艺考基础新高考数学一轮复习精讲精练第05讲拓展一分离变量法解决导数恒成立能成立问题高频考点精练解析版

第05讲拓展一：分离变量法解决导数恒成立，能成立问题(精练）A夯实基础一、单选题1．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：函数,对都有,当时,即,即为可化为令,则当时,,单调递减.因此所以故实数的取值范围是故选B2．已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，设，，∵，∴，∴在上恒为增函数，∴，∴，故选：B.3．已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【详解】函数的定义域为，.令，得或（舍）.当时，；当时，.所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.因为存在，使得不等式成立，所以，所以实数m的最小值为1.故选：C4．若函数，满足恒成立，则的最大值为（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【详解】解：因为，满足恒成立，所以，令，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的最大值为，故选：C.5．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】对任意都有恒成立，则时，，当时恒成立，

，当时恒成立，，故选：A6．已知函数．若的最小值为，且对任意的恒成立，则实数m的取值围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】∵函数的对称轴方程为，∴，令，当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，又对任意的恒成立，即，∴.故选：C7．已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为A．4 B．C． D．【答案】A【分析】试题分析：，则当时，；当时，，∴.，作函数的图象如图所示，当时，方程两根分别为和，则的最大值为.故选A.8．已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】不妨设，可得，可得，令，则，所以，函数在上为增函数，对任意的恒成立，所以，，当时，，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：B.二、多选题9．若关于的不等式在上有解，则实数的取值可以是（

）．A． B．1 C． D．【答案】ABC【详解】解：依题意，问题等价于关于的不等式在上有解．令，，则．令，，则，易知单调递增，，所以单调递增，故，故，则在上单调递增，故，即实数的取值范围为．故选：ABC10．已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】因为函数，满足对任意的，恒成立，当时，恒成立，即恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以.当时，恒成立.当时，恒成立，即恒成立，设，，，，为减函数，，，为增函数，所以，所以，综上所述：.故选：ABC三、填空题11．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】根据题意，当时，分离参数，得恒成立．令，∴时，恒成立．令，则，当时，，∴函数在上是减函数．则，∴．∴实数的取值范围是．故答案为：12．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.【答案】或【详解】由题可知：，因为函数在上存在极值点，所以有解所以，则或当或时，函数与轴只有一个交点，即所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去所以或，即或故答案为：或四、解答题13．已知函数，其中为自然对数的底数.（参考数据：）(1)讨论的单调性；(2)设，恒成立，求的最大值.【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．(2)3(1)由题意得，则，当时，当时恒成立，则在上单调递减；当时，令，得，令，得.函数在上单调递增，在上单调递减；当时，令，得，令，得，函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．(2)设函数，则，令，得，在上单调递减，在上单调递增；则，要使恒成立，只要恒成立，即令，则当时恒成立∴在上单调递减，又∵，所以满足条件的的最大值为3.14．已知函数.(1)当时，求的单调区间与极值；(2)若在上有解，求实数a的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值(2)(1)当时，，所以当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值.(2)因为在上有解，所以在上有解，当时，不等式成立，此时，当时在上有解，令，则由（1）知时，即，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数a的取值范围是.B能力提升1．已知函数.（1）若，求曲线在处切线的方程；（2）求的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【答案】（1）；（2）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；（3）.【详解】（1）由已知，，曲线在处切线方程为，即.（2）.①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为，无单调递减区间.②当时，由，得.在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）由已知，转化为，由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，解得.2．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）.【详解】解：（1）由已知定义域为，当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.所以时，在