2025高考一轮复习（人教A版）第13讲三角函数的概念与诱导公式（含答案）

2025高考一轮复习（人教A版）第十三讲三角函数的概念与诱导公式一、选择题1．已知角α的终边经过点(1,−3)，则tan2αA．34 B．−34 C．−2．若sinα−cosαA．−π12 B．−π20 C．3．已知角α第二象限角，且|cosα2|=cosA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．已知α为第一象限角，β为第四象限角，tanα−tanβ=3，tanαtanβ=−2，则sinα−βA．1010 B．−1010 C．35．已知sinα+cosβ=A．6772 B．−6772 C．596．“α=π4+kπ(k∈Z)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．sin20A．32 B．12 C．−8．若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6A．45 B．35 C．512二、多项选择题9．已知sinπA．cosα−π6C．cosα+5π6=−210．下列说法正确的是（）A．如果α是第一象限的角，则−α是第四象限的角B．43°角与−317°角终边重合C．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为D．若α是第二象限角，则点P(sin11．在斜三角形ABC中，△ABC的三个内角分别为A，B，C，若tanA，tanB是方程A．tanC=3 B．△ABCC．sinB<cosA三、填空题12．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4,tan13．已知θ为锐角，满足sin2θ+sin14．已知函数y=1−x2(−12≤x≤15．已知函数f(x)满足：f(tanx)=1cos四、解答题16．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−3（1）求sin(α+（2）若角β满足sin(α+β)=51317．如图所示，角α的终边与单位圆O交于点P(12,32)，将OP绕原点O按逆时针方向旋转（1）求yQ（2）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，b=2，sinA=|y18．已知α,β为锐角，tanα=4（1）求cos2α与tan2α的值；（2）求tanα−β19．如图，已知OPQ是半径为2，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠POC=α（1）用α分别表示OB,AB的长度：（2）当α为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B【解析】【解答】解：sinα−cosα由sinα−cosα则α−π4=6α+kπ,k∈Z取k=0,α=−π20，取故答案为：B.【分析】根据正切的二倍角公式以及同角三角函数基本关系化简可得tanα−π4=tan3．【答案】A【解析】【解答】因为角α第二象限角，所以π2所以π4+kπ<α又因为|cosα2|=cosα2故选：A．【分析】利用象限角的定义和不等式的基本性质，从而得出角α2所在的象限，再结合三角函数值在各象限的符号和绝对值的定义，进而判断出角α4．【答案】C5．【答案】D【解析】【解答】解：将sinα+cosβ=1将cosα−sinβ=1①＋②得2+2sin所以sinα即sin(α−β)=−故答案为：D.【分析】将已知两式平方相加，即可求出sinαcosβ−6．【答案】A【解析】【解答】解：因为α=π4+kπ(k∈Z)，所以tanα=1，

由3cos2α+sin2αsinαcosα=3+1，左边分子分母同时除以cos2α，得tan2α+3tanα=3+17．【答案】A【解析】【解答】解：sin20故选：A.【分析】由诱导公式和两角和的正弦公式，进而得出答案.8．【答案】C9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、cosα−B、cos2α−C、cosα+D、若α∈0,π，则π且sinπ3+α=2可得cos=−5所以cosα=故选：BCD.【分析】由已知条件sinπ3+α=23，因此各选项以π3+α为整体，

A、由π3+α-α−π6=π2⇒α−π6=π3再由π3+α10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A中，α是第一象限的角，即2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z因此−α是第四象限的角，A正确；B中，由于−317°=−360°+43°，因此43°角与−317°角终边重合，B正确；C中，由圆心角为π3的扇形弧长为π，得该扇形弧所在圆半径为3，则该扇形面积为3πD中，由α是第二象限角，得sinα>0,cosα<0故选：ABD.

【分析】利用象限角的概念，可判断A；利用终边相同的角的特征，可判断B；求出扇形所在圆半径，再求出扇形面积，可判断C；利用三角形函数值的符号法则，可判断D.11．【答案】B,C12．【答案】−【解析】【解答】解：因为tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，

所以α∈(2kπ,2kπ+π则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k,又因为tan(α+β)=−22<0，所以α+β∈((2m+2k)π+3π2,(2m+2k)π+2π)，k,m∈Z，

所以故答案为：−2【分析】由题意，根据两角和与差的正切公式可得tan(α+β)=−22，再由α，β的取值范围求得13．【答案】2【解析】【解答】因为sin整理得2tan2θ+5tan又因为θ为锐角，则tanθ>0，所以tan故填：2.【分析】利用已知条件和同角三角函数基本关系式得出关于tanθ的一元二次方程，再解方程得出角θ的正切值，再结合角θ的取值范围，从而得出满足要求的角θ14．【答案】[0，【解析】【解答】画出函数y=1−圆弧所在的圆方程为x2+y2=1，A(−12,3此时绕着原点旋转弧度为0≤θ≤π若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，

当点B在x轴上方，点A在x轴下方时，

根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：此时转过的角度为π3若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，

当整个图象都在x轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：此时转过的角度为2π3故填：[0,【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合圆的方程和函数的定义，从而得出角θ可取值的集合.15．【答案】0【解析】【解答】解：因为f(tan所以f(tan则f=[f(2)+f(=0+0+⋯+0=0.故答案为：0.【分析】借助三角恒等变换公式化简可得f(tan16．【答案】（1）解：∵角α的终边经过点P(−35,−45)，∴OP=∴sin(α+（2）解：∵sin(α+β)=513，

∴cosβ=∴当cos(α+β)=当cos(α+β)=−综上所述：cosβ=−5665【解析】【分析】（1）利用勾股定理得出OP的长，再结合三角函数的定义和两角和的正弦公式，从而得出sin(α+π3)的值.17．【答案】（1）解：由题知cosα=12所以yQ（2）解：由题知a=2，b=2，sin∵A,B∈(0,π)，且而sinA=12，则A=由正弦定理可知a2=b2+解得c=3故S△ABC=1【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角函数的定义和诱导公式，从而得出yQ的值.

（2）利用已知条件结合三角形中角的取值范围和边角关系，从而得出角A的值，再结合三角函数的定义得出角A的余弦值，再根据正弦定理得出满足要求的c的值，则根据三角形的面积公式得出S18．【答案】（1）解：α,β为锐角，tanα=43，由同角三角函数基本关系可得整理可得169cos2由余弦的二倍角公式可得：cos2α=2cos因为tanα=43，所以（2）解：因为α,β为锐角，所以α+β∈0,π又因为cosα+β=−5因此tanα+β因此tan=−【解析】【分析】（1）由题意，结合同角三角函数的关系和余弦二倍角公式化简求解即可；（2）由