法

(1)结合牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律解题。

(2)用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理思路

①利用初、末状态的能量相等(即E1＝E2)列方程。

②利用某些能量的减少等于另一些能量的增加列方程。

(3)常用的两个结论

①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。

②若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。

03知识梳理

（一）课前研读课本，梳理基础知识：

一、带电粒子在匀强电场中的偏转

1．运动情况：带电粒子以初速度v0垂直电场方向进入匀强电场中，则带电粒子在电场中做类平抛运动，如

图所示。

2．处理方法：将带电粒子的运动分解为沿初速度方向的运动和沿电场力方向的运

动。根据运动的合成与分解的知识解决有关问题。

l

3．基本关系式：运动时间t＝，

v0

FqEqU

加速度a＝＝＝，

mmmd

1

偏转量y＝at2＝，

2

vyat

偏转角θ的正切值tanθ＝＝＝。

v0v0

4．两个结论

(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。

12

证明：由qU0＝mv0

2

11qU1l

y＝at2＝··()2

22mdv0

qU1l

tanθ＝

2

mdv0

2

U1lU1l

得y＝，tanθ＝

4U0d2U0d

可见y和tanθ与粒子的q、m。

(2)粒子经电场偏转后射出，合速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子匀速位移的，

l

即O到偏转电场边缘的距离为。

2

5．功能关系

1212U

当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv－mv0，其中Uy＝y，指初、末

22d

位置间的电势差。

二、带电粒子在交变电场中的曲线运动

1．常见的交变电场

常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。

2．常见的题目类型

粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)。

3．思维方法

(1)注重全面分析(分析受力特点和运动规律)：抓住粒子的运动具有周期性和在空间上具有对称性的特征，求

解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。

(2)从两条思路出发：一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系。

二、带电粒子(带电体)在电场和重力场中的曲线运动

1．等效重力场

物体在匀强电场和重力场中的运动，可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可

形象称之为“等效重力场”。

2．方法应用

(1)求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力。

F合

(2)将a＝视为等效重力加速度。

m

(3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最高点”；

注意：这里的最高点不一定是几何最高点。

(4)将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解。

04题型精讲

【题型一】类平抛、类斜抛问题

【典型例题1】如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电

容器板长和板间距离均为L＝10cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10cm，在电容器两

极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示。(每个电子穿过平行板的时间都极短，

可以认为电压是不变的)求：

(1)在t＝0.06s时刻进入电容器的电子打在荧光屏上的何处；

(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长。

【典型例题2】(多选)如图所示，有一匀强电场平行于平面xOy，一个带电粒子仅在电场力作用下从O点运

动到A点，粒子在O点时速度沿y轴正方向，经A点时速度沿x轴正方向，且粒子在A点的动能是它在O

点时动能的3倍。关于粒子在OA段的运动情况，下列判断正确的是()

A．该带电粒子带正电荷

B．带电粒子在A点的电势能比在O点的电势能小

C．这段时间中间时刻粒子的动能最小

D．加速度方向与y轴正方向之间的夹角等于120°

【对点训练1】如图所示，A、B两个带正电的粒子，所带电荷量分别为q1与q2，质量分别为m1和m2。它

们以相同的速度先后垂直于电场线从同一点进入平行板间的匀强电场后，A粒子打在N板上的A′点，B粒

子打在N板上的B′点，若不计重力，则()

A．q1＞q2B．m1＜m2

q1q2q1q2

C.＞D.＜

m1m2m1m2

【对点训练2】（多选）如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于

过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知()

A．Q点的电势比P点高

B．油滴在Q点的动能比它在P点的大

C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大

D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小

【题型二】变速圆周运动中的绳模型、杆模型

【典型例题3】如图，一光滑绝缘半圆环轨道固定在竖直平面内，与光滑绝缘水平面相切于B点，轨道半

3mg

径为R。整个空间存在水平向右的匀强电场E，电场强度大小为，一带正电的小球质量为m、电荷量为

4q

R

q，从距离B点为处的A点以某一初速度沿AB方向开始运动，经过B点后恰能运动到轨道的最高点C。

3

重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：

(1)带电小球从A点开始运动时的初速度v0；

(2)带电小球从轨道最高点C经过一段时间运动到光滑绝缘水平面上D点(图中未标出)，B点与D点的水平

距离。

【典型例题4】如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O

是圆心，AB是竖直方向的直径。一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP

与竖直方向的夹角θ＝37°。不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：

(1)电场强度E的大小；

(2)若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件。

【对点训练3】如图所示，水平绝缘粗糙的轨道AB与处于竖直平面内的半圆形绝缘光滑轨道BC平滑连接，

半圆形轨道的半径R＝0.4m，在轨道所在空间存在水平向右的匀强电场，电场线与轨道所在的平面平行，

电场强度E＝1.0×104N/C。现有一电荷量q＝＋1.0×10－4C，质量m＝0.1kg的带电体(可视为质点)，在水

平轨道上的P点由静止释放，带电体恰好能通过半圆形轨道的最高点C，然后落至水平轨道上的D点(图中

未画出)。取g＝10m/s2。试求：

(1)带电体运动到圆形轨道B点时对圆形轨道的压力大小；

(2)D点到B点的距离xDB；

(3)带电体在从P开始运动到落至D点的过程中的最大动能(结果保留3位有效数字)。

mg

【对点训练4】如图所示，CD左侧存在场强大小为E＝，方向水平向左的匀强电场，一个质量为m、电

q

荷量为q的光滑绝缘小球，从底边BC长L，倾角α＝53°的直角三角形斜面顶端A点由静止开始下滑，运动

到斜面底端C点后进入一细圆管内(C处为一小段长度可忽略的圆弧，圆管内径略大于小球直径)，恰能到达

D点，随后从D离开后落回到斜面P点，重力加速度为g(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)。

(1)求DA两点间的电势差UDA；

(2)求圆管半径r；

(3)求小球从D点运动到P点的时间t。

【题型三】交变电场、组合场中的运动

【典型例题5】如图甲所示，A、B是两块水平放置的足够长的平行金属板，B板接地，A、B两极板间电压

随时间的变化情况如图乙所示，C、D两平行金属板竖直放置，中间有两正对小孔O1′和O2，两板间电压

为U2。现有一带负电粒子在t＝0时刻以一定的初速度沿AB两板间的中轴线O1O1′进入，并能从O1′沿

O1′O2进入C、D间。已知粒子的带电荷量为－q，质量为m，(不计粒子重力)求：

(1)粒子刚好能到达O2孔时，则该粒子进入A、B间的初速度v0为多大；

(2)在(1)的条件下，A、B两板长度的最小值；

(3)A、B两板间距的最小值。

【典型例题6】如图所示，两平行金属板A、B长为L＝8cm，两板间距离d＝8cm，A板比B板电势高300

V，一带正电的粒子电荷量为q＝1.0×10－10C、质量为m＝1.0×10－20kg，沿电场中心线RO垂直电场线飞

6

入电场，初速度v0＝2.0×10m/s，粒子飞出电场后经过界面MN、PS间的无电场区域，然后进入固定在O

点的点电荷Q形成的电场区域(设界面PS右侧点电荷的电场分布不受界面的影响)。已知两界面MN、PS相

距为12cm，D是中心线RO与界面PS的交点，O点在中心线上，距离界面PS为9cm，粒子穿过界面PS

做匀速圆周运动，最后垂直打在放置于中心线上的荧光屏bc上。(静电力常量k＝9.0×109N·m2/C2，粒子的

重力不计)

(1)求粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离为多远；到达PS界面时离D点为多远；

(2)在图上粗略画出粒子的运动轨迹；

(3)确定点电荷Q的电性并求其电荷量的大小。

【对点训练5】在图甲所示的极板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周

期为T，现有一电子以平行于极板的速度v0从两板中央OO′射入．已知电子的质量为m，电荷量为e，不

计电子的重力，问：

(1)若电子从t＝0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为多少？

(2)若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？

(3)若电子恰能从OO′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？

【对点训练6】如图所示，真空中水平放置的两平行金属板间有一匀强电场，板长为L，一电荷量为＋q(q>0)，

质量为m的小球从两板中央以水平速度v0射入板间，小球离开电场后恰能垂直打在距离金属板右端2L的

屏M上，已知重力加速度为g。求：

(1)板间电场强度E的大小和方向；

(2)板间电势差U要满足什么条件？

05强化训练

01

【基础强化】

1．如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线

为一带负电的质点仅在电场力的作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点，据此可知

()

A．三个等势面中，c的电势最高

B．带电质点通过P点的电势能比Q点大

C．带电质点通过P点的动能比Q点大

D．带电质点通过P点时的加速度比Q点小

2.实验室中探测到电子在匀强电场中的运动轨迹为一条抛物线。为研究问题方便，建立如图所示的坐标系，

该抛物线开口向下，a、b是抛物线上的两点。下列说法正确的是()

A．匀强电场方向可能沿x轴正方向

B．匀强电场方向可能沿y轴负方向

C．匀强电场中a点的电势比b点高

D．电子在b点的动能比在a点的大

3.图甲是一对长度为L的平行金属板，板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两板垂

直．在t＝0时刻，一带电粒子沿板间的中线OO′垂直电场方向射入电场，2t0时刻粒子刚好沿下极板右边

缘射出电场．不计粒子重力．则()

A．粒子带负电

B．粒子在平行板间一直做曲线运动

L

C．粒子射入电场时的速度大小为

2t0

D．若粒子射入电场时的速度减为一半，射出电场时的速度垂直于电场方向

4.如图所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从MN连线上的P点水平向右射入电场强度大

小为E、方向竖直向下的匀强电场中。已知MN与水平方向成45°角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达

MN连线上的某点时()

mv0

A．所用时间为

qE

B．速度大小为3v0

2

22mv0

C．与P点的距离为

qE

D．速度方向与竖直方向的夹角为30°

5.带电粒子沿水平方向射入竖直向下的匀强电场中，运动轨迹如图所示，粒子在相同的时间内()

A．位置变化相同

B．速度变化相同

C．速度偏转的角度相同

D．动能变化相同

6.喷墨打印机的结构原理如图所示，其中墨盒可以发出半径为1×10－5m的墨汁微粒，此微粒经过带电室时

被带上负电，带电的多少由计算机按字体笔画高低位置输入信号加以控制。带电后的微粒以一定的初速度

进入偏转电场，经过偏转电场发生偏转后，打到纸上，显示出字体。无信号输入时，墨汁微粒不带电，沿

直线通过偏转电场而注入回流槽流入墨盒。设偏转极板长L1＝1.6cm，两板间的距离d＝0.50cm，偏转板的

右端到纸的距离L2＝

2.4cm。若一个墨汁微粒的质量为1.6×10－10kg，所带电荷量为1.25×10－12C，以20m/s的初速度垂直进入

偏转电场，打到纸上的点距原入射方向的距离是

1.0mm(不计空气阻力和墨汁微粒的重力，可以认为偏转电场只局限在平行板电容器内部，忽略边缘电场的

不均匀性)()

A．墨汁从进入偏转电场到打在纸上，做类平抛运动

B．两偏转板间的电压是2.0×103V

C．两偏转板间的电压是5.0×102V

D．为了使纸上的字体放大10%，可以把偏转电压降低10%

【素养提升】

123

7.具有相同质子数和不同中子数的原子称为同位素。让氢的三种同位素原子核(1H、1H和1H)以相同的速度

从带电平行板间的P点沿垂直于电场的方向射入电场，分别落在A、B、C三点，如图所示。不计粒子的重

力，则()

A．三种粒子在电场中运动的时间相同

B．三种粒子在电场中运动的过程中电势能的变化量相同

1

C．落在A点的是1H

D．到达负极板时，落在C点的粒子的动能大于落在A点的粒子的动能

8．(多选)如图所示，水平放置的平行板电容器充电后与电源断开，一带电粒子从A点沿半圆ABC的直径方

向以某一速度水平射入电场，恰好经过半圆的最低点B。粒子重力不计，下列分析正确的是()

A．经过B点时的速度方向沿半圆的半径

B．无论射入速度多大，粒子都不可能沿着半径方向离开半圆

C．若仅将下板下移少许，板间电压增大

D．若仅将下板下移少许，该粒子以相同的速度从原处射入电场，仍会经过B点

9.(多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q,2m)、(＋3q,3m)、(－q，m)，它们先后以相同

的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与y轴平行。不计重力，下列描绘这四个粒子

运动轨迹的图像中，可能正确的是()

10．(多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细

线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得

初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是()

mgtanθ

A．匀强电场的电场强度E＝

q

mgL

B．小球动能的最小值为Ek＝

2cosθ

C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小

D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大

11．如图所示，粗糙程度不均匀的水平面ABC与半径为R的竖直光滑半圆轨道CDM相切于C点，CM为

半圆的直径，O为圆心，D点是弧CM的中点，在半圆CDM下半部分有水平向左的匀强电场，电场强度大

mg

小E＝(g为重力加速度)。现把可视为质点、质量为2m的小物块P置于水平面的A点，并在水平恒力F(大

q

小未知)的作用下由静止向左运动，运动到B点撤掉水平恒力F，小物块P恰好运动到C点静止。现把与小

物块P材料相同、质量是小物块P质量一半、带电荷量为＋q的绝缘小物块Q同样置于A点，在同样水平

恒力F作用下也从静止开始向左运动，到B点撤掉水平恒力F，带电小物块Q离开水平面BC后沿着圆弧

轨道CDM运动恰好能过最高点M。求：

(1)小物块Q经过水平面C点时的速度大小；

(2)小物块Q在半圆轨道CDM上运动过程中对轨道的最大压力；

(3)小物块Q在运动过程中所受摩擦力做的功。

12.(多选)如图所示，可视为质点的质量为m且电荷量为q的带正电小球，用一绝缘轻质细绳悬挂于O点，

3mg

绳长为L。现加一水平向右的区域足够大的匀强电场，电场强度大小为E＝，小球初始位置在最低点，

4q

若给小球一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动，忽略空气阻力，重力加速度为g。则

下列说法正确的是()

A．小球在运动过程中机械能守恒

B．小球在运动过程中机械能不守恒

C．小球在运动过程的最小速度至少为gL

5

D．小球在运动过程的最大速度至少为gL

2

13.如图所示，在光滑的水平桌面上，粗糙直线轨道AB与光滑圆弧轨道BCD相切于B点，圆心角∠BOC＝

37°，线段OC垂直于OD，圆弧轨道半径为R，直线轨道AB长为L＝5R。整个轨道处于电场强度为E的匀

强电场中，电场强度方向竖直向下且垂直于直线OD。现有一个质量为m、带电荷量为＋q的小物块P从A

点无初速度释放，小物块P与AB之间的动摩擦因数μ＝0.25，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，忽略空气阻力。

求：

(1)小物块第一次通过C点时对轨道的压力大小；

(2)小物块第一次通过D点后离开D点的最大距离；

(3)小物块在直线轨道AB上运动的总路程。

14.(多选)如图甲所示，长为8d、间距为d的平行金属板水平放置，O点有一粒子源，能持续水平向右发射

初速度为v0、电荷量为＋q、质量为m的粒子。