2024-2025学年福建省三明市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省三明市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设函数f(x)=sinx−32，则f′(A.0 B.12 C.322.过点(2,0)和点(0,2)的直线的倾斜角为(

)A.45° B.60° C.135° D.150°3.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为棱AB，A1C1的中点，设BA=A.12a+b+12c

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2+a8A.1 B.−1 C.2 D.−25.“m=0”是“直线l1：mx+y+2=0与直线l2：x+m2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.三明永安市贡川镇的会清桥是一座集通行、宗教祭祀等功能为一体的廊桥.该桥始修于明成化乙已年(1485年)，南北坐向，两墩三孔，各桥孔呈抛物线型，其中最大一桥孔(如图所示)，当孔顶到水面距离为8m时，跨度达到了13m.若水面从图中示意位置上升4m，则水面宽变为(

)A.132m B.13227.已知点O是坐标原点，点Q是圆(x−3)2+(y+4)2=1上的动点，点P在直线x+y+4=0A.8 B.7 C.6 D.58.古希腊著名数学家阿波罗尼斯，在其著作《圆锥曲线论》中提出了圆锥曲线的光学性质.光线从椭圆的一个焦点发出，经过椭圆反射，反射光线经过另一个焦点.已知点F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，从点F1发出的光线经过椭圆上一点M反射，反射光线交椭圆于另一点N.若点FA.10515 B.715 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设x，y∈R，向量a=(x,2,2)，b=(2,y,2)，c=(3,−6,3)，且a⊥c，A.x=2 B.y=4 C.|a+b10.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为3，过C的焦点F的直线交C于A，A.抛物线C的方程为y2=4x

B.|AF|+2|BF|的最小值为3−22

C.△AOB为钝角三角形

D.11.直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长都为4，∠BAD=π3，点A.存在点P使得C1P//平面AB1D1

B.直线AP与平面BDD1B1所成的角为定值

C.点P到平面AB1D1的距离的最小值为22112.已知双曲线Γ：x2−y2=113.若曲线C：f(x)=alnx+x3+b在点(1,f(1))处的切线方程是2x−y−2=0，则a+b=14.已知数列{an}满足a1=2，an=3an−1+2(n≥2,n∈N∗)，令bn=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知公差不为0的等差数列{an}，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列{bn}的前16.(本小题15分)

已知O为坐标原点，动点M到两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为12，记动点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的标准方程；

(2)若直线l过点B(−2,2)，曲线C截l所得弦长等于23，求直线l17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC，CC1的中点，C1在平面ABC内的射影为D．

(1)求证：A1C⊥平面BDE；

(2)在棱18.(本小题17分)

已知中心在原点的双曲线C1与椭圆C2：x29+y25=1有相同的焦点F1，F2，且C2的长半轴长是C1的实半轴长的3倍．

(1)求双曲线C1的方程；

(2)若P为两条曲线的交点，求△F19.(本小题17分)

设有穷数列A：a1，a2，…，an(n≥2)的所有项之和为Sn，所有项的绝对值之和为Tn，若数列A满足下列两个条件，则称其为n阶“0−2数列”：①Sn=0；②Tn=2．

(1)若2025阶“0−2数列”A：a1，a2，…，a2025是递减的等差数列，求a2025；

(2)若2k(k∈N∗)阶“0−2数列”A：a1，a2…，a2k(k≥1)是等比数列，求A的通项公式an(1≤n≤2k，用n，k表示)；

(3)设n阶“0−2数列”A：a1，a2，…参考答案1.C

2.C

3.D

4.A

5.A

6.B

7.C

8.A

9.AC

10.ACD

11.ABC

12.213.−2

14.[1315.解：(1)公差d不为0的等差数列{an}，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列，

可得a22=a1a4，即(1+d)2=1+3d，解得d=1(0舍去)，

可得an=1+n−1=n；

(2)数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn=2n+116.解：(1)点M(x,y)，

因为动点M到两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为12，

所以|MO||MA|=x2+y2(x−3)2+y2=12，

即x2+y2(x−3)2+y2=14，

整理得x2+y2+2x−3=0，

则曲线C的标准方程为(x+1)2+y2=4；

(2)若直线l的斜率不存在，

此时直线l的方程为x=−2，

易知直线l与C的交点坐标为(−2,−3)，(−2,3)，

此时弦长为23，符合题意；

若直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y−2=k(x+2)，曲线C的圆心到直线l的距离为d，17.解：(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，连接AC1，

由△ABC为等边三角形，D为AC中点，所以BD⊥AC，

由C1在平面ABC内的射影为D，得C1D⊥平面ABC，

因为BD⊂平面ABC，所以BD⊥C1D，

又因为AC∩C1D=D，AC，C1D⊂平面AA1C1C，

所以BD⊥平面AA1C1C，而A1C⊂平面AA1C1C，

则A1C⊥BD，

显然四边形AA1C1C为菱形，有A1C⊥AC1，

由D，E分别为AC，CC1中点，得DE/​/AC1，所以A1C⊥DE，

又因为BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，

所以A1C⊥平面BDE；

(2)由(1)知，直线DB，DA，DC1两两垂直，

以D为坐标原点，直线DB，DA，DC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,−1,0)，C1(0,0,3)，E(0,−12,32)，B1(3,1,3)，A1(0,2,3)，

即DB=(3,0,0)，DE=(0,−12,18.解：(1)设双曲线C1的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>b>0)，

因为双曲线C1与椭圆C2：x29+y25=1有相同的焦点F1，F2，

即F1(−2,0)，F2(2,0)，

所以a2+b2=4，

因为椭圆C2的长半轴长为3，且为双曲线C1实半轴长的3倍，

所以3a=3，

解得a=1，

则b2=3，

则双曲线C1的标准方程为x2−y23=1；

(2)不妨设P是两曲线在第一象限的交点，

设|PF1|=s，|PF2|=t，

由椭圆和双曲线的定义可得s+t=6s−t=2，

解得s=4t=2，

在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=s2+t2−(2c)22st=16+4−162×2×4=14，

所以19.解：(1)设等差数列A的公差为d，d<0，

由①得S2025=0，即2025a1+2025×20242d=0，

所以a1+1012d=0，所以a1013=0，

则a1012=−d，a1=−1012d，

又d<0，a1013=0，且T2025=2，

所以a1+a2+⋯+a1012=1，

所以1012(−d−1012d)2=1，

解得d=−21012×1013，

由a1013=0，

得a2025=0+1012d=−21013；

(2)设数列A的公比为q，

当q=1时，由①知S2k=2ka1=0，则a1=0，不符合题意，所以q≠1，

由①得S2k=a1(1−q2k)1−q=0，

因为a1≠0，q≠1，所以q=−1，

由②可知T2k=2k|a1|