重庆市渝中区2024年中考数学重难点检测卷（含答案）

重庆市渝中区2024年中考数学点检测卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单选题1．32A．23 B．−32 C．−2．如图，已知AB∥CD，∠ABE=65°，∠E=25°，则∠CFE的度数为（）A．40° B．30° C．45° D．50°3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OC：CF=2：3，A．10 B．6 C．5 D．44．估算(27A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间5．根据如图所示的程序计算y的值，若输入x的值为3时，输出y的值为4，则输入x的值为6时，输出y的值为（）A．14 B．11 C．10 D．86．在一次设计环保标志的活动中，初三（1）班的同学们积极投稿，班主任王老师准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，若每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒.设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，根据题意得方程组（）A．x=2y+2x=3y−3 B．C．x=2y+2×2x=3y−3×3 D．7．将大小形状完全相同的”△”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中”△”的个数，则第8个图中三角形的个数是（）A．40 B．42 C．43 D．448．如图，AB与⊙O相切于点F，连接OB、OA分别交⊙O于点D、C，E为⊙O上一点，连接CE，DE.若⊙O半径为2，∠OAB=30°，AB=23+2，则A．60° B．65° C．55° D．52.5°9．若关于x的不等式组3x+54≤x+32x+12A．10 B．12 C．16 D．1410．对于两个正整数a，b(a<b)，将这两个数进行如下操作：第一次操作：计算b与a的差的算术平方根，记作x1；第二次操作：计算b与x1的差的算术平方根，记作x2；第三次操作：计算b与x2的差的算术平方根，记作①当a=3时，b=12；②当b=306时，a=18；③点P(a，b)一定在抛物线④当a=1，2，3，…，n时，对应b的值分别为b1，b2，b3，…，bn，若A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．计算：(1212．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．13．已知一个不透明的盒子里装有4个球，其中1个红球，3个白球，这些球除颜色外其它均相同，现从中随机地摸出一个小球，不放回，然后再从剩下的小球中随机摸出一个，则摸出的两个小球恰好都是白球的概率为．14．一个等腰三角形的顶角为140°，则它一腰上的高与另一腰的夹角为°．15．某口罩厂一月份的口罩产量为160万只，由于市场需求逐渐减少，三月份的产量减少到90万只．假设该厂二、三月份的口罩产量的月平均减少率为x，则可列方程为．16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC，BD交于点O．以BC为直径在BC上方作半圆，半圆与AB交于点E，再以B为圆心，BA为半径作弧AC．若BD=83，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π17．若关于x的不等式组2x−1≤x+735x+1−a≥0有且只有四个整数解，且关于y的分式方程a+1y+1=18．一个四位正整数A=2000a+120b+10c+d+3，其中1≤a，b≤4，1≤2b+c≤9，0≤d≤6，且a，b，c，d均为整数．A的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将A的千位数字和百位数字组成的两位数记为s，十位数字和个位数字组成的两位数记为t．记A的千位数字与个位数字的乘积为P(A)，百位数字与十位数字的乘积为Q(A)．若s+t被7除余4，则b+d=，在此条件下，当P(A)−Q(A)=k2−4（k为整数）时，最大的四位正整数三、解答题19．化简：（1）(x−y)(x+y)−x(x−y) （2）a−220．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，AE平分∠BAD，交CD于点E．（1）请用尺规作∠BCD的角平分线CF，交AB于点F（只保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据图形证明四边形AECF为平行四边形，请完成下面的填空．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠BAD=∠BCD，∴①（两直线平行，内错角相等），又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠EAF=②，∠ECF=③，∴∠EAF=④，∴AE∥⑤，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE∥AF，∴四边形AECF为平行四边形（⑥）（填推理的依据）．21．特种部队是世界些国家军队中，担负破袭敌方重要的政治、经济、军事目标和遂行其他特殊任务的部队，某特种部队在今年4月中旬，为加强自身的作战能力，特分为蓝队、红队进行常规训练科目比赛．现从蓝队、红队中各随机抽取10名军人的比赛成绩（百分制）进行整理和分析（用x表示成绩得分，共分为四组：A．80≤x<85，B．85≤x<90，C．90≤x<95，D．95≤x≤100），下面给出了部分信息：蓝队10名军人的比赛成绩是：97，85，96，84，96，96，96，84，90，96．红队10名军人的比赛成绩在C组中的数据是：92，93，94．蓝队、红队抽取的军人比赛成绩统计表红队抽取的军人比赛成绩扇形统计图组别蓝队红队平均数9292中位数96m众数b98方差28．628．1根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a=，b=，m=；（2）根据以上数据，你认为该特种部队中蓝队、红队哪一个比赛成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）；（3）该特种部队中蓝队、红队共60人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的军人人数是多少？22．春笋含有丰富的营养成分，是春天的重要食材．今年4月初，某蔬菜批发市场一店主张先生用2000元购进一批春笋，很快售完；张先生又用3200元购进第二批春笋，所购春笋的重量是第一批的2倍，由于进货量增加，第二批春笋的进价比第一批每千克少2元．（1）第一批春笋每千克进价多少元？（2）张先生的两批春笋若都按照同样的单价全部售出，要使得总利润率不低于25%23．如图1．在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=4，AB=10，点P在四边形的边上，且沿着点B→C→D→A运动．设点P的运动路程为x，记AB、BP、PA围成的图形面积为S，y（1）请直接写出y1与x的函数关系式，并写出x（2）如图2，平面直角坐标系中已画出函数y2的图像，请在同一坐标系中画出函数y（3）结合y1与y2的函数图象，直接写出当y1>y24．某学校初中实践小组为测量学校附近与地面垂直的某商业楼AB墙面上的广告牌AC的高度进行了一系列测量，得到如下一些数据：站在距离商业楼底部B处12米远的地面D处，测得广告牌的底部C的仰角为45°，同时测得商业楼的窗户G处的仰角为30°，然后，向前前行8米走到点E处，再沿坡度为i=1：0.75的斜坡从E走到F处，此时GF正好与地面平行，在F处又测得广告牌顶部A的仰角为26°．(其中A、C、G、B在同一直线上，B、D、E在同一直线上)(参考数据：（1）求点F距离水平地面的高度和它与窗户G的距离；(结果不取近似值)（2）求广告牌AC的高度(结果精确到0.25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A(−3，0)，B(1，0)，直线y=x+2与抛物线交于C，D两点，点P是CD下方抛物线上的一点．过点P作PE丄CD（1）求抛物线的函数表达式；（2）当PE取得最大值时，求点P的坐标和PE的最大值；（3）将抛物线向右平移3个单位得到新抛物线，G为原抛物线对称轴上一点；点H为新抛物线上一点．当(2)中PE最大时，直接写出所有使得以点A，P，G，H为顶点的四边形是平行四边形的点H的坐标，并把求其中一个点H的坐标的过程写出来．26．如图，CD为△ABC的中线，以CD为直角边在其右侧作直角△CDE，CD丄DE，BC与DE交于点F，∠CED=30°．（1）如图1，若CF=EF=5，求CD的长；（2）如图2，若将BC绕点C逆时针旋转120°得到CG，连接AG、AE，探究AG、AE的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若∠ACB=90°，AC=2，BC=23，直线CE上有一点M，连接MF，将△CFM沿着MF翻折到△ABC所在的平面内得到△NFM，取NF的中点P，连接AP，当AP最小时，请直接写出△APB

答案解析部分1．【答案】B【解析】解答】解：根据题意可得：32的相反数是：-故答案为：B．【分析】根据相反数的定义进行解答即可．2．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，设BE,CD交于点∵AB∥CD，∴∠BGF=∠ABE=65°∵∠E=25°∴∠CFE=∠BGF−∠E=65°−25°=40°故答案为：A．【分析】设BE,CD交于点G，根据平行线的性质可得3．【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形∴△ABC∽△DEF∴∵OC∴∴△DEF的周长为15，∴故答案为：B．【分析】根据位似图形的性质，得到△ABC∽△DEF，根据OC:CF=2:4．【答案】C【解析】【解答】解：(27∵16<18<25，∴4<32∴2<32故答案为：C．【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，再估计大小即可．5．【答案】A【解析】【解答】解：∵输入x的值是3时，输出的y的值为4，∴4=2×3−m，解得：m=2，若输入x的值是6，则输出的y的值是：y=2×6+2=14．故答案为：A．【分析】根据程序计算得出m的值，进而代入求出x=6时对应的值．6．【答案】C【解析】【解答】解：∵每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒，∴x=2y+2×2，∵每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒，∴x=3y−3×3，∴依题意列出方程组为x=2y+2×2x=3y−3×3故答案为C．【分析】设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，依据“若每2位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每3位同学奖励一盒巧克力，则又多了3盒”列二元一次方程组即可解题．7．【答案】D【解析】【解答】解：第1个图中三角形个数为2，第2个图中三角形个数为2+3=5，第3个图中三角形个数为2+3+4=9，第4图中三角形个数为2+3+4+5=14，以此类推，第8个图中三角形个数为2+3+4+5+6+7+8+9=44.

故答案为：D.

【分析】分别数出第1、第2、第3、第4个图中三角形的个数，得出三角形的增长规律，即可推出第8个图中三角形的个数．8．【答案】D【解析】【解答】∵AB与⊙O相切于点F，∴半径OF⊥AB，∴∠OFA=90°，∵∠A=30°，∴∠AOF=60°∴AF=OF×∵AB=23∴BF=2，∴OF=BF，∴△OBF是等腰直角三角形，∴∠BOF=45°，∵∠AOF=90°−30°=60°∴∠DOC=∠BOF+∠AOF=105°∴∠CED=1故答案为：D．【分析】由切线的性质定理得到∠OFA=90°，又∠A=30°，得到∠AOF=60°，由△OBF是等腰直角三角形得到∠BOF=45°，得出∠COD=105°，再根据圆周角定理即可求出．9．【答案】B【解析】【解答】3x+5解不等式①，得x≤1．解不等式②，得x>a−1．因为关于x的不等式组3x+54≤x+3解得a≥2．解关于y的分式方程5−ay2−y−1=3∵6a−1为整数，a≥2，6∴a=2或a=3或a=7．∴满足条件的所有整数a的和=2+3+7=12．故答案为：B．【分析】根据不等式组无解可求得a的取值范围，根据分式方程的解为整数，且y−2≠0，即可求得满足条件的所有整数a的值．10．【答案】B【解析】【解答】由题意得，x1x₁=x₂=a，a²则当a=3时，b=12，∴①正确.当b=306时，a=17或a=−18，∴②错误.将P的坐标代入抛物线得b=a+a²∴式子成立，③正确.当a=1时，b=2.当a=2时，b=6.当a=3时，b=12.当a=n时，b=n²即3∴1∵1∴1−1∴1∴n=41.∴④错误.故选：B.

【分析】根据新定义，得出a²11．【答案】1+【解析】【解答】(故答案为：1+2【分析】根据负整数指数幂以及化简绝对值进行计算即可求解．12．【答案】8【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得（N－2）•180＝3×360，解得N＝8．则这个多边形的边数是8．【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．13．【答案】1【解析】【解答】解：列出表格如下：红白1白2白3红(红，白1)(红，白2)(红，白3)白1(白1，红)(白1，白2)(白1，白3)白2(白2，红)(白2，白1)(白2，白3)白3(白3，红)(白3，白1)(白3，白2)一共有12中情况，摸出的两个小球恰好都是白球的6中，∴摸出的两个小球恰好都是白球的概率=6故答案为：12【分析】根据题意，列出表格，数出所求的情况数和符合条件的情况数，再用概率公式求解．14．【答案】50【解析】【解答】解：如图所示，∵∠CAB=140°，∴∠DCA=180°−140°=40°∵CD是AB上的高，∴∠D=90°∴∠DCA=90°−∠DAC=50°故答案为：50．【分析】根据题意得出∠DCA=40°，再根据直角三角形的两锐角互余即可求解．15．【答案】160【解析】【解答】解：根据题意可得：160(1−x)故答案为：160(1−x)【分析】设该厂二、三月份的口罩产量的月平均减少率为x，则可以得到方程160(1−x)16．【答案】16π【解析】【解答】解：如图所示，连接点E和BC中点F，交BO于点G，∵四边形ABCD为菱形，BD=83∴AB=BC，AC⊥BD，BO=1∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∠ABO=1在Rt△ABO中，AB=BO∴S扇形BAC∵EF=BF，∴△BEF为等边三角形，则∠EFB=60°,∵点F为BC中点，∴BF=EF=CF=1∴S扇形FEC∵BE=BF=1∴EF为△ABC中位线，则EF∥AC，∵AC⊥BD，∴BG⊥EF，∴BG=BF⋅cos∴S△BEF∴阴影部分的面积=S故答案为：16π3【分析】连接点E和BC中点F，交BO于点G，得出△ABC为等边三角形，得出BF=4，得出扇形EFC的面积，进而求得BG=23，求得△BEF的的面积，进而根据阴影部分的面积=17．【答案】-24【解析】【解答】解不等式2x−1≤x+73，得解不等式5x+1−a≥0，得x≥a−1∴不等式组的解集为a−15∵不等式组有且只有四个整数解，∴−2<a−15≤−1解a+1y+1=4y−1∵a+1y+1∴a+42≤0且a+42≠−1，即∴符合条件的整数a有−8,∴符合条件的所有整数a的和为−8−7−5−4=−24，故答案为：−24．【分析】先求出不等式组，根据分式方程的解为非正数，再根据解的情况确定a的范围，即可求解．18．【答案】5；6226【解析】【解答】解：⑴由题干可得：千位数字2a，百位数字b，十位数字2b+c，个位数字d+32a+2b+c=b+d+3可得：b+d=∵1≤b≤4，0≤d≤6且为整数，∴1≤b+d≤10，∴1≤7m+411−3≤10又∵7m+4为11的倍数，且m为整数，∴只有当m=12时符合题意，此时b+d=5；故答案为：5；⑵∵P(A)−Q(A)=2a(d+3)−b(2b+c)=k2∴2a(8−b)−b(2b+c)=k∴16a−2ab−2由2a+2b+c=b+d+3可得：16a−2ab−2b∴8(2a−b)=k∴k∵1≤a，b≤4，∴−2≤2a−b≤7，∴2a−b=0或4时可使k为整数，当2a−b=0时，若a=2，b=4，则d=1，c=−4，四位数为4444；若a=1，b=2，则d=3，c=2，四位数为2266；当2a−b=4时，若a=3，b=2，则d=3，c=−2，四位数为6226；若a=4，b=4，则d=1，c=−8，2b+c=0，不符合题意；所以A最大值为6226；故答案为：6226．

【分析】根据题意，找出千位数字2a，百位数字b，十位数字2b+c，个位数字d+3，再根据条件列数相关算式，即可解决问题；根据新定义求得P(A)和Q(A)，在通过条件化简整式，利用条件找出符合题意的最大的A．19．【答案】（1）解：(x−y)(x+y)−x(x−y)==−y（2）解：a−2====a【解析】【分析】（1）先根据整式的乘法法则计算，再合并同类项即可；（2）根据分式的混合运算法则计算即可．20．【答案】（1）解：如图：CF为所作，（2）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠BAD=∠BCD，∴∠ECF=∠CFB（两直线平行，内错角相等），又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠EAF=12∠BAD∴∠EAF=∠CFB，∴AE∥CF，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴CE∥AF，∴四边形AECF为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故答案为：①∠ECF=∠CFB②12∠BAD③12∠BCD④∠CFB【解析】【分析】（1）作∠BCD的平分线即可；（2）先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，∠BAD=∠BCD，则根据平行线的性质得到∠ECF=∠BFC，再根据角平分线的定义得到∠EAF=12∠BAD，∠ECF=12∠BCD，所以∠EAF=∠BFC，得出21．【答案】（1）40；96；93（2）解：蓝队比赛成绩较好些，理由见解析：因为红队和蓝队的平均数都是92，且蓝队的中位数是96，蓝队的中位数是93.则93.（3）解：特种部队中蓝队、红队共20人能知道有10名军人为成绩优秀(x≥95)，即1020所以该特种部队中蓝队、红队共60人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的军人人数为60×1【解析】【解答】（1）解：红队10名军人的比赛成绩在C组中有3名，所以C组为30％，a％=100％−10％−20％−30％=40％，即a=40，∴红队10名军人有2名在A组，有1名在B组，有3名在C组，有4名在D组，∴红队的中位数在C组，又∵红队10名军人的比赛成绩在C组中的数据是：92，93，94．∴m=93+94因为蓝队10名军人的比赛成绩是：97，85，96，84，96，96，96，84，90，96．所以众数b=96；（2）解：蓝队比赛成绩较好些，理由如下，∵红队和蓝队的平均数都是92，且蓝队的中位数是96，蓝队的中位数是93.而93.5<96，

（3）解：特种部队中蓝队、红队共20人能知道有10名军人为成绩优秀(x≥95)，即1020所以该特种部队中蓝队、红队共60人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的军人人数为60×1【分析】（1）根据题意得出C组为30％，即可得到a％和m值，观察蓝队10名军人的比赛成绩，根据众数的定义即可得出b=96；（2）比较中位数值大小即可；（3）特种部队中蓝队、红队共20人能知道有10名军人为成绩优秀(x≥95)，即1222．【答案】（1）解：设第一批春笋每千克进价为x元，那么第二批春笋每千克进价为(x−2)元，由题意得，2×2000x=经检验：x=10符合题意，答：第一批春笋每千克进价为10元；（2）解：由（1）知，200010=200，320010−2=400，即张先生第一批春笋为设两批春笋的销售单价为y元，则有600y−2000−3200≥25%600y−5200≥25%解得：y≥65答：两批春笋的销售单价不低于11元．【解析】【分析】（1）设第一批春笋每千克进价为x元，那么第二批春笋每千克进价为(x−2)元，根据题意列出分式方程，即可求解；

（2）由（1）知，200010=200，320010−2=400，即张先生第一批春笋为23．【答案】（1）解：y（2）解：函数y1（3）解：10【解析】【解答】解：（1）由题意知：当0≤x≤5时，点P在BC上运动，如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点C作CN⊥AB于点N，由题意得：BN=1则CN=B∴sin∴y当5<x<9时，点P在BC上运动，如图，过点P作PT⊥AB于点T，则y1当9≤x≤14时，点P在AD上运动，同理可得y1综上可得：y1（3）将y=4x与y=40x联立，得解得x=10或x=−将y=56−4x与y=40x联立，得解得x=7+39或x=7−由图可知，当y1>y2时，x的取值范围是10<x<7+39．

【分析】（1）分“点P在BC上运动，点P在（2）根据描点、连线即可；（3）结合函数图象即可得出答案．24．【答案】（1）解：过点F作FM⊥BE于M，如图，依题意知，FM∥BG，FG∥BE，∠FMB=90°，∴四边形GBMF是矩形，∴GB=FM，GF=BM，在Rt△GBD中，BD=12，GB=BD⋅tan∴FM=43∵斜坡EF的坡度为i=1：0.∴Rt△EFM中，EM=0.75FM=43∴FG=BM=BD+DE+EM=33答：点F距离水平地面的高度为43米，点F距窗户D的距离为(3（2）解：在Rt△AGF中，AG=FG×tan∵∠CDB=45°，∠CBD=90°，∴△CBD是等腰直角三角形，∴CB=BD=12，∴AC=AG−CG=AG−(CB−GB)≈7.答：广告牌AC的高度约为7.3米．【解析】【分析】（1）过点F作FM⊥BE于M，则四边形GBMF是矩形，即有GB=FM，GF=BM，在Rt△GBD中，GB=BD⋅tan∠GDB，利用斜坡EF的坡度为i=1:0.75，在（2）在Rt△AGF中，AG=FG×tan∠AFG，再证明CB=BD=12，即根据25．【答案】（1）解：将A(−3，0)，B(1，0)代入二次函数y=x9−3b+c=01+b+c=0解得：b=2c=−3∴二次函数的解析式为：y=x（2）解：过点P作PH∥y轴交AD于点H，由直线CD的表达式知，其与x轴正半轴的夹角为45°，则∠EHP=45°，则PE=2设点P(x，x2+2x−3)则PE=2∴PE的最大值为2128，此时点P的坐标为（3）解：平移后的抛物线的表达式为：y=(x−3)设点G(−1，m)，H(n，n当AG是对角线时，由中点坐标公式可得：−3−1=n−1解得：n=−7即点H的坐标为(−7当AP或AH为对角线时，由中点坐标公式得：−12−3=n−1解得：n=32或即点H的坐标为(32，−综上，点H的坐标为(32，−154【解析】【分析】（1）将A(−3，0)，B(1，0)代入二次函数y=x（2）过点P作PH∥y轴交AD于点H，由直线CD的表达式知，其与x轴正半轴的夹角为45°，则∠EHP=45°，则PE=22PH，设点P(x，x2（3）先求得平移后的解析式，进而设点G(−1，m)，H(n，n2−4n)，当AG是对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解，当AP26．【答案】（1）解：在Rt△CDE中，∵∠CDE=90°，∠E=30°，∴∠DCE=60°，又∵CF=EF=5，∴∠ECF=∠E=30°，∴∠ECF=∠DCF=30°，∴CD=CF⋅cos（2）解：AG=AE，理由如下，倍长ED至