专题突破三角恒等变换重点题型突破（10大题型）

专题突破：三角恒等变换重点题型突破1.给角求值：一般不会给出特殊角！所以，应用各种公式，设法化成特殊角的函数值，或将待求值三角函数式，用已知表示出来.2.给值求值：由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．应用半角公式求值时，要特别注意根据单角的范围去确定半角三角函数值的符号．3.给值求角：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在所得范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．4.三角函数式的化简，主要有以下几类：(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；(3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简．5.三角公式化简求值的策略(1)使用公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．（4）注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．②注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．6.三角函数等式的证明：（1）包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明．（2）三角恒等变换常见变形策略有：变角、变名、变次，其中变角是核心；常见变角形式有：2α＝(α－β)＋(α＋β)，＝α＋－(＋β)等.（3）三角恒等式的证明方法①从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．②等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．③先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．7.当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．题型一给角求值问题【例1】（2425高一上·广东茂名·期末）．【答案】【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式【分析】利用差角的余弦公式以及辅助角公式化简计算即可.【详解】由题意知.故答案为：.【变式11】（多选）（2425高一上·广东汕头·期末）下列化简正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确.【详解】对于A，易知，可得A错误；对于B，易知，即B正确；对于C，易知，即可得C错误；对于D，，可得D正确.故选：BD【变式12】（2223高一下·甘肃定西·期中）化简．【答案】【知识点】辅助角公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系【分析】利用切化弦结合辅助角公式可求得所求代数式的值.【详解】原式.故答案为：.【变式13】（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用两角和与差的余弦公式将转化为，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可.【详解】故选：D.题型二给值求值问题【例2】（2425高一上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点．(1)求；(2)的值．(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、半角公式、用和、差角的正切公式化简、求值【分析】（1）由三角函数定义可得，后由两角和的正切公式可得答案；（2）由诱导公式化简，后由可得答案；（3）根据半角公式，结合同角三角函数关系式联立方程组解题即可.【详解】（1）由三角函数定义，结合题意，可得，即，所以；（2）由诱导公式，结合题意可得：，又，则（3）根据半角公式，则，由，即，可得.又因为，把代入可得.即，，，则.，且终边与单位圆交点，终边在第一象限，则，则，则终边落在第一象限，则，则，；则的值为.【变式21】（2425高一上·安徽合肥·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式【分析】先利用辅助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得答案【详解】由，得，即，则，故．故选：A.【变式22】（2425高一上·广东广州·期末）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．(1)求；(2)求的值；(3)若角是三角形内角，且，求的值．【答案】(1)；(2)(3)或1【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】（1）根据角终边过点，利用三角函数的定义求解；（2）由（1）得到，根据，利用商数关系求解；（3）由，得到，由（1）得到，再和，利用两角差的正弦公式求解.【详解】（1）解：因为角终边过点，所以点P到原点的距离为，所以；（2）由（1）知：，所以，；（3）因为是三角形内角，且，所以，由（1）知：，所以，当时，，；当时，，.【变式23】（2425高一上·广东广州·期末）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、利用平方关系求参数、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式【分析】（1）利用平方关系计算结合二倍角正弦公式即可求值；（2）求解，再求解方程组，可得，最后应用两角和的正切公式即可求值.【详解】（1）因为，得，所以.（2）因为且，所以，，因为，所以，得，解得：，，所以，所以．题型三给值求角问题【例3】（2425高一上·福建龙岩·期末）已知函数.(1)若，且，求的值；(2)若，且，，求的值.【答案】(1)(2)【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】（1）先利用二倍角公式和诱导公式化简得，再利用同角三角函数基本关系求得，即可得解；（2）结合已知角的范围及同角三角函数基本关系求得，，然后利用两角差的正弦公式求得，然后根据角的范围求解角即可.【详解】（1），由，得，又，所以，所以.（2）由得，所以，又，所以.由于，故，，，所以，，故，，所以，又因为，故.【变式31】（2425高一上·广东深圳·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.【详解】由，得，所以，又，所以，即，整理得，即.所以，又，所以，所以.故选：A【变式32】（2425高一下·全国·课堂例题）设α，β为钝角，且，，求的值．【答案】【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值【分析】利用平方关系求出，再由两角和的余弦展开式化简计算可得答案.【详解】∵，且，∴，且，∴．∵，∴．【变式33】（2324高一上·湖北武汉·期末）已知函数．(1)化简的解析式；(2)若，且，，求．【答案】(1)；(2)．【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式求出结果；（2）利用三角函数的值和角的恒等变换求出结果．【详解】（1）（2）由于，故，所以，由于，故，，，所以，，故，，故，所以．题型四化简求值问题【例4】（2425高一上·全国·课后作业）化简求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值【分析】（1）由两角差的正切公式即可求解；（2）切化弦，通分，由两角差的正弦公式即可求解.【详解】（1）原式.（2）原式【变式41】（2425高一上·广东汕头·期末）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可表示为，若，则；【答案】【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式【分析】根据，，求得，代入应用辅助角公式即可求解.【详解】因为，，所以，，所以，故答案为：.【变式42】化简求值：；【答案】【解析】因为，所以，所以.【变式43】（2023高一上·全国·专题练习）证明：．【答案】证明见解析【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式【分析】根据同角三角函数的商式关系，结合辅助角公式以及二倍角公式，可得答案.【详解】.题型五化简问题【例5】（2324高三上·黑龙江绥化·阶段练习）化简：(1)(2).【答案】(1)(2)【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）利用两角和（差）的正弦公式计算可得；（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系及诱导公式计算可得.【详解】（1）.（2）.【变式51】化简sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos2αcos2β．【答案】见解析【解析】解法一：(从“角”入手，倍角化单角)原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2α·sin2β＋cos2α(1－cos2β)＋cos2β－＝sin2α·sin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－＝sin2β(sin2α＋cos2α)＋cos2β－＝sin2β＋cos2β－＝1－＝．解法二：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝·＋·－cos2α·cos2β＝(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－cos2α·cos2β＝＋＝．【变式52】（2324高一下·四川·期中）化简：，并指出的取值范围.【答案】，【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】根据同角关系以及二倍角公式可得，进而根据弦切互化以及正弦二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以，则的取值满足，且，故的取值范围是.【变式53】（2223高一下·甘肃兰州·期末）化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】（1）直接由两角和的正弦公式逆用即可化简.（2）直接由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系即可化简.【详解】（1）由题意，由两角和的正弦公式逆用可得.（2）由题意，由两角和的正弦公式、切弦互化商数关系可得.题型六三角恒等式的证明【例6】（2425高一上·湖南张家界·期末）公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.(1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明；(2)若角满足，求的值；(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.【答案】(1)答案见解析(2)(3)【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式【分析】（1）根据关系结合两角和余弦公式展开，再利用二倍角公式及平方关系化简可得结论；（2）由条件结合（1）可求，再通过三角恒等变换化简，并结合同角关系求结论；（3）根据，结合（1）及二倍角正弦公式和同角关系化简等式，解方程求，由此可得结论.【详解】（1）.（2）由（1）及已知得：解得：，又.由得：，.（3）即两边除去得：即化简得：，解得：（负舍）由题意知黄金分割值为.【变式61】（2122高一上·广东湛江·期末）证明下列等式：(1)(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、无条件的恒等式证明【分析】（1）（2）利用三角函数恒等变换的应用化简等式左边等于右边即可得证.【详解】（1）左边右边，得证；（2）左边右边，得证.【变式62】（2223高一下·四川眉山·期中）化简证明：【答案】证明见解析【详解】证明：因为，所以【变式63】（2324高一下·云南大理·阶段练习）证明：(1)(2)(3)已知，，求证．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、有条件的恒等式证明、无条件的恒等式证明【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解.【详解】（1）证明：由所以.（2）证明：由所以.（3）证明：因为，可得，把代入得，即，整理得，所以，所以两边平方可得．题型七三角恒等变换与三角函数的图象和性质【例7】（2425高一上·黑龙江绥化·期末）已知函数．(1)求函数的最小正周期及的单调递增区间；(2)将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，求的解析式及图象的对称中心；(3)若函数在区间上有5个零点，求的取值范围．【答案】(1)，；(2)，；(3).【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.（2）利用图象变换求出，再利用正弦函数的对称性求出对称中心.（3）利用正弦函数性质求出范围.【详解】（1）依题意，，函数的最小正周期，由，解得，所以的单调递增区间为.（2）将的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，得，再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得，由，得，所以的解析式为，图象的对称中心为.（3）由，得，由函数在区间上有5个零点，得，解得，所以的取值范围是.【变式71】（多选）（2425高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，则（

）A．若函数的周期为，则B．若，则函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到C．若且直线是函数的一条对称轴，则在上单调递增D．若函数在区间上没有零点，则【答案】BCD【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性【分析】利用倍角公式及两角和的正弦公式化简函数的解析式，逐项判断即可确定正确答案.【详解】，对于A，若函数的周期为，则，故A错误；对于B，若，则，故函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，故B正确；对于C，若且直线是函数的一条对称轴，则且，解得，则，由，得，故在上单调递增，故C正确；对于D，当时，，若函数在区间上没有零点，则，又，则，故D正确.故选：BCD.【变式72】（2425高一上·青海·期末）已知函数的最小正周期为．(1)求ω的值．(2)先将的图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．（ⅰ）求的单调递增区间；（ⅱ）若，求的值．【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【知识点】求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）应用三角恒等变换化简函数解析式有，再由最小正周期求参数即可；（2）（ⅰ）根据图象平移得，再由正弦型函数的单调性求递增区间；（ⅱ）根据已知得，再应用诱导公式、二倍角余弦公式求函数值.【详解】（1）由．因为的最小正周期为，所以，解得，又，所以．（2）（ⅰ）由（1）可知，将图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，得图象，则．令，得，则的单调递增区间为．（ⅱ），则．故．【变式73】（2425高一上·云南昆明·期末）已知．(1)求函数的解析式和最小正周期；(2)（ⅰ）将的函数图象向右平移个单位，然后纵坐标变为原来的2倍，最后向上平移1个单位得到的函数图象，若是一个偶函数，试求的值；（ⅱ）写出的零点．【答案】(1)(2)【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）应用三角恒等变换计算化简得出三角函数解析式进而求出周期；（2）（ⅰ）先根据平移伸缩得出的解析式再应用偶函数求参即可；（ⅱ）根据零点定义结合余弦函数特殊值计算即可.【详解】（1）因为，所以；（2）（ⅰ）将的函数图象向右平移个单位，然后纵坐标变为原来的2倍，最后向上平移1个单位得到，又因为是一个偶函数，且，所以，所以；（ⅱ）令，得，所以,即得，的零点为题型八最值、范围问题【例8】（2425高一上·福建莆田·期末）若，且．（1）当时，；（2）的最小值为．【答案】【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）代入，得到，并求出，利用诱导公式得到，求出；（2）由三角恒等变换得到，从而，换元得到，求出最小值.【详解】（1）当时，，即，，即，所以，又，故，所以，故，由于，所以，所以一种情况是，解得，满足要求，还可能，解得，不合要求，故；（2），故，，由得，，令，则，当时，，此时，即时，等号成立.故答案为：，【变式81】（2425高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，则取得最小值时的的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、给值求角型问题、基本不等式求和的最小值【分析】由题意，根据可得，结合基本不等式计算即可求解.【详解】由，得，，当且仅当即即时，等号成立.故选：D【变式82】（2425高一上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.(1)若点的横坐标为，求的值；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、诱导公式五、六、辅助角公式【分析】（1）根据题意，求得，利用三角函数定义可得，，由，结合诱导公式求解；（2）根据（1）得，则，令，，换元上式可得，，利用二次函数单调性求出答案.【详解】（1）因为单位圆上点的横坐标，且点在第一象限，所以点，即有，，因为且为锐角，为钝角，所以，所以.（2）由（1）知，，则，设，则，因为，所以，则，所以，因为所以，所以，，所以的取值范围为.【变式83】（2425高一上·重庆沙坪坝·期末）学校准备用一段长为30米的篱笆在墙角（墙的长度足够长）围出一个如图的直角三角形区域进行栽种（其中为篱笆，为墙），设．划定正方形区域栽种鲜花，其中顶点在斜边上，顶点分别在直角边上．(1)设鲜花栽种区域面积为，求最大值并求此时的；(2)将鲜花栽种面积占围出的整块三角形区域面积的比例称为土地有效利用率，求土地有效利用率的最大值．【答案】(1)100，(2)．【知识点】二倍角的正弦公式、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根据解直角三角形可求，利用基本不等式可求最大值及对应的角；（2）利用三角变换公式结合基本不等式可求最大值.【详解】（1）设，则，，即．，当且仅当即时取等．所以的最大值为，此时.（2），设土地有效利用率为，则令，则（根据对勾函数性质可知其单调递减）.故，当且仅当即时土地有效利用率取得最大值．题型九三角恒等变换与平面向量【例9】（2324高一上·浙江宁波·期末）已知向量，，.(1)求的最大值，并求此时的值；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)最大值为，(2)【知识点】数量积的坐标表示、辅助角公式、坐标计算向量的模【分析】（1）利用平面向量的坐标运算，求出模，表示为函数，求最值即可.（2）利用坐标运算得到乘积，转化为函数合理求值即可.【详解】（1）当时，最大，此时，（2），设，易知是第一象限角，故原式转化为，结合正弦函数性质得在上单调递增，当时，，易知是第一象限角，故，，当时，，，故，即【变式91】（2425高三上·湖南·阶段练习）已知向量，，若，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【知识点】二倍角的余弦公式、向量垂直的坐标表示【分析】由可得，根据向量减法及数量积的坐标运算化简可得，原式即可求值.【详解】∵，∴，∴，∴.故选：C.【变式92】（多选）（2025·广东佛山·一模）在中，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．在方向上的投影向量为 D．若，则【答案】AC【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、求投影向量【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解.【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，，即，即，由正弦定理，，即，则为锐角，由，解得，，A选项正确，B选项：由A选项和题干可知，，，故，B选项错误.C选项：在方向上的投影向量为，由B知，，，且，解得，由正弦定理，，则，C选项正确.D选项：由正弦定理，，即，解得，于是，，D选项错误.故选：AC【变式93】（2324高一下·江苏徐州·期末）已知向量，．(1)若，求；(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【知识点】给值求值型问题、已知向量垂直求参数、用和、差角的余弦公式化简、求值、由向量共线（平行）求参数【分析】（1）根据向量共线的坐标表示求出，再由二倍角公式计算可得；（2）由数量积的坐标表示、两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得.【详解】（1）因为，且，所以，则，所以.（2）因为，且，所以，则，所以，则，所以，又，所以，所以，所以.题型十三角恒等变