小学奥数最大公因数与最小公倍数专题讲义附解析

最大公因数与最小公倍数专题讲义一、核心知识点1.基本概念最大公因数（GCD）：几个数公有的最大因数

最小公倍数（LCM）：几个数公有的最小倍数2.求解方法列举法：GCD：列出所有公因数取最大

LCM：列出公倍数取最小短除法：用公因数连续除，直到商互质

GCD=所有除数乘积，LCM=除数与商的乘积分解质因数法：GCD=共有质因数的最低次幂乘积

LCM=所有质因数的最高次幂乘积3.重要性质两数乘积=GCD×LCM

若两数互质，则GCD=1，LCM=两数乘积二、典型例题.例题1：求36和48的最大公因数.解析（短除法）

GCD=.例题2：求15和28的最小公倍数.解析：分解质因数：

LCM=.例题3：三根木棍分别长24cm、36cm、60cm，截成等长小段的最长长度.解析：分解质因数：

GCD=.例题4：甲每6天值日，乙每8天值日，至少多少天后共同值日？解析：短除法求LCM：

LCM=天.例题5：用分解质因数法求GCD(72,90).解析：

GCD=.例题6：已知两个数GCD=12，LCM=72，求这两个数.解析：设两数为和（互质）

可能组合：与或与.例题7：一盒糖分给6人或8人都剩3颗，求糖数（不足50颗）.解析：求LCM(6,8)=24

解为颗.例题8：求12、18、30的LCM.解析：分解质因数：

LCM=.例题9：两数和为60，GCD=12，求这两个数.解析：设两数为和，则

互质组合：→12与48；→24与36.例题10：时钟A每18分钟响一次，B每24分钟响一次，现在A和B同时响起，问多少分钟后A和B再次同时响起.解析：分解质因数：

LCM=分钟.三、强化练习.习题1：求GCD(54,81).习题2：求LCM(9,12,15).习题3：用36朵红花和48朵黄花扎花束，问最多能扎多少束花束.习题4：已知两个数GCD=15，其中一数90，求另一数.习题5：一筐苹果3个3个数剩2，5个5个数剩1，求最少数量.习题6：求16、20、28的GCD.习题7：已知两个数GCD=12，LCM=180，求这两个数.习题8：甲每10天理一次发，乙每12天理一次发，丙每15天理一次发.求甲、乙、丙理发周期的最小公倍数.习题9：一个数除以6余1，除以8余5的最小自然数.习题10：一种地砖长和宽分别为28cm和20cm，现在用若干块这种地砖铺成正方形.问最少需要多少块砖.习题11求GCD(105,140).习题12：求LCM(16,24,36).习题13：两个数GCD=8，和为72，求所有这样两位数的组合.习题14：甲闪光灯每15秒闪一次，乙闪光灯每20秒闪光一次.求甲、乙闪光灯的最小同步时间.习题15用短除法求GCD(84,126).习题16：三个齿轮齿数分别为30、45、60，首次同时回到原位需转多少圈？习题17：一个数除以7余3，除以9余5，求该数的最小解.习题18：用36个红球和60个蓝球装礼盒，每盒颜色分布相同，最多装几盒？习题19：已知两个数GCD=6，LCM=210，求这两个数.习题20：三个齿轮A、B、C齿数分别为24、36、48齿，A与B咬合，B与C咬合，问旋转多少圈后三者恢复初始位置关系.

最大公因数与最小公倍数专题讲义解析版一、核心知识点1.基本概念最大公因数（GCD）：几个数公有的最大因数

最小公倍数（LCM）：几个数公有的最小倍数2.求解方法列举法：GCD：列出所有公因数取最大

LCM：列出公倍数取最小短除法：用公因数连续除，直到商互质

GCD=所有除数乘积，LCM=除数与商的乘积分解质因数法：GCD=共有质因数的最低次幂乘积

LCM=所有质因数的最高次幂乘积3.重要性质两数乘积=GCD×LCM

若两数互质，则GCD=1，LCM=两数乘积二、典型例题.例题1：求36和48的最大公因数.解析（短除法）

GCD=.例题2：求15和28的最小公倍数.解析：分解质因数：

LCM=.例题3：三根木棍分别长24cm、36cm、60cm，截成等长小段的最长长度.解析：分解质因数：

GCD=.例题4：甲每6天值日，乙每8天值日，至少多少天后共同值日？解析：短除法求LCM：

LCM=天.例题5：用分解质因数法求GCD(72,90).解析：

GCD=.例题6：已知两个数GCD=12，LCM=72，求这两个数.解析：设两数为和（互质）

可能组合：与或与.例题7：一盒糖分给6人或8人都剩3颗，求糖数（不足50颗）.解析：求LCM(6,8)=24

解为颗.例题8：求12、18、30的LCM.解析：分解质因数：

LCM=.例题9：两数和为60，GCD=12，求这两个数.解析：设两数为和，则

互质组合：→12与48；→24与36.例题10：时钟A每18分钟响一次，B每24分钟响一次，现在A和B同时响起，问多少分钟后A和B再次同时响起.解析：分解质因数：

LCM=分钟.三、强化练习.习题1：求GCD(54,81).解析：

GCD=.习题2：求LCM(9,12,15).解析：短除法：

LCM=.习题3：用36朵红花和48朵黄花扎花束，问最多能扎多少束花束.解析：GCD(36,48)=12束.习题4：已知两个数GCD=15，其中一数90，求另一数.解析：

另一数可能为或.习题5：一筐苹果3个3个数剩2，5个5个数剩1，求最少数量.解析：试算得最小解11：，余1.习题6：求16、20、28的GCD.解析：分解质因数：

，，

GCD=.习题7：已知两个数GCD=12，LCM=180，求这两个数.解析：两数乘积=

可能组合：36与60（验证：GCD(36,60)=12，LCM=180）.习题8：甲每10天理一次发，乙每12天理一次发，丙每15天理一次发.求甲、乙、丙理发周期的最小公倍数.解析：分解质因数：

，，

LCM=天.习题9：一个数除以6余1，除以8余5的最小自然数.解析：设数=→试算得最小解13.习题10：一种地砖长和宽分别为28cm和20cm，现在用若干块这种地砖铺成正方形.问最少需要多少块砖.解析：LCM(28,20)=140cm→块.习题11求GCD(105,140).解析：短除法：

GCD=.习题12：求LCM(16,24,36).解析：分解质因数：

，，

LCM=.习题13：两个数GCD=8，和为72，求所有这样两位数的组合.解析：设数为和（且互质）.解为：(8,64)和(16,56).习题14：甲闪光灯每15秒闪一次，乙闪光灯每20秒闪光一次.求甲、乙闪光灯的最小同步时间.解析：LCM(15,20)=60秒.习题15用短除法求GCD(84,126).解析：

GCD=.习题16：三个齿轮齿数分别为30、45、60，首次同时回到原位需转多少圈？解析：齿数30、45、60的LCM=180→转6圈、4圈、3圈.习题17：一个数除以7余3，除以9余5，求该数的最小解.解析：试算得最小解59：，.习题18：用36个红球和60个蓝球装礼盒，每盒颜色分布相同，最多装几盒？解析：GCD(36,60