2024-2025学年高一数学人教B版必修第四册教学课件 第十一章-11.2平面的基本事实与推论

11.2平面的基本事实与推论第十一章1.会用平面的基本事实证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题.2.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换.重点：平面的基本事实.难点：符号语言、文字语言、图形语言之间的转换.学习目标基本事实1经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.一、平面的基本事实新知学习基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.推论1经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.二、平面基本事实的推论推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.例1一点、线确定平面问题空间中的五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定的平面最多有

个.【解析】∵空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，∴同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，任意一条线与第五个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上同一平面内四点确定的面，总共是7个面.【答案】7例2二证明点、线共面问题如图，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.

解题归纳证明点线共面问题的方法（1）纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；（2）辅助平面法（平面重合法），先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；（3）反证法.三点共线、线共点问题<1>三点共线问题例3如图所示，已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线.【解题提示】可以证明P，Q，R既在平面ABC内，又在平面α内，从而P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上.也可以先由AP，AR确定一个平面，说明平面APR与平面α交于PR，再证Q在直线PR上.

解题归纳证明三点共线的方法（1）找出两个平面，然后证明三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在交线上.（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.变式训练如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别在棱AB，BB1，CC1上，且PD，QR相交于点O.求证：O，B，C三点共线.1.证明：因为QR∩PD＝O，所以O∈QR且O∈PD，所以O∈平面BCC1B1且O∈平面ABCD.又平面ABCD∩平面BCC1B1＝BC，所以O∈BC，所以O，B，C三点共线.变式训练如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，点A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线.

2.<2>画两个平面的交线例4如图①所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，请画出平面BED1F与平面ABCD的交线.【解题提示】

【分析】利用平面的性质，延展平面BED1F，寻找其与平面ABCD的另一个交点G，连接BG，由基本事实2知直线BG即为平面BED1F与平面ABCD的交线.【解】画法：延长D1F，与DA的延长线交于点G，连接BG，BG即为平面ABCD与平面BED1F的交线，如图②所示.①

②<3>三线共点问题例5如图，在四面体ABCD中，E，G分别是BC，AB的中点，点F在CD上，点H在AD上，且DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点.

解题归纳证明三线共点问题的方法先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合基本事实3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.变式训练已知三个平面α，β，γ两两相交，且α∩β＝c，β∩γ＝a，α∩γ＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线相交于同一点.

一、平面的基本事实基本事实1经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的