2025高考一轮复习（人教A版）第26讲 事件的相互独立性（含答案）

高考一轮复习（人教A版）第二十六讲事件的相互独立性阅卷人一、选择题得分1．将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立2．在如图所示的电路中，三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为12，13，A．34 B．58 C．123．已知古典概型的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，“事件A={1,2}”，则命题“事件B=Ω”是命题“事件A与事件A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和1A．121 B．221 C．14205．已知事件A、B，如果A与B互斥，那么PAB=p1；如果A与B相互独立，且PAA．p1=0,pC．p1=0,p6．某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（）A．0.5 B．0.55 C．0.6 D．0.757．掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A1：红骰子的点数为2，A2：红骰子的点数为3，A3：两个骰子的点数之和为7，AA．A1与A2对立 B．A3C．A1与A3相互独立 D．A28．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与乙互斥 B．丙发生的概率为1C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立阅卷人二、多项选择题得分9．设样本空间Ω=a,b,c,d含有等可能的样本点，且A=a,b，B=A．PAB=PAPB B．PAC10．已知事件A,B发生的概率分别为PAA．若A与B互斥，则PB．若A与B相互独立，则PC．若PAB=13D．若B发生时A一定发生，则P11．设A，B为随机事件，且PA，PB是A，B发生的概率．A．若A，B互斥，则PB．若PABC．若A，B互斥，则A，B相互独立D．PABP12．抛出一枚质地均匀的硬币n次，得到正反两面的概率相同．事件A:n次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中最多有一次正面朝上，下列说法正确的是（）A．当n=2时，A，B相互独立 B．当n=3时，A，B相互独立C．n≥2时，P(A)=2n−22n阅卷人三、填空题得分13．设事件A与B相互独立，PA=0.4，PB=0.9，则PAB14．若事件A,B发生的概率分别为PA=12,PB=115．四个村庄A,B,C,D之间建有四条道路AB,BC,CD,DA.在某个月的30天中，每逢单数日道路AB,CD开放，BC,DA封闭维护，每逢双数日道路BC,DA开放，AB,CD封闭维护.一位游客起初住在村庄A，在该月的第k1⩽k⩽30天，他以1k的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以1−1k的概率留在当前村庄，并且他在这30天里的选择是相互独立的.则第30天结束时该游客住在村庄阅卷人四、解答题得分16．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为T1，T2，①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；②选手若答对第Ti题，则继续作答第Ti+1题；选手若答错第Ti题，则失去第Ti+1题的答题机会，从第③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为34（1）挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率P1（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率P2（3）选手甲闯关成功的概率P317．A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知A闯关成功的概率是23，A，B，C三人闯关都成功的概率是16，A，B，C三人闯关都不成功的概率是（1）求B，C两人各自闯关成功的概率；（2）求A，B，C三人中恰有两人闯关成功的概率.18．第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12，13，14（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人都参加市知识竞赛的概率；（3）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．19．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为α0<α<1，1−α；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为β(0<β<1),1−β（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为fα，求f（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1,x2,x3,x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由题意知，P(甲)=1×66×6=由于P(甲丁故答案为：B.【分析】根据相互独立事件求概率公式和独立事件的判断方法，即可判断各选项，从而得出正确的选项.2．【答案】D【解析】【解答】解：已知灯亮由两个独立事件组成，即A,B开关同时闭合和C开关同时闭合，由这两个独立事件至少有一组闭合，灯就一定亮，而它的对立事件是这两个独立事件同时都不满足闭合，所以灯亮的概率为P=1−1−故答案为：D.【分析】先判断出灯亮的条件，再利用两个独立事件及对立事件概率公式来即可求解3．【答案】A【解析】【解答】解：样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}中事件B包含样本点个数可能为B=1，2，3，4，5，6其对应的概率P(B)可能值分别为16，13，12，23，56事件A与事件B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B)，B=Ω，则P(B)=1，P(AB)=即“事件B=Ω”是命题“事件A与事件B若B=1,3,4，则P(B)=12，P(AB)=所以事件A与事件B相互独立，所以命题“事件B=Ω”不是命题“事件A与事件B故命题“事件B=Ω”是命题“事件A与事件B故答案为：A.【分析】由题意，根据相互独立事件的定义事件A与事件B相互独立判断即可.4．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知，

一年内该单位两辆车都不发生此种事故的概率为1−1则一年内该单位这两辆车至少有一辆发生此种事故的概率为1−19故一年内该单位在此种保险中获赔的概率为221故答案为：B.【分析】利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出一年内该单位两辆车都不发生此种事故的概率，再利用对立事件求概率公式，从而得出一年内该单位这两辆车至少有一辆发生此种事故的概率，即得出一年内该单位在此种保险中获赔的概率.5．【答案】C【解析】【解答】解：如果事件A与B互斥，则PAB=0，所以如果事件A与B相互独立，则事件A与B也相互独立，所以PBPA+B=P故答案为：C.【分析】根据互斥事件的定义和互斥事件求概率公式，则可求出p1的值，再根据独立事件的概率公式和对立事件求概率公式以及互斥事件求概率公式，则求出p6．【答案】A【解析】【解答】解：该学生获得奖品的概率为P=0.3×0.4+0.4×0.5+0.3×0.6=0.5.故选：A

【分析】利用互斥事件和独立事件的概率（如果事件A和B相互独立，‌则它们的概率乘积等于它们同时发生的概率）求解.7．【答案】C【解析】【解答】对于A，因为红骰子的点数为2与点数为3不会同时发生，所以A1与A2互斥，又因为红骰子的点数除了2和3，还有1，4，5，6，所以A1对于B：因为两个骰子的点数之和为7与点数之和为9不可能同时发生，故A3与A对于C：因为A3=1，6则PA1=16,PA3=对于D：因为A4=3，6则PA2=16,PA4=故答案为：C.

【分析】对于AB：根据对立事件与互斥事件的概念分析判断；对于CD：根据独立事件概率乘法公式结合古典概型分析判断.8．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知，两点数和为6的所有可能为1,5,两点数和为7的所有可能为1,6,P(甲)=16,P(乙)=16对于A选项，甲与乙可以同时发生，故选项A错误；对于B选项，由上可知错误，故选项B错误；对于C选项，P（甲丁）=136=P对于D选项，P（乙丙）=136≠P故选：C.【分析】先分别计算出事件甲、乙、并、丁的概率，可判断B选项；直接由互斥事件的概念判断A选项；由独立事件概率公式判断C、D选项即可.9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由题意得A∩B=B∩C=A∩C=a则P(A)=P(B)=P(C)=24=所以P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).故答案为：ABD.【分析】利用已知条件，易得A∩B=B∩C=A∩C=a，从而得到P(A),P(B),P(C)，P(AB),P(AC),P(BC),P(ABC)10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、因为A与B互斥，则PA+B对于选项B、A与B相互独立，则PA+BC、因为PA=12,PB=D、因为B发生时A一定发生，所以B⊆A，则PAB故答案为：BC.【分析】利用互斥事件的概率公式即可判断A，选项B，利用PA+B=P(A)+P(B)−P(AB)，求得PA+B=211．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，

则PA∪B对于B：由相互独立事件的概念知，

若PAB对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A=“正面朝上”，事件B=“反面朝上”，事件A与事件B互斥，但P(AB)=0，P(A)=P(B)=1所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；对于D：PAPB所以PABP故答案为：ABD.【分析】利用互斥事件加法概率公式，则可判断选项A；由相互独立事件的概念可判断选项B；由互斥事件和相互独立事件的概念，则可判断选项C；由条件概率公式化简，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.12．【答案】B,C【解析】【分析】由相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式依次判断即可．【解答】抛出两次，有正反，反正，正正，反反，共四种情况，P(A)=又因为P(AB)=1抛出三次：正正正，正正反，正反正，正反反，反反反，反反正，反正反，反正正，共八种情况，则PA=68=抛出n次有2n种组合，A则PA=2P(B)=1故选：BC13．【答案】0.36；0.94【解析】【解答】解：因为事件A与B相互独立，

所以PABPA∪B故答案为：0.36；0.94.【分析】由独立事件乘法求概率公式和交事件、并事件计算公式，从而计算出结果.14．【答案】2【解析】【解答】解：若事件A,B发生的概率分别为PA=12,P则PA∪B故答案为：23【分析】根据相互独立事件概率乘法公式求解即可.15．【答案】15【解析】【解答】解：对n=0,1,⋯,15，用an表示游客恰有n天通过道路AB或CD的概率，bn表示该游客恰有n天通过道路BC或fxgx根据条件知an为fn的n次项系数，bn为g第30天结束时，游客住在村庄B当且仅当他通过道路AB或CD的总天数为奇数，且通过道路BC或DA的总天数为偶数，因为f1=1，f−1=−1×所以a1+a所以第30天结束时该游客住在村庄B的概率p=15故答案为：1558.

【分析】先设两种情况的概率，再列函数，最后根据函数求游客在村庄B16．【答案】解：设Ai为选手答对Ti题，其中i=1,2,3.

（1）设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事件A，

选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错，

所以A=A1A2A3，所以，由事件独立性的定义得

P1=PA=PA1A2A3=PA1PA2PA3=34×34×1−34=964

（2）设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件B【解析】【分析】（1）根据“选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错”，再结合相互独立事件乘法求概率公式、对立事件加法求概率公式，从而计算出挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率P1（2）根据“选手甲恰好作答了2道题即选手甲第1题答错或第一题答对且第2题答错”，再结合相互独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式、对立事件求概率公式，从而计算出挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率P2（3）根据““选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件”，再结合（2）以及对立事件求概率公式，从而计算出选手甲闯关成功的概率P317．【答案】（1）解：记A,B,C三人各自闯关成功分别为事件D,E,F，三人闯关成功与否得相互独立，且满足PD=23PDP所以B，C两人各自闯关成功的概率都是12（2）解：设A，B，C三人中恰有两人闯关成功为事件H，则PH所以三人中恰有两人闯关成功的概率为512【解析】【分析】（1）记A,B,C三人各自闯关成功分别为事件D,E,F，三人各自独立闯关，由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，求解B，C两人各自闯关成功的概率即可；（2）三人中恰有两人闯关成功为事件DEF+D（1）记A,B,C三人各自闯关成功分别为事件D,E,F，三人闯关成功与否得相互独立，且满足PD解得PE=1所以B，C两人各自闯关成功的概率都是12（2）设A，B，C三人中恰有两人闯关成功为事件H，则PH所以三人中恰有两人闯关成功的概率为51218．【答案】（1）解：由题意可得：3人全通过初赛的概率为12所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为1−1（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为12乙参加市知识竞赛的概率为13丙参加市知识竞赛的概率为14所以这3人都参加市知识竞赛的概率为P=1（3）解：由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，

记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件A，

则PA【解析】【分析】（1）先计算出3人都通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解；（2）)先分别计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件概率公式即可求解；（3）先根据奖金为1200元，判断出3人中有2人通过初赛的概率，再利用概率加法公式可求得所求事件的概率；（1）由题意可得：3人全通过初赛的概率为12所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为1−1（2）甲参加市知识竞赛的概率为12乙参加市知识竞赛的概率为13丙参加市知识竞赛的概率为14所以这3人都参加市知识竞赛的概率为P=1（3）由题意可得：要使得奖金之和为1200元，则只有两人参加决赛，记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件A，则PA19．【答案】（1）解：由题可知fα因为0<α<1，所以当α=1