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2正交子空间第五节子空间1欧式空间的子空间2子空间的正交补一、欧式空间的子空间欧氏空间V的子空间在所V中定义的内积之下也是一个欧氏空间，称之为V的欧氏子空间.1、定义（1）与是欧氏空间V中的两个子空间，如果对则称子空间与为正交的，记作则称向量与子空间正交，记作恒有（2）对给定向量如果对恒有二、欧式空间的正交子空间

1）

当且仅当中每个向量都与正交．

2）

3）

当且时，必有

二、欧式空间的正交子空间2、性质证：设子空间两两正交，4）两两正交的子空间的和必是直和．设由内积的正定性，可知

二、欧式空间的正交子空间2、性质1、定义如果欧氏空间V的子空间满足并且则称为的正交补。三、子空间的正交补

维欧氏空间V的每个子空间都有唯一正交补.证：当时，V就是的唯一正交补．

当时，也是有限维欧氏空间.取的一组正交基由正交化的结论可知，它可扩充成V的一组正交基2、性质三、子空间的正交补记子空间

显然,又对

即为的正交补.

2、性质三、子空间的正交补再证唯一性.设是的正交补，则对由上式知

即有

2、性质三、子空间的

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