高等数学 教案【ch06】微分方程

《高等数学》课程教案课题：微分方程教学目的：1．了解微分方程的基本概念2．掌握一阶微分方程、可降阶的微分方程、二阶线性微分方程的计算方法课型：新授课课时：本章安排6个课时。教学重点：重点：一阶微分方程、可降阶的微分方程、二阶线性微分方程的计算方法教学难点：难点：一阶微分方程、可降阶的微分方程、二阶线性微分方程的计算方法教学过程：教学形式：讲授课，教学组织采用课堂整体讲授和分组演示。教学媒体：采用启发式教学、案例教学等教学方法。教学手段采用多媒体课件、视频等媒体技术。板书设计：本课标题微分方程课次3授课方式理论课□讨论课□习题课□其他□课时安排6学分共2分授课对象普通高等院校学生任课教师教材及参考资料1.《高等数学》；电子工业出版社。2.本教材配套视频教程及学习检查等资源。3.与本课程相关的其他资源。教学基本内容教学方法及教学手段课程引入衔接导入函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系可以对客观事物的变化规律进行研究，因此寻求变量之间的函数关系在实践中具有重要意义。在许多实际问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的条件，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，即所谓的微分方程。微分方程建立后，对它进行研究，找出未知函数，这就是解微分方程。本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种较简单的解法。参考以下形式：1.衔接导入2.悬念导入3.情景导入4.激疑导入5.演示导入6.实例导入7.其他形式本章基本知识汇总第一节微分方程的基本概念例1已知直角坐标系中的一条曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率等于该点纵坐标的平方，求此曲线的方程。解：设所求曲线的方程为y=y(x)，这是待求的未知函数。根据导数的几何意义及本题给出的条件，得y'即

dxdy积分得x=-又已知曲线过点(1,2)，代入上式，得C=32，所以，所求曲线的方程为例2设一物体从A点出发做直线运动，在任一时刻的速度为运动时间的两倍，求物体的运动方程。解：首先建立坐标系。取A点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向，并设物体在t时刻到达M点，其坐标为s(t)。显然，s(t)是时间t的函数，它表示物体的运动规律，是本题中待求的未知函数。s(t)的导数s'(t)就是物体运动的速度v(t)=2t, （6-1）以及

s(0)=0。 （6-2）式（6-1）能帮助建立微分方程，式（6-2）是本题的初始条件，因为v(t)=s'(t)，因此求物体的运动方程已s'积分后得通解s(t)=t2+C，再将式（6-2）代入通解中，得C=0，故初值问题的解为s(t)=上述两例的方程都含有未知函数的导数，一般地，含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。若微分方程中的未知函数为一元函数，则称为常微分方程。由于我们仅研究常微分方程，因此将常微分方程简称为微分方程，有时简称为方程。例如，下面方程都是微分方程（其中y、v、θ均为未知函数）：（1）y'=kx，（2）(y-（3）mv（4）y″（5）d2θdt2+gl微分方程可以描述许多现象，如上面的方程（1）和方程（3）描述的是某种变速直线运动。微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数称为该微分方程的阶数，如方程（1）～（3）为一阶微分方程，方程（4）和方程（5）为二阶微分方程。通常，n阶微分方程的一般形式为Fx,y,y',⋯,y(n)=0，式中本章主要研究几种特殊类型的一阶微分方程和二阶微分方程。将一个函数代入微分方程使其成为恒等式，此函数称为微分方程的解。不难验证，函数y=x2、y=x2+1及y=x若微分方程解中所含独立的（不能合并的）任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为该微分方程的通解。若在微分方程通解中的任意常数中取定一组固定常数，则得到的解称为该微分方程的特解。例如，方程y'=2x的解y=x2+C中含有一个任意常数且与该方程的阶数相同，因此，这个解是该微分方程的通解；若求满足条件y(0)=0的解，代入通解y=x2+C yx=x0=由此可以确定通解中的一个任意常数。二阶微分方程的初始条件是yx=x0=y0及由此可以确定通解中的两个任意常数。一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题。求解某初值问题，就是求微分方程的特解。例3验证函数y=C1ex+C2解：由y=Cy'y″将y'与y C1因此函数y是原方程的解。又函数y中任意常数的个数为2，等于方程的阶数，所以y=C1ex将初始条件yx=0=3代入C1+C2=3；将初始条件y'x=0=0C1-2C2=0由式（6-3）和式（6-4）解得C1=2、C2一般地，微分方程的一个解的图形是一条平面曲线，称为微分方程的积分曲线。通解的图形是平面上的一簇曲线，称为微分方程的积分曲线簇。特解的图形是积分曲线簇中的一条确定的曲线。这就是微分方程解的几何意义。第二节一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为Fx,y,y'=0，下面仅介绍几种常用的一阶微分方程。一、可分离变量的一阶微分方程若方程可将变量x、y及其微分分列于等式两边，则可化为g(y)dy=f(x)dx的形式，这种方程称为可分离变量的微分方程。因为方程中的变量可以完全地分离到等式两边，所以对于这样的方程可以两边同时积分。右边对变量x求积分，左边对变量y求积分，即g(y)dy=设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x)，即得G(y)=F(x)+C。上式是只含变量x、y而不含导数（或微分）的等式，它就是方程的解。二、齐次方程形式为dy的微分方程称为齐次方程。求解这类方程可令y=u(x)⋅x，则xdu分离变量得duf(u)两端积分得duf(u)求出积分后，再用yx代替u，便得所给齐次方程的通解三、一阶线性微分方程形式为dy的微分方程称为一阶线性微分方程。若Q(x)≡dy为一阶齐次线性微分方程。若Q(x)≠dy为一阶非齐次线性微分方程。1.一阶齐次线性微分方程的解法不难看出，一阶齐次线性微分方程dy是可分离变量的方程。分离变量得dyy两边积分得lny所以，方程的通解公式为y=Ce2.一阶非齐次线性微分方程的解法一阶非齐次线性微分方程dy与其对应的一阶齐次线性微分方程dy的差异在于自由项Q(x)不等于

0。因此，可以设想它们的通解之间会有一定的联系。设y=y1(x)是一阶齐次线性微分方程的一个解，则当C为常数时，y=Cy1(x)仍是该方程的解，它不可能满足一阶非齐次线性微分方程。如果把C看作x的函数，并将y=C(x)y1代入设y=C(x)y1是一阶非齐次线性微分方程的解，将y=C(x)yy'则有C'即C'因为y1对应的是一阶齐次线性微分方程的解，故yC'式中，y1与Q(x)均为已知函数所以可以通过积分求得C(x)=Q(x)代入y=C(x)yy=Cy容易验证，上式给出的函数满足一阶非齐次线性微分方程y'且含有一个任意常数，所以它是一阶非齐次线性方程y的通解。在运算过程中，取一阶齐次线性微分方程的一个解为y1于是，一阶非齐次线性微分方程的通解公式也可写成y=e上述讨论中所用的方法是将常数C变为待定函数C(x)，再通过确定C(x)来求解方程。该法称为常数变易法。第三节可降阶的微分方程一、y(n)=f对这类微分方程只需要进行n次积分就可得到含有n个任意常数的通解。设F1(x)是y(ny(n…二、y″=f(x,因方程中不显含y，故令y'=p(x)，则d2yp'三、y″=f(y因方程中不显含x，故令y'=p(y)，则yp⋅dpdy第四节二阶线性微分方程形式为y的微分方程称为二阶线性微分方程。当f(x)≠y″+p(x)y'+q(x)y=f(x)称为二阶非齐次线性微分方程。当f(x)=0时，y″+p(x)y'+q(x)y=0称为二阶齐次线性微分方程。当系数p(x)、q(x)分别为常数p和q时，上述方程分别为y″+py'+qy=f(x)和y″+py'+qy=0二者分别称为二阶常系数非齐次线性微分方程和二阶常系数齐次线性微分方程。一、二阶线性微分方程解的结构1.二阶齐次线性微分方程解的结构定理1设函数y1、y2是二阶齐次线性微分方程［见式（6-8）］的解，则函数C2y2（这里要提醒的是，函数y=C1y1+C2y=C而C1k+C2实际上是一个常数，所以y=C1y1+C2y2不是所求方程的通解定义1若y1y2=常数，则称y1、y2为线性相关；若下面给出二阶齐次线性微分方程通解的结构。定理2设函数y1、y2是二阶齐次线性微分方程［见式（6-8）］的两个线性无关的特解，则函数y=C1y例如，y=C1e3x+C2e-2x（C1C2为任意常数）是微分方程y″-y'-6y=0的通解，可验证y1=e3x和y2=e-2.二阶非齐次线性微分方程解的结构定理3设函数y*是二阶非齐次线性微分方程［见式（6-7）］的一个特解，函数Y是其对应的二阶齐次线性微分方程［见式（6-8）］的通解，则y=Y+y证明：因为y*和Y分别是式（6-7）和式（6-8y*Y″将y=Y+y*代入式（6-7左边===0+f(x)=f(x)=右边。因此，y=Y+y*是式（6-7）的解。又因为Y是式（6-8）的通解，必含有两个独立的任意常数，所以y=Y+y*中也含有两个独立的任意常数。二、二阶常系数齐次线性微分方程由定理2知，求二阶常系数齐次线性微分方程［见式（6-10）］通解的关键是找出其两个线性无关的特解。由于y″+py'+qy=0中的p和q均为常数，而形如y=erx的指数函数及其各阶导数都是自身的倍数，故设想方程将y=erx、y'=rerx、yr2因为erxr2由此可见，只要解出上述一元二次方程的根

r，就能得到方程y″+py定义2方程r2+pr+q=0称为二阶常系数齐次线性微分方程［见式（6-特征根有如下三种情况：（1）特征方程有两个不相等的实根r1、r2，此时y=er1x、y=y=C1er1x（2）特征方程有两个相等的实根r1=r2，此时方程只有一个特解y1=er1x；我们还要寻找另一个特解y2y=C1+C2x（3）特征方程有一对共轭复根r1，2=α±iβ（β≠0，α、β为实数），此时方程有两个复数形式的特解yeix则y1、y2y1y2由定理1知，12(y1+y2)=eαxcosβx y=eαxC1cosβ综上所述，求解二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下：（1）写出方程所对应的特征方程r2（2）求出特征方程的两个根r1、r（3）由特征根的三种不同情况写出微分方程y″+p三、二阶常系数非齐次线性微分方程根据定理

3，二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py'+qy=f(x)的通解为对应的齐次线性微分方程y″+py'+qy=0（1）f(x)=Pmy*式中：Pm(x)为已知的m次多项式；Qm(x)=bmxm+⋯+b1x+b0，为待定的m1．教学