海淀区高三第一学期期末数学参考答案

高三年级（数学）参考答案第1页（共1页）海淀区2024—2025学年第一学期期末练习2025.01高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）B （2）A （3）A （4）C（5）B（6）B （7）A （8）C （9）B（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（

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）或 （12）（0，1），2（13） （14）（15）②④ 三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ），令，解得，所以,曲线的两条对称轴之间的距离最小值为．（Ⅱ）当时，，因为在区间上的最大值为，所以，由正弦函数性质，在上单调递减，所以，所以，所以．（17）（本小题14分）解：G（Ⅰ）取中点，连接，.G因为分别是，的中点.所以.因为，所以，所以四点确定平面.因为，，,所以.因为，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以.所以是的中点.（=2\*ROMANII）选条件①：因为，，，，所以.因为,所以.选条件②：因为,所以,所以.因为，，，，所以.因为，所以.则有两两垂直,建系如图.,,,,.设平面的一个法向量为,,,,令,则,.即.平面的一个法向量为.则.由于平面与平面夹角为锐角，所以其余弦值为.（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件，依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同，由古典概型，.（Ⅱ）根据题中数据，课程甲中等级成绩为等或等的所有学生共有6人，赋分依次为100，100，100，85，85，85.由题设，的所有可能值为170，185，200.，，所以的分布列如下：170185200.（Ⅲ）. （19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题设，解得，.所以，椭圆C的标准方程为.（Ⅱ）设，，则，，得直线的斜率.由得直线的斜率.由经过点得直线的方程.由得，由韦达定理得.所以，.

，，由于不重合，所以，所以所以，.因为两条直线不重合，所以，.另法：设直线的方程为，由得，设，因为，则.得.又,设，.由点在椭圆上得，即.所以,..所以，. 由于点不在直线上，所以，.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，，则，解得，所以函数的定义域为.（II）.因为在上是减函数，所以时，且.设，则时，，因为与在上是增函数，所以在上是增函数，（此处判断的单调性的时候也可以求导，）所以，解得.所以的取值范围是.（III）当时，.设，则，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数.①当时，，↘极小值↗，.②当时，方法一：由可知存在.当变化时，的变化情况如下表：↗极大值↘由得.因为，所以，因为所以所以.方法二：令，则，当变化时，的变化情况如下表：↗极大值↘所以时，，即，所以.因为，所以，所以.（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）的所有可能值为.（Ⅱ）①的最大值为，理由如下：（1）当时符合题意且.（2）假设中存在偶数，且首个偶数为（），因为为递增数列，所以存在，使得或，进而有.所以为奇数，此时均不为偶数，与为偶数矛盾. 所以中各项均为正奇数，又因为为递增数列，所以，即，.综上的最大值为1013.②的最小值为7，理由如下：（1）首先证明时存在符合条件的：当前7项为时，且可构造的后续项使其符合题意（如可取（））.（2）其次证明.由题，当时，，，所以，，进而有（）,所以所以.（3）最后证明.假设存在符合题意且，因为，所以当时，，所以存在，有，从而，