江苏专用2025版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3命题及其关系充分条件与必要条件教案含解析

PAGEPAGE1§1.3命题及其关系、充分条件与必要条件考情考向分析命题的真假推断和充分、必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理实力，题型为填空题，低档难度．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题，其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念一般地，假如p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q，且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q，且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件p⇏q，且q⇏p概念方法微思索若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件．题组一思索辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题．(√)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(√)题组二教材改编2．[P8习题T2]下列命题是真命题的是________．(填序号)①矩形的对角线相等；②若a>b，c>d，则ac>bd；③若整数a是素数，则a是奇数；④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题．答案①3．[P7例1]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是____________．答案若x≤y，则x2≤y2解析依据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．5．“sinα>0”是“α是第一象限角”的____________条件．答案必要不充分解析由sinα>0，可得α是第一或其次象限角及终边在y轴正半轴上；若α是第一象限角，则sinα>0，所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．6．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________．答案(2，＋∞)解析A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8，x∈R))))＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.题型一命题及其关系1．下列命题是真命题的是________．(填序号)①若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝y；②若x2＝1，则x＝1；③若x＝y，则eq\r(x)＝eq\r(y)；④若x<y，则x2<y2.答案①2．某食品的广告词为“华蜜的人们都拥有”，这句话的等价命题是______________．答案不拥有的人们不华蜜3．命题“若a≥2，则a2≥4”的否命题是______________．答案若a<2，则a2<44．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________．(填写全部真命题的序号)答案①②③解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，明显是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，明显是真命题，故②正确；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需留意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)推断一个命题为真命题，要给出推理证明；推断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)依据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题干脆推断不易进行时，可转化为推断其等价命题的真假．题型二充分、必要条件的判定例1(1)设x∈R，则“2x>2”是“eq\f(1,x)<1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析解不等式2x>2，得x>1；不等式eq\f(1,x)<1，即为eq\f(x－1,x)>0，解得x>1或x<0.∵{x|x>1}⊆{x|x>1或x<0}，∴“2x>2”是“eq\f(1,x)<1”的充分不必要条件．(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的____________条件．答案充分不必要解析由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p⇏q，所以綈p⇒綈q，綈q⇏綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件．思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：依据p⇒q，q⇒p进行推断，适用于定义、定理推断性问题．(2)集合法：依据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行推断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：依据一个命题与其逆否命题的等价性，把推断的命题转化为其逆否命题进行推断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．＝eq\f(1,2)成立”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析a∥b⇔sin2θ＝cos2θ⇔cosθ＝0或2sinθ＝cosθ⇔cosθ＝0或tanθ＝eq\f(1,2)，所以“a∥b”是“tanθ＝eq\f(1,2)成立”的必要不充分条件．(2)习近平总书记曾引用一句老话“打铁还需自身硬”来强调领导干部自身素养建设的重要性．那么“打铁”是“自身硬”的________条件．答案必要不充分题型三充分、必要条件的应用例2已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，∴0≤m≤3.,1＋m≤10，))∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需留意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要留意区间端点值的检验．跟踪训练2(1)设p：|2x＋1|<m(m>0)；q：eq\f(x－1,2x－1)>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为__________．答案(0,2]解析由|2x＋1|<m(m>0)，得－m<2x＋1<m，∴－eq\f(m＋1,2)<x<eq\f(m－1,2).由eq\f(x－1,2x－1)>0，得x<eq\f(1,2)或x>1.∵p是q的充分不必要条件，又m>0，∴eq\f(m－1,2)≤eq\f(1,2)，∴0<m≤2.(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.答案3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.利用充要条件求参数范围逻辑推理是从事实和命题动身，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学沟通、表达的基本思维品质．例已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析方法一命题p为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))，命题q为{x|a≤x≤a＋1}．綈p对应的集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x<\f(1,2)))))，綈q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x<a}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>1，,a≤\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1，,a<\f(1,2)，))∴0≤a≤eq\f(1,2).方法二命题p为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1))))，命题q为B＝{x|a≤x≤a＋1}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即AB.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1，,a<\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>1，,a≤\f(1,2)，))∴0≤a≤eq\f(1,2).素养提升例题中得到实数a的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清楚．1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________．答案2解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是________________．答案若a≤b，则a＋c≤b＋c解析否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．3．“φ＝eq\f(π,2)”是“函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析若函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴必要性不成立．若φ＝eq\f(π,2)，则函数y＝sin(x＋φ)＝cosx的图象关于y轴对称，∴充分性成立．∴“φ＝eq\f(π,2)”是“函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称”的充分不必要条件．4．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．5．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确的是________．(填序号)答案①③④解析①的逆命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m>1”．因为当m＝0时，解集不是R，所以应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,Δ<0，))即m>1.所以③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．所以正确的命题序号是①③④.6．直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8.则“m≠－7”是“l1与l2相交”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析因为l1与l2相交，所以(3＋m)(5＋m)≠8，所以m≠－1且m≠－7.所以“m≠－7”是“l1与l2相交”的必要不充分条件．7．设p：实数x，y满意x>1且y>1，q：实数x，y满意x＋y>2，则p是q的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析当x>1，y>1时，x＋y>2肯定成立，即p⇒q，当x＋y>2时，可令x＝－1，y＝4，即q⇏p，故p是q的充分不必要条件．8．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．答案(0,3)解析令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0<x<4}．∵p是q的充分不必要条件，∴MN，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a＋1<4，))解得0<a<3.9．下列结论错误的是________．(填序号)①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；②“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件；③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”．答案③解析命题③的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－eq\f(1,4)，不能推出m>0，所以不是真命题．10．若“数列an＝n2－2λn(n∈N*)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是________________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析若数列an＝n2－2λn(n∈N*)为递增数列，则有an＋1－an>0，即2n＋1>2λ对随意的n∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<eq\f(3,2).因为原命题为假命题，故所求λ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).11．在△ABC中，角A，B均为锐角，则“cosA>sinB”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析因为cosA>sinB，所以cosA>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，因为角A，B均为锐角，所以eq\f(π,2)－B为锐角，又因为余弦函数y＝cosx在(0，π)上单调递减，所以A<eq\f(π,2)－B，所以A＋B<eq\f(π,2)，因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C>eq\f(π,2)，所以△ABC为钝角三角形；若△ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，则C>eq\f(π,2)，所以A＋B<eq\f(π,2)，所以A<eq\f(π,2)－B，所以cosA>coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，即cosA>sinB.故“cosA>sinB”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．12．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是eq\f(1,3)<x<eq\f(1,2)，则m的取值范围是____________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(4,3)))解析解不等式|x－m|<1，得m－1<x<m＋1.由题意可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))(m－1，m＋1)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≤\f(1,3)，,m＋1≥\f(1,2)))且等号不同时成立，解得－eq\f(1,2)≤m≤eq\f(4,3).13．已知α，β∈(0，π)，则“sinα＋sinβ<eq\f(1,3)”是“sin(α＋β)<eq\f(1,3)”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ<sinα＋sinβ，所以若sinα＋sinβ<eq\f(1,3)，则有sin(α＋β)<eq\f(1,3)，故充分性成立；当α＝β＝eq\f(π,2)时，有sin(α＋β)＝sinπ＝0<eq\f(1,3)，而sinα＋sinβ＝1＋1＝2，不满意sinα＋sinβ<eq\f(1,3)，故必要性不成立．所以“sinα＋sinβ<eq\f(1,3)”是“sin(α＋β)<eq\f(1,3)”的充分不必要条件．14．有下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分条件；②“b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为R”的充要条件；③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lgx＋lgy＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为________．答案①④解析①当x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不肯定，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件，故①为真命题；②不等式的解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则eq\f(a,1)＝eq\f(2,1)，所以a＝2，所以“a＝2”是“两直线平行”的充要条件，故③为假命题；④lgx＋lgy＝lg(xy)＝