江苏专用2025版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明数学归纳法7.1不等关系与不等式教案含解析

PAGEPAGE1第七章不等式、推理与证明、数学归纳法考试内容等级要求基本不等式C一元二次不等式C线性规划A合情推理与演绎推理B分析法与综合法A反证法A数学归纳法的原理A数学归纳法的简洁应用B§7.1不等关系与不等式考情考向分析以理解不等式的性质为主，在高考中主要以填空题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他学问的综合．属低档题．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b,a－b＝0⇔a＝b,a－b<0⇔a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1⇔a>b,\f(a,b)＝1⇔a＝b,\f(a,b)<1⇔a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性质性质性质内容特殊提示对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇔a＋c>b＋c⇔同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d⇒可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bc留意c的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，且n>1)a，b同为正数概念方法微思索1．若a>b，且a与b都不为0，则eq\f(1,a)与eq\f(1,b)的大小关系确定吗？提示不确定．若a>b，ab>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，即若a与b同号，则分子相同，分母大的反而小；若a>0>b，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不肯定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(√)(2)若eq\f(a,b)>1，则a>b.(×)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×)(4)a>b>0，c>d>0⇒eq\f(a,d)>eq\f(b,c).(√)(5)ab>0，a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(√)题组二教材改编2．[P3练习T1]若a，b都是实数，则“eq\r(a)－eq\r(b)>0”是“a2－b2>0”的________条件．答案充分不必要解析eq\r(a)－eq\r(b)>0⇒eq\r(a)>eq\r(b)⇒a>b⇒a2>b2，但由a2－b2>0≠eq\r(a)－eq\r(b)>0.3．[P66练习T1]雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满意的关系式是________．答案4.5t<28000解析由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28000.题组三易错自纠4．若a>b>0，c<d<0，则下列肯定正确的序号为________．①eq\f(a,c)－eq\f(b,d)>0；②eq\f(a,c)－eq\f(b,d)<0；③eq\f(a,d)>eq\f(b,c)；④eq\f(a,d)<eq\f(b,c).答案④解析∵c<d<0，∴0<－d<－c，又0<b<a，∴－bd<－ac，即bd>ac，又∵cd>0，∴eq\f(bd,cd)>eq\f(ac,cd)，即eq\f(b,c)>eq\f(a,d).当a＝5，c＝－5，b＝4，d＝－4时，易知①②不正确．5．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不肯定成立，如a＝6，b＝eq\f(1,2).所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．6．若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是__________．答案(－π，0)解析由－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，α<β，得－π<α－β<0.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为________．答案p≤q解析(作差法)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.(2)若P＝eq\r(a＋3)－eq\r(a＋2)，Q＝eq\r(a＋2)－eq\r(a＋1)(a>0)，则P，Q的大小关系是________．答案P<Q解析Q－P＝(eq\r(a＋2)－eq\r(a＋1))－(eq\r(a＋3)－eq\r(a＋2))＝eq\f(1,\r(a＋2)＋\r(a＋1))－eq\f(1,\r(a＋3)＋\r(a＋2))>0，所以P<Q.(3)若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，则a，b，c的大小关系为________．答案c<b<a解析方法一易知a，b，c都是正数，eq\f(b,a)＝eq\f(3ln4,4ln3)＝log8164<1，所以a>b；eq\f(b,c)＝eq\f(5ln4,4ln5)＝log6251024>1，所以b>c.即c<b<a.方法二对于函数y＝f(x)＝eq\f(lnx,x)，y′＝eq\f(1－lnx,x2)，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.(4)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．解∵eq\f(aabb,abba)＝eq\f(aa－b,ba－b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b，又a>b>0，故eq\f(a,b)>1，a－b>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b>1，即eq\f(aabb,abba)>1，又abba>0，∴aabb>abba，∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③推断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法．跟踪训练1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________．答案M>N解析因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.(2)若a>0，且a≠7，则77aa和7aa7的大小关系为________．答案77aa>7aa7解析eq\f(77aa,7aa7)＝77－aaa－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a，则当a>7时，0<eq\f(7,a)<1,7－a<0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a>1，∴77aa>7aa7；当0<a<7时，eq\f(7,a)>1,7－a>0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a>1，∴77aa>7aa7.综上，77aa>7aa7.题型二不等式的性质1．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正确的不等式有________．(填序号)答案①④解析因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，所以b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，|a|<|b|，在b<a两边同时乘以b，因为b<0，所以ab<b2.因此正确的是①④.2．已知a，b，c满意c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中肯定成立的是________．(填序号)①ab>ac；②c(b－a)<0；③cb2<ab2；④ac(a－c)>0.答案①解析由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac肯定成立．3．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中全部正确结论的序号是________．答案①②③解析由不等式性质及a>b>1，知eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又c<0，∴eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，①正确；构造函数y＝xc，∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是单调递减的，又a>b>1，∴ac<bc，②正确；∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法解除．利用不等式的性质推断不等式是否成立时要特殊留意前提条件．题型三不等式性质的应用命题点1应用性质推断不等式是否成立例2已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)；④a3＋b3>2a2b.其中肯定成立的不等式为________．(填序号)答案①②③解析由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；∵a>b>0，∴eq\r(a)>eq\r(b)，∴(eq\r(a－b))2－(eq\r(a)－eq\r(b))2＝2eq\r(ab)－2b＝2eq\r(b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0，∴eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立．命题点2求代数式的取值范围例3已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.引申探究1．若将本例条件改为－1<x<y<3，求x－y的取值范围．解∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4.又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围．解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).))即3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)，又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，∴－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x＋y)<10,1<eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(3,2)，∴－eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x－y)<eq\f(23,2)，即－eq\f(3,2)<3x＋2y<eq\f(23,2)，∴3x＋2y的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(23,2))).思维升华(1)推断不等式是否成立的方法①逐一给出推理推断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行推断．(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练2(1)若a<b<0，则下列不等式肯定成立的是________．(填序号)①eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b)； ②a2<ab；③eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1)； ④an>bn(n∈N*)．答案③解析(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①②④项均不正确；③项，eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1)⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，∵a<b<0，∴|b|<|a|成立，故填③.(2)设a>b>c>0，x＝eq\r(a2＋b＋c2)，y＝eq\r(b2＋c＋a2)，z＝eq\r(c2＋a＋b2)，则x，y，z的大小关系是________．(用“>”连接)答案z>y>x解析方法一由题易知，x>0，y>0，z>0，又y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x.方法二令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝eq\r(18)，y＝eq\r(20)，z＝eq\r(26)，故z>y>x.1．下列命题中，正确的序号是________．①若a>b，c>d，则ac>bd；②若ac>bc，则a>b；③若eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，则a<b；④若a>b，c>d，则a－c>b－d.答案③解析①取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知①错误；②当c<0时，ac>bc⇒a<b，所以②错误；③因为eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，所以c≠0，又c2>0，所以a<b，③正确；④取a＝c＝2，b＝d＝1，可知④错误，故填③.2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是________．答案f(x)>g(x)解析f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，则f(x)>g(x)．3．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①loga(1＋a)<logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))；②loga(1＋a)>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)))；③a1＋a<；④a1＋a>.其中正确的不等式是________．(填序号)答案②④解析当0<a<1时，函数y＝logax与y＝ax均为(0，＋∞)上的减函数．∵0<a<1，∴1＋a<1＋eq\f(1,a)，∴②④正确．4．若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是________．答案(9,30)解析∵c＝a＋b≤3a且c＝a＋b≥eq\f(3a,2)，∴9<eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a<30.5．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s，t的大小关系为________．答案t≤s解析s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.6．若α，β满意－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))解析∵－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，∴－π<2α<π.∵－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(3π,2).又α－β<0，α<eq\f(π,2)，∴2α－β<eq\f(π,2).∴－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2).7．已知a＋b>0，则eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系是________．答案eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)解析eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).8．已知有三个条件：①ac2>bc2；②eq\f(a,c)>eq\f(b,c)；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________．答案①解析由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，a<b；③当a<0，b<0时，a<b，故②③不是a>b的充分条件．9．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：①若ab>0，bc－ad>0，则eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；②若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，则ab>0.其中正确的命题是________．(填序号)答案①②③解析∵ab>0，bc－ad>0，∴eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＝eq\f(bc－ad,ab)>0，∴①正确；∵ab>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，∴bc－ad>0，∴②正确；∵bc－ad>0，又eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，即eq\f(bc－ad,ab)>0，∴ab>0，∴③正确．故①②③都正确．10．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，则T1与T2的大小关系为________．答案T1<T2解析T1－T2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0.故T1<T2.11．(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)；(2)已知c>a>b>0，求证：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).证明(1)∵bc≥ad，bd>0，∴eq\f(c,d)≥eq\f(a,b)，∴eq\f(c,d)＋1≥eq\f(a,b)＋1，∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(由a>b>0⇒\f(1,a)<\f(1,b)，,c>0))⇒eq\f(c,a)<eq\f(c,b)⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(c－a,a)<\f(c－b,b)，,c－a>0，,c－b>0))⇒eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).12．已知1<a<4,2<b<8，试求a－b与eq\f(a,b)的取值范围．解因为1<a<4,2<b<8，所以－8<－b<－2.所以1－8<a－b<4－2，即－7<a－b<2.又因为eq\f(1,8)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)<eq\f(a,b)<eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)<eq\f(a,b)<2.13．设实数x，y满意0<xy<4，且0<2x＋2y<4＋xy，则x，y的取值范围是________．答案0<x<2且0<y<2解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy>0，,x＋y>0，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,y>0，))由2x＋2y－4－xy＝(x－2)·(2－y)<0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,y>2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<2，,0<y<2，))又xy<4，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<2，,0<y<2.))14．