2024-2025学年高一数学人教B版必修第四册教学课件 第十一章-11.3.1-11.3.2

11.3.111.3.2平行直线与异面直线直线与平面平行第十一章1.掌握空间平行线的传递性的内容及应用.2.理解空间等角定理的内容及应用.3.理解异面直线的概念，会判断两直线是否异面.4.理解直线与平面平行的判定定理、直线与平面平行的性质定理.5.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.重点：1.空间平行线的传递性与等角定理的应用.2.通过直观感知，操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理.难点：等角定理中角的相等与互补的辨别，异面直线的判断，线面平行的判定定理与性质定理的应用.学习目标1.空间平行直线的传递性（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行.上述结论（2）通常称为空间平行线的传递性，可以用符号表示为：如果a∥b，a∥c，则

.一、平行直线b∥c新知学习2.等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线，也就是这两条直线不能同时在任何一个平面内.如图，直线l与直线AB是异面直线.二、异面直线异面直线的一种判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形.其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶点的4个字母表示.如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为AB，BC，CD，DA，对角线为

，

.三、空间四边形ACBD直线与平面平行的判定定理（简称为线面平行的判定定理）如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.四、直线与平面平行直线与平面平行的性质定理（简称为线面平行的性质定理）如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行.

例1一平行直线<1>用空间平行线的传递性，判断空间两条直线平行

变式训练如图，已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形EBFD1是菱形.

例2<2>用等角定理，判断空间两角相等如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证：（1）四边形BB1M1M为平行四边形.（2）∠BMC＝∠B1M1C1.【证明】（1）∵ABCD-A1B1C1D1为正方体，∴AD＝A1D1且AD∥A1D1，AA1＝BB1且AA1∥BB1.∵M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形.（2）（方法1）由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同（1）可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1.（方法2）由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∴BM＝B1M1.同（1）可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴CM＝C1M1.又∵BC＝B1C1，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.解题归纳证明两条直线平行的两种方法（1）利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点.（2）寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与第三条直线平行.若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行.证明角相等的两种方法（1）利用定理.（2）利用三角形全等或相似.变式训练如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点.求证：（1）EF平行且等于E1F1.（2）∠EA1F＝∠E1CF1.【证明】（1）连接BD，B1D1（图略）.在△ABD中，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF平行且等于BD.同理E1F1平行且等于B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵AA1平行且等于DD1，AA1平行且等于BB1，∴B1B平行且等于DD1，∴四边形BDD1B1是平行四边形，∴BD平行且等于B1D1，∴EF平行且等于E1F1.（2）取A1B1的中点M，连接BM，F1M（图略）.∵MF1平行且等于B1C1，B1C1平行且等于BC，∴MF1平行且等于BC，∴四边形BCF1M是平行四边形，∴MB∥CF1.∵A1M平行且等于EB，∴四边形EBMA1是平行四边形，∴A1E∥MB，∴A1E∥CF1.同理A1F∥E1C.又∠EA1F与∠E1CF1两边的方向均相反，∴∠EA1F＝∠E1CF1.例3二异面直线<1>判断两直线的位置关系如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是

；②直线A1B与直线B1C的位置关系是

；③直线D1D与直线D1C的位置关系是

；④直线AB与直线B1C的位置关系是

.【解析】根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”.点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面.所以②④都应该填“异面”.直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以③应该填“相交”.【答案】①平行②异面③相交④异面解题归纳空间中两直线位置关系的判断方法1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法.由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.<2>证明（判断）两直线异面例4如图所示，已知不共面的直线a，b，c相交于点O，M，P是直线a上两点，N，Q分别是直线b，c上一点，求证：MN与PQ是异面直线.

例5在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是矩形BCC1B1的中心，F是矩形ADD1A1的中心，连接AE，B1F，求证：AE与B1F是异面直线.

变式训练在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有

（填上所有正确答案的序号）.②④1.①

②

③

④变式训练已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC边BC上的高，DF是△BCD边BC上的中线，求证：AE和DF是异面直线.2.

三直线与平面的位置关系例5

四直线与平面平行<1>用线面平行的判定定理，证明线面平行例6如图，已知P，Q是正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心.求证：PQ∥平面BCC1B1.【解题提示】要证明PQ∥平面BCC1B1，就要在平面BCC1B1内找一条直线与PQ平行.考虑到P，Q分别是面A1B1BA，ABCD的中心，可转化为线段中点，构造中位线解决问题.

解题归纳

如图，在四面体ABCD中，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面，分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.求证：四边形EFGH是平行四边形.<2>用线面平行的性质定理，证明线线平行例7

解题归纳利用线面平行的性质定理证题的一般步骤一、平行直