新课标2025版高考数学二轮复习第一部分基醇点自主练透第3讲算法与平面向量练习理新人教A版

PAGE1-第3讲算法与平面对量一、选择题1．(2024·广东六校第一次联考)在△ABC中，D为AB的中点，点E满意eq\o(EB,\s\up6(→))＝4eq\o(EC,\s\up6(→))，则eq\o(ED,\s\up6(→))＝()A．eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：选A．因为D为AB的中点，点E满意eq\o(EB,\s\up6(→))＝4eq\o(EC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A．2．(2024·武昌区调研考试)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满意(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．1或eq\f(1,2)解析：选A．因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(1,2)，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－eq\f(1,2)，故选A．3．(2024·广州市综合检测(一))a，b为平面对量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)解析：选B．设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2x＝0,4－2y＝8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－2))，故b＝(1，－2)，|b|＝eq\r(5)，|a|＝2eq\r(5)，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2－8,\r(5)×2\r(5))＝－eq\f(3,5)，故选B．4．(2024·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝()A．eq\r(6) B．eq\r(5)C．2 D．eq\r(3)解析：选A．由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋1＋4)＝eq\r(6).故选A．5．(2024·湖南省五市十校联考)执行如图所示的程序框图，其中t∈Z.若输入的n＝5，则输出的结果为()A．48 B．58C．68 D．78解析：选B．输入的n＝5，则a＝28＝7×4；n＝7，a＝38＝7×5＋3；n＝9，a＝48＝7×6＋6；n＝11，a＝58＝7×8＋2.退出循环，输出的结果为58.故选B．6．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝2，则a在a－b方向上的投影为()A．1 B．eq\r(3)C．eq\f(\r(6)－\r(2),2) D．eq\f(\r(6)＋\r(2),2)解析：选B．由向量的数量积公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|cos〈a，a－b〉＝eq\f(a·(a－b),|a－b|)＝eq\f(|a|2－a·b,\r(|a|2＋|b|2－2a·b)).又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos120°＝－2，所以|a|cos〈a，a－b〉＝eq\f(4－(－2),\r(4＋4－2×(－2)))＝eq\r(3)，故选B．7．(2024·湖南省湘东六校联考)执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63，则推断框中应填入的条件为()A．i≤4 B．i≤5C．i≤6 D．i≤7解析：选B．初始值，S＝1，i＝1，第一次循环，S＝3，i＝2；其次次循环，S＝7，i＝3；第三次循环，S＝15，i＝4；第四次循环，S＝31，i＝5，第五次循环，S＝63，i＝6，此时退出循环，输出S＝63.结合选项知推断框中应填入的条件为i≤5，故选B．8．(一题多解)(2024·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝()A．8 B．12C．16 D．20解析：选D．法一：设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则a·b＝0，a2＝16，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a＋a))＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a＋\f(3,4)a＋\f(1,2)b))＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)a＋\f(3,2)b))＝eq\f(5,4)a2＋eq\f(3,2)a·b＝eq\f(5,4)a2＝20，故选D．法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t>0)，则B(4，0)，C(2，t)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)t))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝(4，0)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((2，t)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,2)t))))＝(4，0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,2)t))＝20，故选D．9．(2024·蓉城名校第一次联考)已知n等于执行如图所示的程序框图输出的结果S，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(n)的绽开式中常数项是()A．10 B．20C．35 D．56解析：选B．执行程序框图，i＝0，S＝0，i＝0＋1＝1，满意i<4；S＝0＋1＝1，i＝1＋1＝2，满意i<4；S＝1＋2＝3，i＝2＋1＝3，满意i<4，S＝3＋3＝6，i＝3＋1＝4，不满意i<4退出循环，输出的S＝6.所以n＝6，二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(6)的绽开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,6)x6－2r，令6－2r＝0⇒r＝3，所以二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(6)的绽开式的常数项为T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.故选B．10．在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))的最小值为()A．12 B．15C．17 D．16解析：选B．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))取得最小值15，故选B．11．(2024·济南模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为(sinα)sinα，(sinα)cosα，(cosα)sinα，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则输出的x为()A．(cosα)cosα B．(sinα)sinαC．(sinα)cosα D．(cosα)sinα解析：选C．该程序框图的功能是输出a，b，c中的最大者．当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，0<cosα<sinα<1.由指数函数y＝(cosα)x可得，(cosα)sinα<(cosα)cosα.由幂函数y＝xcosα可得，(cosα)cosα<(sinα)cosα，所以(cosα)sinα<(sinα)cosα.由指数函数y＝(sinα)x可得，(sinα)sinα<(sinα)cosα.所以a，b，c中的最大者为(sinα)cosα，故输出的x为(sinα)cosα，正确选项为C．12．(一题多解)已知a，b，e是平面对量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为eq\f(π,3)，向量b满意b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A．eq\r(3)－1 B．eq\r(3)＋1C．2 D．2－eq\r(3)解析：选A．法一：设O为坐标原点，a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为eq\f(π,3)，所以不妨令点A在射线y＝eq\r(3)x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)－1.故选A．法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.设b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，e＝eq\o(OE,\s\up6(→))，3e＝eq\o(OF,\s\up6(→))，所以b－e＝eq\o(EB,\s\up6(→))，b－3e＝eq\o(FB,\s\up6(→))，所以eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，作射线OA，使得∠AOE＝eq\f(π,3)，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|－|eq\o(BC,\s\up6(→))|≥eq\r(3)－1.故选A．二、填空题13．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．解析：2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．(2024·济南市学习质量评估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝eq\f(1,2)(a＋b)，|d－c|＝eq\r(2)，则|d|的取值范围是________．解析：不妨令a＝(2，0)，b＝(0，2)，则c＝(1，1)．设d＝(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝2，点(x，y)在以点(1，1)为圆心、eq\r(2)为半径的圆上，|d|表示点(x，y)到坐标原点的距离，故|d|的取值范围为[0，2eq\r(2)]．答案：[0，2eq\r(2)]15．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则推断框内m的取值范围是________．解析：k＝1，S＝2，k＝2，S＝2＋4＝6，k＝3，S＝6＋6＝12，k＝4，S＝12＋8＝20，k＝5，S＝20＋10＝30，k＝6，S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满意S＝42＜m，退出循环，所以30＜m≤42.答案：(30，42]16．在△ABC中，(eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(AC,\s\up6(→)))⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，则角A的最大值为________．解析：因为(