2022年广东省深圳市福田区一模数学试卷（解析版）

2022年广东省深圳市福田区一模数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案按要求填涂到答题卡相应位置上）1.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.某种福利彩票特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法表示方法直接求解即可．【详解】．故选：C【点睛】此题考查科学记数法，解题关键是表示方法为．3.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有()A.6个 B.15个 C.13个 D.12个【答案】D【解析】【详解】解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%．∴，解得：x=12．经检验：x=12是原方程的解∴白球的个数为12个．故选D．4.下列运算中正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法运算法则求解即可．【详解】解：A．，原式结果错误；B．，原式结果正确；C．，原式结果错误；D．，原式结果错误．故选：B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．5.某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是（）A.众数是8 B.中位数是8 C.平均数是8 D.方差是8【答案】D【解析】【分析】由题意可知：这组数据的平均数＝（10+8+6+9+8+7+8）÷7；总数个数是奇数的，按从小到大的顺序排列，取中间的那个数便为中位数，按此方法求中位数；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，这组数据8出现次数最多，由此求出众数；一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，按此方法计算方差．【详解】解：平均数＝（10+8+6+9+8+7+8）÷7＝8；按从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，10，∴中位数是8；∵8出现了3次，次数最多，∴众数是8；方差S2＝[（10﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2]＝1.25．所以D错误．故选：D．【点睛】考查了方差，加权平均数，中位数及众数的知识，正确理解中位数、众数及方差的概念，是解决本题的关键．6.若与都是反比例函数图象上的点，则a的值是（）A.4 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先把用代入确定反比例函数的比例系数k，然后求出函数解析式，再把点（-2，a）代入可求a的值．【详解】解：∵点是反比例函数图象上的点；∴k=2×4=8∴反比例函数解析式为：∵点是反比例函数图象上的点，∴a=-4故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7.下列说法中，正确的是（）A.当x≠－1时，有意义B.对角线相等的四边形是矩形C.三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等D.若a＜b则一定成立【答案】C【解析】【分析】由分别使分式和二次根式有意义的条件，即可判断A；由矩形的判定条件，即可判断B；由三角形垂心的性质，即可判断C；当m=0时，，即可判断D．【详解】A．当，即时，有意义，故该选项错误，不符合题意．B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故该选项错误，不符合题意．C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，正确，符合题意．D．当m=0时，则，故该选项错误，不符合题意．故选C．【点睛】本题考查使分式和二次根式有意义的条件，矩形的判定，三角形垂心的性质等知识．熟练掌握各知识点是解答本题的关键．8.如图，点C在以AB为直径的圆上，则BC＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆周角定理得出∠ACB=90°，根据三角函数的定义求出BC即可．【详解】解：连接AC，∵AB是⊙的直径，∴∠ACB=90°，∵sinB=，cosB=，tanB=，∴AC=AB•sinB，BC=AB•cosB，AC=BC•tanB，观察四个选项，选项B正确，故选；B．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．9.甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每个小时甲厂比乙厂多生产1000个这种类型的口罩，甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为（）A.＝ B.＝C.＝ D.＝【答案】C【解析】【分析】直接利用甲厂生产30000个和乙厂生产25000个口罩的时间相同得出等式即可．【详解】解：设甲厂每小时生产这种类型的口罩个，依据题意列方程为：．故选：C．【点睛】本题考查了根据实际问题列分式方程，找到等量关系是解题的关键．10.如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（）A B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】过点D作DH⊥AF于点H，由锐角三角函数的定义求出CD＝1，AD＝3，由旋转的性质得出DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，证出∠DCE＝∠DAF，设AH＝a，DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝32，求出a可得出答案．【详解】解：过点D作DH⊥AF于点H，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∵tan∠ACB3，设CD＝x，∴AD＝3x，∴BC＝3x+x＝4，∴x＝1，∴CD＝1，AD＝3，∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，∴DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，∴，∴∠DCE＝∠DAF，∴tan∠DAH＝3，设AH＝a，DH＝3a，∵AH2+DH2＝AD2，∴a2+（3a）2＝32，∴a，∴AH，∵DA=DF，DH⊥AF，∴AF＝2AH，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定，应用三角函数解直角三角形，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.方程x2﹣2x=0的解为_____________【答案】x1=0，x2=2【解析】【分析】把方程的左边分解因式得x（x-2）=0，得到x=0或x-2=0，求出方程的解即可．【详解】解：x2-2x=0，x（x-2）=0，x=0或x-2=0，故答案为：x1=0，x2=2．【点睛】本题主要考查对解一元二次方程-因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．12.2022年冬奥会的主题口号是“一起向未来”，从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小，形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“来”字的概率是______．【答案】【解析】【分析】根据概率公式计算即可．【详解】从5张上面分别写着“一”“起”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小，形状完全相同）中随机抽取一张的结果可能有5种，其中恰好写着“来”字的结果有1种，∴随机抽取的这张卡片恰好写着“来”字的概率．故答案为：．【点睛】本题考查简单的概率计算．熟练掌握概率公式是解题关键．13.如图，直角中，，根据作图痕迹，若，，则________cm．【答案】【解析】【分析】先解直角三角形ABC求出BC的长，从而求出AB的长，再由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，即可得到BE的长，再解直角△BED即可得到答案．详解】解：∵∠C=90°，AC=3cm，，∴，∴BC=4cm，∴，由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，∴DE⊥AB，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE是线段AB的垂直平分线是解题的关键．14.若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是______（填“>”、“=”或“<”）【答案】<【解析】【分析】先根据不等式的性质判断，再根据反比例函数的增减性判断即可．【详解】解：∵∴即∴反比例函数图像每一个象限内，y随x的增大而增大∵1<3∴<故答案为：<．【点睛】本题考查反比例函数的增减性、不等式的性质、熟练掌握反比例函数的性质是关键．15.如图，在正方形ABCD中，，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N．连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，则NG⋅CG的值为_____．【答案】15【解析】【分析】把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，先证△MCG≌△HCG得MG＝HG，由BG：MG＝3：5可设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，继而知BH＝4a，MD＝4a，由DM+MG+BG＝12a＝12可求出a，最后通过△MGN∽△CGB可得出答案．【详解】解：如图，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，过M作ME⊥BC，MF⊥AB，∵∵MC＝MN，MC⊥MN，∴△MNC是等腰直角三角形，∴∠MNC＝45°，∴∠NCH＝45°，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MG＝3：5，设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，∵正方形ABCD的边长为，∴BD＝12，∴DM+MG+BG＝12a＝12，∴a＝1，∴BG＝3，MG＝5，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴，∴CG•NG＝BG•MG＝15．故答案为：15．【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、相似三角形的性质、正方形的性质，联系题目实际，结合全等三角形、正方形的性质构造相似三角形进行求解是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16.计算：．【答案】【解析】【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，进行计算即可求解．【详解】解：原式【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．17.解方程：．【答案】，【解析】【分析】直接利用因式分解法解方程即可．【详解】∴或∴解得，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）【答案】斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米．【解析】【分析】在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据锐角三角函数求出AD、BD，即可求出AB．【详解】如图，由题意得，在△ABC中，CD=100，∠ACD=30°，∠DCB=20°，CD⊥AB，在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=100×≈57.73(米)，在Rt△BCD中，BD=CD•tan∠BCD≈100×0.36≈36(米)，∴AB=AD+DB=5773+36=93.73≈93.7(米)，答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题问题，掌握锐角三角函数的意义是解题的关键．19.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，且AE=AF．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AF=3，BF=5，求BE的长．【答案】（1）证明过程见详解（2）【解析】【分析】（1）先证△AED≌△AFD，得到∠DAE=∠DAF，DE=DF，根据圆周角定理可得∠DBC=∠DAC=∠DAF，再根据切线的性质证明∠FAD=∠ABD，即可得证；（2）证明△BFA∽△AFD，即有，即可求出DF，结合DE=DF即可求出BE．小问1详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADF=∠ADB=90°，∴∠F+∠FAD=90°，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴△AED≌△AFD，∴∠DAE=∠DAF，DE=DF，∴∠DBC=∠DAC=∠DAF，∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB=90°，∴∠F+∠ABD=90°，∵∠F+∠FAD=90°，∴∠FAD=∠ABD，∵∠DBC=∠FAD，∴∠DBC=∠ABD，∴BD平分∠ABC；【小问2详解】∵∠FAD=∠ABD，∠F=∠F，∴△BFA∽△AFD，∴，∵BF=5，AF=3，即，在（1）中已证得DE=DF，∴BE=BF-DE-DF=5-=．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、角平分线的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键．20.某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y＝﹣10x+1000（2）销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元【解析】【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．【小问1详解】设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），将（40，600），（80，200）代入得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000；【小问2详解】由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝70时，W有最大值为9000，答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点D，E是线段BC上的两点（E在D的右侧），，过点D作DP∥y轴，交直线BC上方抛物线于点P，过点E作EF⊥x轴于点F，连接FD，FP，当△DFP面积最大时，求点P的坐标及△DFP面积的最大值；（3）如图2，在（2）取得面积最大的条件下，连接BP，将线段BP沿射线BC方向平移，平移后的线段记为B'P'，G为y轴上的动点，是否存在以B'P'为直角边的等腰Rt△GB'P'？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）点P的坐标为（2，）时，△PDF的面积最大值为（3）存在；点G的坐标（0，）或（0，）【解析】【分析】（1）将点A和点C分别代入求得a和c的值，得到抛物线的解析式；（2）过点E作EH⊥直线PD于点H，由PD∥y轴得到∠DEH＝∠CBO，然后由等角的余弦值相等得到EH的长，再求得直线BC的解析式，然后设点P的坐标，得到点D的坐标，进而得到PD的长，即可求得△PDF的面积，进而利用二次函数的性质求得△PDF的面积最大值和点P的坐标；（3）分情况讨论：当点B'在y轴的右侧和左侧时，分别讨论点P'为直角顶点和点B'为直角顶点几种情况，然后作出辅助线构造K型全等，然后设点B'、点P'和点G的坐标，根据全等三角形的性质列出方程求得点G的坐标．【小问1详解】将A（﹣1，0），C（0，3）代入，得，解得：，∴抛物线的解析式为：．【小问2详解】过点E作EH⊥PD于点H，令y＝0，得，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∵EH⊥PD，BO⊥CO，∴HE∥OB，∴∠DEH＝∠CBO，∴cos∠DEH＝cos∠CBO，即，∴，解得：HE＝1，设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴直线BC的解析式为：，设，，则，∴，配方得：，∵，∴t＝2时，S△FPD有最大值为，∴点P的坐标为（2，）时，△PDF的面积最大值为．【小问3详解】设B'（x，x+3）（x≤4），G（0，y），∵P（2，），B（4，0），线段BP沿射线BC方向平移，∴P'（x﹣2，x），①如图2，当点B'1在y轴右侧，∠G1B'1P'1＝90°时，B'1P'1＝B'1G1，过点B'1作B'1M1⊥y轴于点M1，过点P'1作P'1N1⊥B'1M1于点N1，则∠P'1N1B'1＝∠B'1M1G1＝90°，∠P'1B'1N1+∠M1B'1G1＝90°，∴∠P'1B'1N1+∠N1P'1B'1＝90°，∴∠M1B'1G1＝∠N1P'1B'1，∴△M1B'1G1≌△N1P'1B'1（AAS），∴M1G1＝B'1N1，P'1N1＝B'1M1，∵M1G1x+3﹣y，B'1N1＝2，P'1N1，B'1M1＝x，∴x+3﹣y＝2，且x4，舍去；②如图3，当点B'2在y轴右侧，∠G2P'2B'2＝90°时，B'2P'2＝P'2G2，过点P'2作P'2N2⊥y轴于点N2，过点B'2作B'2M2⊥N2P'2的延长线于点M2，则∠P'2N2G2＝∠B'2M2P'2＝90°，∠P'2B'2M2+∠M2P'2B'2＝90°，∴∠N2P'2G2+∠M2P'2B'2＝90°，∴∠N2P'2G2＝∠P'2B'2M2，∴△N2P'2G2≌△M2B'2P'2（AAS），∴N2G2＝P'2M2，P'2N2＝B'2M2，∵N2G2xy，P'2M2＝2，P'2N2＝x﹣2，B'2M2，∴xy＝2，且x﹣2，∴x4，y，舍去；③如图4，当点B'3在y轴左侧，∠G3P'3B'3＝90°时，B'3P'3＝P'3G3，过点P'3作P'3M3⊥y轴于点M3，过点B'3作B'3N3⊥M3P'3于点M3，则∠P'3M3G3＝∠B'3N2P'3＝90°，∠P'3B'3N3+∠N3P'3B'3＝90°，∴∠M3P'3G3+∠N3P'3B'3＝90°，∴∠P'3B'3N3＝∠M3P'3G3，∴△P'3B'3N3≌△G3P'3M3（AAS），∴M3G3＝P'3N3，P'3M3＝B'3N3，∵M3G3＝y﹣（x），P'3N3＝2，P'3M3＝﹣（x﹣2），B'2M2，∴yx2，且2