2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题8.4直线与圆、圆与圆的位置关系【十大题型】特训(学生版+解析)

专题8.4直线与圆、圆与圆的位置关系【十大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线与圆的位置关系的判断】 5【题型2弦长问题】 6【题型3切线问题、切线长问题】 7【题型4圆上的点到直线距离个数问题】 7【题型5面积问题】 8【题型6直线与圆位置关系中的最值问题】 8【题型7直线与圆中的定点定值问题】 9【题型8圆与圆的位置关系】 10【题型9两圆的公共弦问题】 10【题型10两圆的公切线问题】 111、直线与圆、圆与圆的位置关系考点要求真题统计考情分析(1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题2022年新高考全国I卷：第14题，5分2023年新高考I卷：第6题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第15题，5分2023年全国乙卷（理数）：第12题，5分2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长等，多以选择题或填空题的形式考查，难度不大；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解.【知识点1直线与圆的位置关系】1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与r的关系d<rd=rd>r方程组

解的情况有两组不

同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.2．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.【知识点2圆与圆的位置关系】1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：位置关系关系式图示公切线条数外离d>r1+r2四条外切d=r1+r2三条相交|r1-r2|<d<r1+r2两条内切d=|r1-r2|一条内含0≤d<|r1-r2|无②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.2．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.设圆:，①

圆:，②

①-②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.3．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.【知识点3与圆有关的最值问题的解题策略】1．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【方法技巧与总结】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.【题型1直线与圆的位置关系的判断】【例1】（2024·山东淄博·二模）若圆C:x2+2x+y2−3=0，则直线l:mx+y=0与圆C的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）“k=125”是“直线kx−y+1+k=0与圆(x−2)2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线l:x+1+ay=2−a，圆C:xA．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【变式1-3】（2024·北京大兴·三模）已知直线l:y=kx+1与圆C:x+12+y2=r2r>0，则“∀k∈RA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型2弦长问题】【例2】（2024·河南·模拟预测）直线l:x+y=1，圆C:x2+y2−2x−2y−2=0.则直线A．2 B．23 C．27 【变式2-1】（2024·贵州六盘水·三模）已知直线ax−y+2=0与圆x−12+y2=4相交于A，BA．43 B．1 C．−3【变式2-2】（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l:ax+by=1上有且仅有一点P，使OP=1，则直线l被圆C:x2A．1 B．3 C．2 D．2【变式2-3】（2024·湖南娄底·一模）已知圆C:(x−1)2+(y+2)2=16，过点D0,1的动直线l与圆C相交于M,NA．4x+3y−3=0 B．3x−4y+4=0C．x=0或4x+3y−3=0 D．4x+3y−3=0或3x−4y+4=0.【题型3切线问题、切线长问题】【例3】（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆C:x2+y2−4x−4y+4=0的两条切线OA，OB，切点分别为A，A．2 B．2 C．22 【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知点P在圆C:x−a2+y2=a2a>0．上，点A0,2，若PAA．x=0或7x+24y−48=0 B．x=0或7x−24y−48=0C．x=1或24x−7y−48=0 D．x=1或24x+7y−48=0【变式3-2】（2024·北京西城·模拟预测）已知圆O:x2+y2=1，过直线3x+4y−10=0上的动点P作圆O的一条切线，切点为A．1 B．2 C．3 D．2【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）过直线y=x上一点M作圆C：x−22+y2=1的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点1,3A．5x−y−2=0 B．x−5y+14=0C．5x+y−8=0 D．x+5y−16=0【题型4圆上的点到直线距离个数问题】【例4】（2024·重庆·模拟预测）设圆C:x−22+y−12=36和不过第三象限的直线l:4x+3y−a=0，若圆C上恰有三点到直线l的距离为A．2 B．4 C．26 D．41【变式4-1】（2024·四川成都·三模）已知圆C：x2+y2=1，直线l：x−y+c=0，则“c=22”是“圆CA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=kx+2，圆x2+y2A．1或2 B．－1或−2 C．2或－1 【变式4-3】（2024·山西·二模）已知O是坐标原点，若圆C:x2+y2+2x−4y+a=0上有且仅有2个点到直线A．(−4−45,45C．(−2−25,25【题型5面积问题】【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知A，B是直线l：x+3y−2=0上的两点，且AB=1，P为圆D：x2+A．32+2C．32−2【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知A(−3,0)，B(0,3)，设C是圆M:x2+y2A．12 B．62 C．6 D．【变式5-2】（2024·山西吕梁·一模）已知圆Q:(x−4)2+(y−2)2=4，点P为直线x+y+2=0上的动点，以PQ为直径的圆与圆Q相交于A．27 B．47 C．2【变式5-3】（23-24高三上·广东深圳·期末）P是直线3x−4y+5=0上的一动点，过P作圆C:x2+y2−4x+2y+4=0的两条切线，切点分别为A．2 B．22 C．42 【题型6直线与圆位置关系中的最值问题】【例6】（2024·四川攀枝花·三模）由直线y=x上的一点P向圆x−42+y2=4引切线，切点为QA．2 B．2 C．6 D．2【变式6-1】（2024·陕西汉中·二模）已知⊙M:x2+y2−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0,P为l上的一动点，A，B为A．−255 B．−45 【变式6-2】（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，记d为点Pcosθ，sinθ到直线kx−y−3k+4=0的距离，则当θ，A．2 B．3 C．4 D．6【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【题型7\o"直线与圆中的定点定值问题"\t"/gzsx/zj165988/_blank"直线与圆中的定点定值问题】【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆A：(x+2)2+y2=25，A为圆心，动直线l过点P(2,0)，且与圆A交于B，C两点，记弦BC(1)求曲线E的方程；(2)过A作两条斜率分别为k1，k2的直线，交曲线E于M，N两点，且k1【变式7-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心C在直线y=−2x上，并且经过点A2,−1，与直线x+y−1=0(1)求圆C的标准方程；(2)对于圆C上的任意一点P，是否存在定点B（不同于原点O）使得PBPO恒为常数？若存在，求出点B【变式7-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆G经过点2,23,−4,0(1)求圆G的标准方程；(2)若圆G与x轴分别交于M,N两点，A为直线l:x=16上的动点，直线AM,AN与曲线圆G的另一个交点分别为E,F，求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标．【变式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆C过点A2,6，圆心在直线y=x+1上，截y轴弦长为2(1)求圆C的方程；(2)若圆C半径小于10，点D在该圆上运动，点B3,2，记M为过B、D两点的弦的中点，求M(3)在（2）的条件下，若直线BD与直线l:y=x−2交于点N，证明：BM⋅【题型8圆与圆的位置关系】【例8】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆E:(x−2)2+(y−4)2A．内含 B．相切 C．相交 D．外离【变式8-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆C1:(x−2)2+A．相交 B．外切 C．内切 D．相离【变式8-2】（2024·广东广州·二模）若直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相切，则圆A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点【变式8-3】（2024·山东·模拟预测）已知圆M:x2+y2+2ay=0a>0的圆心到直线3x+2y=2的距离是13A．相离 B．相交 C．内切 D．内含【题型9\o"直线与圆中的定点定值问题"\t"/gzsx/zj165988/_blank"两圆的公共弦问题】【例9】（2024·黑龙江·模拟预测）圆C1:x2+A．27 B．7 C．6 D．【变式9-1】（2024·江西宜春·模拟预测）圆C1:x2+A．555 B．2555 C．3【变式9-2】（2024·河北石家庄·二模）已知圆O1:x2+y2=5与圆O2A．52 B．5 C．15 D．【变式9-3】（2024·河南·二模）若圆C1:x2+y2=1与圆A．2ax+by−1=0 B．2ax+by−3=0C．2ax+2by−1=0 D．2ax+2by−3=0【题型10\o"直线与圆中的定点定值问题"\t"/gzsx/zj165988/_blank"两圆的公切线问题】【例10】（2024·河北石家庄·三模）已知圆C1:x2+A．1 B．2 C．3 D．4【变式10-1】（23-24高三下·山东·开学考试）圆C1:x2+A．y=−x+1 B．y=−x+1或y=x+5C．y=−x+5 D．y=x+1或y=2x+5【变式10-2】（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知圆C1:(x+1)2+A．1 B．2 C．3 D．4【变式10-3】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆C1:x2+y2+4x+3=0，圆A．3x+3y=0 B．C．x+35y+8=0 一、单选题1．（2024·北京海淀·三模）已知直线l:kx−y+1−k=0和圆⊙O:x2+y2=r2(r>0)，则“r=A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆x2+y2+4mx−2my+m=0m∈R与A．1 B．0或14 C．0或1 D．3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C1:x2+A．x+y+2=0 B．x+y−2=0 C．x+y+1=0 D．x+y−1=04．（2024·青海西宁·二模）已知圆C:x−32+y−42=9，直线l:m+3A．27 B．10 C．22 5．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆C₁:x+12+y+12A．4 B．3 C．2 D．16．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线l:x−y+1=0上一点，过点P作圆C:x−12+y2=1的一条切线，切点为A．1 B．2 C．3 D．27．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线l1:mx−2y−m+6=0与直线l2:2x+my−m−6=0(m∈R)的交点，点Q为圆C:(x+3)A．[22,82] B．(22,88．（2024·广西南宁·三模）已知圆C:x−42+y2=4，点M在线段y=x（0≤x≤3）上，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，以AB为直径作圆A．π B．2π C．5π2二、多选题9．（2024·广西·模拟预测）已知直线l:y=kx−3+3与曲线C:x2+A．0 B．1 C．2 D．310．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l:kx−y−2k+3=0，圆C:x2−2x+A．圆心C的坐标为(1,4)B．直线l与圆C始终有两个交点C．当k=2时，直线l与圆C相交于M,N两点，则△CMN的面积为3D．点C到直线l的距离最大时，k=111．（2024·山东青岛·三模）已知动点M，N分别在圆C1:x−12+y−22A．圆C2B．圆C1和圆CC．PM+PND．过点P做圆C1的切线，则切线长最短为三、填空题12．（2024·陕西·模拟预测）圆x−a2+y−2a−32=9上总存在两个点到2,3的距离为1，则a13．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知圆C:x2+y2=1，直线l:x+y+2=0，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则直线14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知圆C:x2+y−22=1和圆D:x2+y2−6x−10y+30=0，M、N分别是圆C、四、解答题15．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知圆C的方程：x2(1)若直线y=x+m与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2)当圆C被直线l:x+2y−4=0截得的弦长为25时，求m16．（23-24高二上·广西百色·期末）已知圆C经过点A1,1和B1,−3，且圆心C在直线(1)求圆C方程；(2)若圆E的方程为x2+y−12=117．（2024高三·全国·专题练习）已知点Px,y是圆(x+2)(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值．(2)求x−2y的最大值和最小值．(3)求y−2x−118．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A2,3，B5,0，M是平面内的一动点，且满足MAMB=2，记点(1)求曲线E的方程；(2)过点B的直线l与曲线E交于P，Q两点，若△OBP的面积是△OBQ的面积的3倍，求直线l的方程．19．（2024·黑龙江·模拟预测）已知圆C:x(1)证明：圆C过定点；(2)当m=0时，点P为直线l:x6+y3=1上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，专题8.4直线与圆、圆与圆的位置关系【十大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直线与圆的位置关系的判断】 5【题型2弦长问题】 7【题型3切线问题、切线长问题】 9【题型4圆上的点到直线距离个数问题】 11【题型5面积问题】 13【题型6直线与圆位置关系中的最值问题】 15【题型7直线与圆中的定点定值问题】 18【题型8圆与圆的位置关系】 23【题型9两圆的公共弦问题】 25【题型10两圆的公切线问题】 261、直线与圆、圆与圆的位置关系考点要求真题统计考情分析(1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题2022年新高考全国I卷：第14题，5分2023年新高考I卷：第6题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第15题，5分2023年全国乙卷（理数）：第12题，5分2024年全国甲卷（文数）：第10题，5分直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长等，多以选择题或填空题的形式考查，难度不大；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与圆锥曲线相结合，难度较大，需要学会灵活求解.【知识点1直线与圆的位置关系】1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：位置相交相切相离交点个数两个一个零个图形d与r的关系d<rd=rd>r方程组

解的情况有两组不

同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.2．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.【知识点2圆与圆的位置关系】1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：位置关系关系式图示公切线条数外离d>r1+r2四条外切d=r1+r2三条相交|r1-r2|<d<r1+r2两条内切d=|r1-r2|一条内含0≤d<|r1-r2|无②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.2．两圆的公共弦问题(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.设圆:，①

圆:，②

①-②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦长.3．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.【知识点3与圆有关的最值问题的解题策略】1．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【方法技巧与总结】1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.【题型1直线与圆的位置关系的判断】【例1】（2024·山东淄博·二模）若圆C:x2+2x+yA．相交 B．相切C．相离 D．相交或相切【解题思路】直线经过定点，然后证明定点在圆内可判断.【解答过程】l:mx+y=0经过定点故直线l:mx+y=0与圆故选：A.【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）“k=125”是“直线kx−y+1+k=0与圆(x−2)2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出k=0或k=12【解答过程】圆(x−2)2+(y−3)所以点2,3到直线kx−y+1+k=0的距离为2k−3+1+kk解得k=0或k=12故“k=125”是“直线kx−y+1+k=0与圆故选：A．【变式1-2】（2024·安徽·模拟预测）已知直线l:x+1+ay=2−a，圆C:xA．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【解题思路】根据题意可得直线l表示过定点A3,−1，且除去y=−1的直线，点A在圆上，可判断直线l与圆C【解答过程】因为直线l:x+1+ay=2−a，即当y+1=0时，x+y−2=0，解得x=3y=−1所以直线l表示过定点A3,−1，且除去y=−1将圆C的方程化为标准方程为x−32+y+22=1所以直线l与圆C可能相交，可能相切，相切时直线l为y=−1，不合题意，所以直线l与圆C相交.故选：C.【变式1-3】（2024·北京大兴·三模）已知直线l:y=kx+1与圆C:x+12+y2=r2r>0，则“∀k∈RA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】利用直线与圆的位置关系的判断方法，当∀k∈R，直线l与圆C有公共点时，1−k1+k2【解答过程】易知圆C:x+12+y2当∀k∈R，直线l与圆C有公共点时，1−k1+k2则r2−1>0且Δ=4−4(r2−1)所以“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r>2故选：B.【题型2弦长问题】【例2】（2024·河南·模拟预测）直线l:x+y=1，圆C:x2+y2−2x−2y−2=0.则直线A．2 B．23 C．27 【解题思路】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用勾股定理即可求解.【解答过程】圆C的标准方程为x−12由此可知圆C的半径为r=2，圆心坐标为C1,1所以圆心C1,1到直线l:x+y=1的距离为d=所以直线被圆截得的弦长为2r故选：D.【变式2-1】（2024·贵州六盘水·三模）已知直线ax−y+2=0与圆x−12+y2=4相交于A，BA．43 B．1 C．−3【解题思路】首先求出圆心到直线的距离，进一步利用垂径定理建立等量关系式，最后求出a的值．【解答过程】圆x−12+y2=4与直线ax−y+2=0与相交于A则圆心1,0到直线ax−y+2=0的距离d=a+2利用垂径定理得d2+32=4故选：C．【变式2-2】（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l:ax+by=1上有且仅有一点P，使OP=1，则直线l被圆C:x2A．1 B．3 C．2 D．2【解题思路】利用垂径定理直接求解即可.【解答过程】由题意知：坐标原点O到直线l的距离d=1；∵圆C的圆心为O0,0，半径r=2，∴l被圆C截得的弦长为2故选：D.【变式2-3】（2024·湖南娄底·一模）已知圆C:(x−1)2+(y+2)2=16，过点D0,1的动直线l与圆C相交于M,NA．4x+3y−3=0 B．3x−4y+4=0C．x=0或4x+3y−3=0 D．4x+3y−3=0或3x−4y+4=0.【解题思路】考虑直线l与x轴垂直和不垂直两种情况，斜率不存在时，满足要求，斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线距离公式得到方程，求出答案.【解答过程】当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为x=0，C:(x−1)2+(y+2)2=16中令故此时MN=y=当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+1，即kx−y+1=0，则圆心到直线的距离为d=k+2+1k2∴d=k+2+1k2+1=1，解得k=−即4x+3y−3=0，综上可知直线l的方程为x=0或4x+3y−3=0.故选：C.【题型3切线问题、切线长问题】【例3】（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆C:x2+y2−4x−4y+4=0的两条切线OA，OB，切点分别为A，A．2 B．2 C．22 【解题思路】由圆的标准方程作出圆的图形，易得切点坐标，利用两点之间距离公式计算即得.【解答过程】

如图，由圆C:x−22+y−22=4可得所以切点为A2,0，B0,2，故故选：C.【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知点P在圆C:x−a2+y2=a2a>0．上，点A0,2，若PAA．x=0或7x+24y−48=0 B．x=0或7x−24y−48=0C．x=1或24x−7y−48=0 D．x=1或24x+7y−48=0【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，根据PA的最小值为1，得到方程求出a的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解.【解答过程】由圆C方程可得圆心为Ca,0，半径r=a，因为PA的最小值为1，所以a解得a=32，故圆若过点A0,2设切线方程为y=kx+2，则32k−0+21+所以切线方程为y=−724x+2若过点A0,2的切线斜率不存在，由圆C方程可得，圆C过坐标原点0,0，所以切线方程为x=0综上，过点A且与圆C相切的直线方程为x=0或7x+24y−48=0．故选：A.【变式3-2】（2024·北京西城·模拟预测）已知圆O:x2+y2=1，过直线3x+4y−10=0上的动点P作圆O的一条切线，切点为A．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】连接PO，PA2=PO2−【解答过程】如图所示：连接PO，则PA2当PO最小时，PA最小，POmin故PA的最小值为22故选：C.【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）过直线y=x上一点M作圆C：x−22+y2=1的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点1,3A．5x−y−2=0 B．x−5y+14=0C．5x+y−8=0 D．x+5y−16=0【解题思路】设Mt,t，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点1,3求得t的值，进而得到直线PQ【解答过程】圆C：x−22+y设Mt,t，则以MCx−与圆C的方程x−22+yt−2因为直线PQ过点1,3，所以t−2+3t−2t+3=0，解得t=−1所以直线PQ的方程为−52x−故选：C．【题型4圆上的点到直线距离个数问题】【例4】（2024·重庆·模拟预测）设圆C:x−22+y−12=36和不过第三象限的直线l:4x+3y−a=0，若圆C上恰有三点到直线l的距离为A．2 B．4 C．26 D．41【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为3，即可求出a的值，再由直线不过第三象限求出a的取值范围，即可得解.【解答过程】因为圆C:x−22+y−12因为圆C上恰有三点到直线l的距离为3，所以圆心C2,1到直线l的距离d=4×2+3×1−a42+又直线l:4x+3y−a=0不过第三象限，则a3≥0，解得所以a=26.故选：C.【变式4-1】（2024·四川成都·三模）已知圆C：x2+y2=1，直线l：x−y+c=0，则“c=22”是“圆CA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要【解题思路】利用圆C上恰存在三个点到直线l的距离等于12，等价于O0,0到直线l：x−y+c=0的距离为【解答过程】因为圆C：x2+y2=1当圆C上恰存在三个点到直线l的距离等于12则O0,0到直线l：x−y+c=0的距离为1所以0−0+c1+1=1当c=22时，由上可知O0,0到直线l：x−y+c=0此时圆C上恰存在三个点到直线l的距离等于12所以“c=22”是“圆C上恰存在三个点到直线l的距离等于故选：A.【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=kx+2，圆x2+y2A．1或2 B．－1或−2 C．2或－1 【解题思路】结合题意，利用点到直线的距离公式列式求解，再进行验证即可.【解答过程】如图所示，圆x2+y2=4圆心O到直线l:y=kx+2的距离d=21+k2①当k=1时，与直线y=x+2平行且距离等于1的直线是y=x，y=x+2与圆的三个交点是P1，P2，②当k=−1时，与直线y=−x+2平行且距离等于1的直线是y=−x，y=−x+22，与圆的三个交点是P1，P综上，k=±1.故选：D.【变式4-3】（2024·山西·二模）已知O是坐标原点，若圆C:x2+y2+2x−4y+a=0上有且仅有2个点到直线A．(−4−45,45C．(−2−25,25【解题思路】求出平行于直线2x−y−1=0且距离为2的直线方程，再求出与圆心较近的直线与圆相交，另一条平行直线与圆相离的a的范围.【解答过程】圆C:(x+1)2+(y−2)2设与直线l:2x−y−1=0平行且距离为2的直线方程为2x−y−t=0(t≠1)，则|t−1|22+(−1)2=2，解得点C(−1,2)到直线l1的距离d1=|−5+25由圆C上有且仅有2个点到直线2x−y−1=0的距离为2，得圆C与直线l1相交，且与直线l则d1<rd2>r所以实数a的取值范围为(−4−45故选：A.

【题型5面积问题】【例5】（2024·湖北·模拟预测）已知A，B是直线l：x+3y−2=0上的两点，且AB=1，P为圆D：x2+A．32+2C．32−2【解题思路】根据题意，求得圆心到直线的距离，得到dmax【解答过程】由圆x2+y2+2x−1=0设点P到直线l的距离为d，圆心D到直线l的距离为ℎ，可得ℎ=−1−212又由AB=1，所以△PAB面积的最大值为1故选：B.【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知A(−3,0)，B(0,3)，设C是圆M:x2+y2A．12 B．62 C．6 D．【解题思路】求出C到直线AB的距离的最大值与最小值，结合面积公式做差即可得.【解答过程】因为直线AB与圆M:(x−1)设圆心M(1,0)到直线AB:y=x+3的距离为d，则d=42=2所以C到直线AB的距离的最小值为d−r=22C到直线AB的距离的最大值为d+r=22因此△ABC面积的最大值与最小值之差等于：|AB|22故选：B．【变式5-2】（2024·山西吕梁·一模）已知圆Q:(x−4)2+(y−2)2=4，点P为直线x+y+2=0上的动点，以PQ为直径的圆与圆Q相交于A．27 B．47 C．2【解题思路】写出面积表达式，从而得到当PQ与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可.【解答过程】由题意得PA⊥AQ，PB⊥AQ，Q4,2S四边形当PQ垂直直线x+y+2=0时，PQmin∴(故选：B.【变式5-3】（23-24高三上·广东深圳·期末）P是直线3x−4y+5=0上的一动点，过P作圆C:x2+y2−4x+2y+4=0的两条切线，切点分别为A．2 B．22 C．42 【解题思路】根据给定条件，结合切线长定理列出四边形面积的函数关系，再借助几何意义求出最小值.【解答过程】圆C:(x−2)2+(y+1)2点C到直线3x−4y+5=0的距离d=|3×2−4×(−1)+5|32由于PA,PB切圆C于点A,B，则|PA|=|PC四边形PACB的面积S=2S当且仅当直线PC垂直于直线3x−4y+5=0时取等号，所以四边形PACB面积的最小值为22故选：B.【题型6直线与圆位置关系中的最值问题】【例6】（2024·四川攀枝花·三模）由直线y=x上的一点P向圆x−42+y2=4引切线，切点为QA．2 B．2 C．6 D．2【解题思路】根据已知条件，求得PQ=d2−r【解答过程】由已知有：圆的圆心4,0，半径为r=2，直线的一般方程为x−y=0，设点P到圆心的距离为d，则有PQ⊥CQ，所以PQ=所以d取最小值时，PQ取得最小值，因为直线上点P到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，所以d=4−01+1=22，故故选：B.【变式6-1】（2024·陕西汉中·二模）已知⊙M:x2+y2−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0,P为l上的一动点，A，B为A．−255 B．−45 【解题思路】根据题意分析得当PA，PB分别为圆的切线，且MP最小时，∠APB最大，此时cos∠APB【解答过程】由题意得⊙M的标准方程为(x−1)2+(y−1)所以圆心M到直线l的距离为|2+1+2|4+1=5>2，所以直线所以当PA，PB分别为圆的切线，且MP最小时，sin∠APM=AMPM=2所以∠APB=2∠APM最大，此时cos∠APB此时cos∠APB=故选：D.【变式6-2】（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，记d为点Pcosθ，sinθ到直线kx−y−3k+4=0的距离，则当θ，A．2 B．3 C．4 D．6【解题思路】由直线方程得到其过定点A(3,4)，而Pcosθ，sinθ可看成单位圆上的一点，故可将求点P到直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线【解答过程】由直线l:kx−y−3k+4=0整理得k(x−3)−y+4=0，可知直线经过定点A(3,4)，而由Pcosθ，sinθ知，点于是求点Pcosθ，sin

如图知当直线l与圆相交时，Pcosθ，sinθ到直线要使点P到直线l距离最大，需使圆心O(0,0)到直线l距离最大，又因直线l过定点A(3,4)，故当且仅当l⊥OA时距离最大，（若直线l与OA不垂直，则过点O作直线l的垂线段长必定比OA短）此时|OA|=5，故点P到直线l距离的最大值为dmax=|OA|+r=5+1=6，即d的最大值与最小值之差为故选：D.【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【解题思路】利用数形结合，将面积PCOD的最值转化为求OP的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示PC⋅【解答过程】如图，当点P是AB的中点时，此时OP⊥AB，OP最短，最小值为2，当点P与点A或点B重合时，此时OP最长，最大值为2，因为PC,PD是圆O的切线，所以PC⊥OC，PD⊥OD，则四边形PCOD的面积为PCOC所以四边形PCOD的面积的最小值为2−1=1，最大值为4−1PC⋅=PC=PO2+设y=t+2t−3,t∈故选：B.【题型7\o"直线与圆中的定点定值问题"\t"/gzsx/zj165988/_blank"直线与圆中的定点定值问题】【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆A：(x+2)2+y2=25，A为圆心，动直线l过点P(2,0)，且与圆A交于B，C两点，记弦BC(1)求曲线E的方程；(2)过A作两条斜率分别为k1，k2的直线，交曲线E于M，N两点，且k1【解题思路】（1）根据题意可得：AQ⊥BC，AQ⊥PQ，即点Q的轨迹为以AP为直径的圆，从而得到曲线E的方程；（2）讨论当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立x2+y2=4，结合韦达定理可得：x1+x2=−2ktk2+1，【解答过程】（1）因为Q是弦BC的中点，所以AQ⊥BC，即AQ⊥PQ，所以点Q的轨迹为以AP为直径的圆，所以曲线E的方程为x2（2）当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t，代入x2+y设M(x1,y1)，则Δ>0，x1+k根据根与系数的关系，得t2即(t−k)(t−2k)=0.若t−2k=0，则直线MN过点A，舍去；所以t−k=0，即t=k，直线MN的方程为y=k(x+1)，故直线过定点(−1,0).当直线MN斜率不存在时，设直线MN：x=t(−2<t<2)，与曲线E的方程联立，可得M(t,4−t2)，N(t,−4−故直线MN的方程为x=−1综上，直线MN过定点(−1,0).【变式7-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心C在直线y=−2x上，并且经过点A2,−1，与直线x+y−1=0(1)求圆C的标准方程；(2)对于圆C上的任意一点P，是否存在定点B（不同于原点O）使得PBPO恒为常数？若存在，求出点B【解题思路】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆C的标准方程；（2）设P(x,y)，定点B(m,n)(m，n不同时为0)，根据|PA||PO|=λ(λ为常数），可得(x−m)2+(y−n)【解答过程】（1）圆心C在直线y=−2x，故设圆心为a,−2a，半径为r，则a−22+−2a所以圆的方程为x−1（2）设P(x,y)，且x−12+y+2设定点B(m,n)，(m,n不同时为0)，PBPO则(x−m)2两边平方，整理得(1−代入x2+y化简得2(1−所以，2(1−λ2)−2m=0−4(1−λ即B(3【变式7-2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆G经过点2,23,−4,0(1)求圆G的标准方程；(2)若圆G与x轴分别交于M,N两点，A为直线l:x=16上的动点，直线AM,AN与曲线圆G的另一个交点分别为E,F，求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标．【解题思路】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM的方程和直线AN的方程，分别与圆的方程联立写出E、F的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF经过定点，并求出定点的坐标.【解答过程】（1）因为圆心在直线y=x上，设圆心为a,a又因为圆G经过点2,2则a−22+a−2所以圆心0,0,半径为0+4所以圆G的标准方程为x（2）由圆G与x轴分别交于M,N两点，不妨设M−4,0又A为直线l:x=16上的动点，设A16,tt≠0则AM方程为y=t20x+4，AN设Ex联立方程y=t20x+4所以−4x1=16t联立方程y=t12x−4所以4x2=16t当t≠±415时，kEF=所以直线EF的方程为y−化简得y=32t240−t2x−1当t=±415时，x1=x2综上，直线EF过定点1,0.

【变式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆C过点A2,6，圆心在直线y=x+1上，截y轴弦长为2(1)求圆C的方程；(2)若圆C半径小于10，点D在该圆上运动，点B3,2，记M为过B、D两点的弦的中点，求M(3)在（2）的条件下，若直线BD与直线l:y=x−2交于点N，证明：BM⋅【解题思路】（1）设圆心为Ca,a+1，设圆C的半径为r，根据圆的几何性质可得出关于a、r的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆C（2）利用圆的几何性质得CM⊥EM，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程；（3）设直线CB与直线l交于点F，通过斜率关系得CE⊥l，利用几何关系得△CBM∽△NBF，从而BM⋅【解答过程】（1）解：设圆心为Ca,a+1，设圆C的半径为r圆心到y轴的距离为a，且圆Cy轴弦长为25，则r且有r=AC联立①②可得a=2r=3或a=12所以，圆C的方程为x−22+y−3（2）解：因为C半径小于10，则圆C的方程为x−22由圆的几何性质得CM⊥ED即CM⊥EM，所以CM⋅设Mx,y，则CM=所以x−2x−3+y−3y−2=0（3）解：设直线CB与直线l交于点F，由C2,3、B3,2可知直线CB的斜率是

因为直线l的斜率为1，则BC⊥l，则∠BMC=∠BFN=90∘，所以，△CBM∽△NBF，因此，BM⋅又E到l的距离BF=3−2−21所以，BM⋅BN=2⋅【题型8圆与圆的位置关系】【例8】（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆E:(x−2)2+(y−4)2A．内含 B．相切 C．相交 D．外离【解题思路】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和、半径之差的绝对值比较，即可判断.【解答过程】圆E:(x−2)2+(y−4)2=25的圆心圆F:(x−2)2+(y−2)2=1的圆心则EF=(2−2)2故选：A.【变式8-1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）圆C1:(x−2)2+A．相交 B．外切 C．内切 D．相离【解题思路】求得两圆的圆心与半径，进而求得两圆的圆心距C1C2【解答过程】由已知得圆C1的圆心为C1(2,−1)圆C2的圆心为C2(0,1)，半径为r故0=r所以圆C1与圆C故选：A.【变式8-2】（2024·广东广州·二模）若直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相切，则圆A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点【解题思路】由直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相切，得【解答过程】直线ax+by=1与圆O:x则圆心O0,0到直线ax+by=1的距离等于圆O即d=1a2圆(x−a)2+(y−b)2=其圆心在圆O上，所以两圆相交.故选：B.【变式8-3】（2024·山东·模拟预测）已知圆M:x2+y2+2ay=0a>0的圆心到直线3x+2y=2的距离是13A．相离 B．相交 C．内切 D．内含【解题思路】根据点到直线的距离公式求a的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.【解答过程】圆M：x2+y2+2ay=0⇒x由点到直线距离公式得：2a+232+22又圆N的圆心N2,−2所以MN=22由652故选：D.【题型9\o"直线与圆中的定点定值问题"\t"/gzsx/zj165988/_blank"两圆的公共弦问题】【例9】（2024·黑龙江·模拟预测）圆C1:x2+A．27 B．7 C．6 D．【解题思路】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为3x−4y+7=0，即可利用点到线的距离公式以及圆的弦长公式求解.【解答过程】C1,CR−r<C将两个圆的方程作差得6x−8y+14=0，即公共弦所在的直线方程为3x−4y+7=0，又知C2−2,4，则C2−2,4到直线的3x−4y+7=0的距离所以公共弦长为24故选:A．【变式9-1】（2024·江西宜春·模拟预测）圆C1:x2+A．555 B．2555 C．3【解题思路】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，再求出圆心C1到公共弦x+2y+2=0的距离，由弦长=【解答过程】由C1:x得两圆的公共弦所在直线的方程为x+2y+2=0．由C1:x所以圆心C1−1,4，半径则圆心C1到公共弦x+2y+2=0的距离d=所以两圆的公共弦长为225−故选：D．【变式9-2】（2024·河北石家庄·二模）已知圆O1:x2+y2=5与圆O2A．52 B．5 C．15 D．【解题思路】根据题意，两圆方程相减即可得到直线AB的方程，再由弦长公式，即可得到结果.【解答过程】因为圆O1:x2+y2则直线AB的方程即为两圆相减，可得2x+4y−5=0，且圆O1:xO10,0到直线2x+4y−5=0的距离所以|AB|=25故选：C.【变式9-3】（2024·河南·二模）若圆C1:x2+y2=1与圆A．2ax+by−1=0 B．2ax+by−3=0C．2ax+2by−1=0 D．2ax+2by−3=0【解题思路】将两圆方程相减得到直线AB的方程为a2+b2−2ax−2by=0【解答过程】将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2即2ax+2by−a因为圆C1的圆心为(0,0)，半径为1，且公共弦AB的长为1则C1(0,0)到直线2ax+2by−a所以a2+b所以直线AB的方程为2ax+2by−3=0，故选：D.【题型10\o"直线与圆中的定点定值问题"\t"/gzsx/zj165988/_blank"两圆的公切线问题】【例10】（2024·河北石家庄·三模）已知圆C1:x2+A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数.【解答过程】圆C1:x2+y2=1的圆心为C1则C1C2故选：C.【变式10-1】（23-24高三下·山东·开学考试）圆C1:x2+A．y=−x+1 B．y=−x+1或y=x+5C．y=−x+5 D．y=x+1或y=2x+5【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.【解答过程】解：C1:(x+4)2+C2:(x+3)2+因为C1所以两圆相内切，公共切线只有一条，因为圆心连线与切线相互垂直，kC所以切线斜率为−1，由方程组x2+y故圆C1与圆C2的切点坐标为故公切线方程为y−3=−(x+2)，即y=−x+1．故选：A.【变式10-2】（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知圆C1:(x+1)2+A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】由两圆的位置关系即可确定公切线的条数.【解答过程】由题意圆C1:(x+1)C2:x2+圆心距满足d=9+9所以两圆的公切线条数为4.故选：D.【变式10-3】（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆C1:x2+y2+4x+3=0，圆A．3x+3y=0 B．C．x+35y+8=0 【解题思路】利用点到直线的距离公式逐项验证即可.【解答过程】由题意知：C1所以圆C1的圆心为(−2,0)，半径为1；圆C2的圆心为对于A，圆C1的圆心(−2,0)到直线的距离为d圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为d即直线3x+3y=0对于B，圆C1的圆心(−2,0)到直线的距离为d圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为d即直线3x−3y=0对于C，圆C1的圆心(−2,0)到直线的距离为d圆C2的圆心(4,0)到直线的距离为d即直线x+35对于D，圆C1的圆心(−2,0)到直线的距离为d即直线x−35故选：D.一、单选题1．（2024·北京海淀·三模）已知直线l:kx−y+1−k=0和圆⊙O:x2+y2=r2(r>0)，则“r=A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】先由r=2，点到直线距离公式列出方程，求出此时k=−1，充分性成立；求出l:kx−y+1−k=0所过定点，再由存在唯一k使得直线l与⊙O相切”，得到r=1【解答过程】r=2时，l:kx−y+1−k=0到⊙O:x2故1−2k+k2=2+2满足存在唯一k使得直线l与⊙O相切”，充分性成立，l:kx−y+1−k=0经过定点M1,1若r=1，⊙O:x2+y2直线l:y=1与⊙O相切，另一条切线斜率不存在，故满足存在唯一k使得直线l与⊙O相切”，当M1,1在⊙O:x2+y2=故r2又r>0，解得r=2故“r=2”是“存在唯一k使得直线l与⊙O故选：A.2．（2024·福建福州·模拟预测）已知圆x2+y2+4mx−2my+m=0m∈R与A．1 B．0或14 C．0或1 D．【解题思路】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得r=5【解答过程】将x2+y故圆心为−2m,m半径为r=5m2−m，且由于x2+y2+4mx−2my+m=0解得m=14，或故选：D.3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆C1:x2+A．x+y+2=0 B．x+y−2=0 C．x+y+1=0 D．x+y−1=0【解题思路】两圆方程作差即可.【解答过程】由圆C1:x两式作差得，4x+4y−4=4，即x+y−2=0，所以两圆的公共弦所在直线方程是x+y−2=0.故选：B.4．（2024·青海西宁·二模）已知圆C:x−32+y−42=9，直线l:m+3A．27 B．10 C．22 【解题思路】先求出直线l所过的定点P2,3，数形结合得到当CP⊥l时，直线l被圆C【解答过程】直线l:m+3令x−y+1=03x−2y=0，解得x=2y=3，所以直线l恒过定点圆C:x−32+y−42且PC2=2−3当CP⊥l时，圆心C到直线l的距离最大为d=PC此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为2r故选：A.5．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆C₁:x+12+y+12A．4 B．3 C．2 D．1【解题思路】确定两圆的位置关系后可得公切线条数．【解答过程】圆C2标准方程为(x−2)则已知两圆圆心分别为C1(−1,−1),C圆心距为C1因此两圆外切，它们有三条公切线，故选：B．6．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线l:x−y+1=0上一点，过点P作圆C:x−12+y2=1的一条切线，切点为A．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可.【解答过程】连接CA，则PA=而PC的最小值为点C到直线l的距离d=1−0+1所以PAmin故选：A.7．（2024·广西贺州·一模）已知点P为直线l1:mx−2y−m+6=0与直线l2:2x+my−m−6=0(m∈R)的交点，点Q为圆C:(x+3)A．[22,82] B．(22,8【解题思路】先求出点P的轨迹方程，再判断两圆的位置关系，即可求出|PQ|的取值范围.【解答过程】因为点P为直线l1:mx−2y−m+6=0与直线所以由2m+(−2)m=0可得l1⊥l2，且l1过定点(1,3)所以点P的轨迹是以点(1,3)与点(3,1)为直径端点的圆(去除(1,1))，圆心为(2,2)，半径r=(1−3)而圆C:(x+3)2+(y+3)2所以两个圆心的距离d=(2+3)2+所以|PQ|的最大值为：d+r+R=82因为1,1不在圆C上，故|PQ|>d−r−R=22所以|PQ|的取值范围是(22故选：B.8．（2024·广西南宁·三模）已知圆C:x−42+y2=4，点M在线段y=x（0≤x≤3）上，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，以AB为直径作圆A．π B．2π C．5π2【解题思路】由题意得AB=21−4MC2，进而分析得当MC【解答过程】由题可知，AC=BC=2，AB⊥CM，AC=BC=2，AC⊥AM,BC⊥BM当圆C′的面积取最大值时AB而SMACB所以AB=因为点M在线段y=x（0≤x≤3）上，所以MC=故ABmax=21−416所以圆C′的面积的最大值为3故选：D．二、多选题9．（2024·广西·模拟预测）已知直线l:y=kx−3+3与曲线C:x2+A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】分类去绝对值可得x2+y2−2x−2y=0x≥0,x2+y2+2x−2y=0x<0，当x≥0时，曲线C是以1,1为圆心，2为半径的圆在【解答过程】曲线C:x2+即x−12当x≥0时，曲线C是以1,1为圆心，2为半径的圆在y轴及y轴右侧的部分，直线l:kx−y+3−3k=0，则当直线l与曲线C相切时，有k−1+3−3k1+解得k=2+3或k=2−当x<0时，曲线C是以−1,1为圆心，2为半径的圆在y轴左侧的部分，直线l:kx−y+3−3k=0，则当直线l与曲线C相切时，有∣−k−1+3−3k∣1+解得k=17或k=1（舍去）．综上，若直线l与曲线C有公共点，则故选：BCD．10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l:kx−y−2k+3=0，圆C:x2−2x+A．圆心C的坐标为(1,4)B．直线l与圆C始终有两个交点C．当k=2时，直线l与圆C相交于M,N两点，则△CMN的面积为3D．点C到直线l的距离最大时，k=1【解题思路】对于A，对圆的方程配方后可求出圆心判断，对于B，先求出过定点(2,3)，再判断点(2,3)与圆的位置关系，从而可得结论，对于C，先求出圆心到直线的距离，再求出弦长，从而可求出△CMN的面积，对于D，由于直线过定点P(2,3)，则当直线与CP垂直时，圆心到直线的距离最大，从而可求出k的值.【解答过程】对于A：x2−2x+y2−8y+13=0配方得x−1对于B：由kx−y−2k+3=0，得k(x−2)+(3−y)=0，则直线kx−y−2k+3=0过定点(2,3)，因为2−12+3−42=2<4所以直线kx−y−2k+3=0与圆C始终有两个交点，所以B正确;对于C：设圆心C到直线2x−y−1=0的距离为d，则d=2−4−14+1=所以面积S=1对于D：由题意得直线过定点P(2,3)，故当直线与CP垂直时，圆心到直线的距离最大，由于kCP=4−3故选：ABD．11．（2024·山东青岛·三模）已知动点M，N分别在圆C1:x−12+y−22A．圆C2B．圆C1和圆CC．PM+PND．过点P做圆C1的切线，则切线长最短为【解题思路】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆C1关于x【解答过程】圆C1的圆心C1(1,2)，半径r1=1，圆C对于A，圆C2的半径为3对于B，|C1C2|=2对于C，圆C1关于x轴对称的圆为C0:(x−1)2+(y+2)2=1，C由圆的性质得，PM≥|