专题02复数的几何表示及三角表示知识归纳与题型突破（11类题型清单）（原卷版）

专题02复数的几何表示及三角表示知识归纳与题型突破知识点1复数的几何表示1.复数的几何意义：（1）复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（2）复数的几何意义①每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系.②若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是(a，b)，不是(a，bi).③复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系.如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量表示.复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如下：2.复数的模：（1）复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值.（2）复数模的几何意义复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离.由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.（3）模的重要性质：①；②；③.3.复数的共轭复数：（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．（2）（3）共轭复数的性质：①；②；③.4.复数加减法的几何意义：z1、z1、z3∈C，设eq\o(OZ1,\s\up6(→))、eq\o(OZ2,\s\up6(→))分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且eq\o(OZ1,\s\up6(→))、eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共线加法减法几何意义复数的和z1＋z2与向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ,\s\up6(→))的坐标对应复数的差z1－z2与向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))的坐标对应知识点2复数的三角表示1.i2=1的几何意义：2.旋转任意角：3.复数三角表示：（1）辐角：θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，记作argz=θ.若θ是z的一个辐角，则z的所有辐角argz=θ+2kπ（k为整数）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模.4.复数三角形式的运算：（1）乘法：设复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，①z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)=r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．②推广：③乘方：……棣莫佛公式（2）除法：设复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.题型一复数用点、向量表示【例1】（2324高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求：(1)对角线所表示的复数；(2)求点对应的复数.【变式11】（2324高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（

）A． B． C． D．【变式12】（湖南省部分学校20242025学年高三下学期入学检测联考数学试题）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式13】（2324高一·上海·课堂例题）设复数、、、、．(1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E；(2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量．题型二根据复数对应的点求参数【例2】（2223高一下·江苏南通·阶段练习）已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限.(1)求z；(2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求【变式21】（多选）（2425高一下·全国·课后作业）（多选）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的值可以是（

）A．1 B． C． D．【变式22】（2425高一下·全国·课后作业）在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围．(1)在虚轴上；(2)在第二，四象限；【变式23】（2324高一下·陕西商洛·期末）已知，复数.(1)若为纯虚数，求；(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值.题型三共轭复数及其运算【例3】（2425高三上·河南周口·期末）若复数在复平面上对应点的坐标为，为的共轭复数，则（

）A．0 B．2 C． D．4【变式31】（2324高一下·广东广州·阶段练习）若复数满足，则其共轭复数的模为（

）A．1 B． C． D．【变式32】（2425高三上·黑龙江·期末）已知复数，若是纯虚数，则实数（）A． B． C．2 D．3【变式33】（2425高三上·上海嘉定·期中）已知复数，，则.题型四共轭复数的复数特征【例4】（2324高一下·山东青岛·期末）已知复数z满足，则的虚部为（

）A． B．1 C． D．i【变式41】（2425高二上·云南曲靖·阶段练习）若复数，则的共轭复数的虚部是（

）A． B．i C．i D．1【变式42】（2425高三下·北京·开学考试）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式43】（2425高三上·宁夏银川·期末）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限题型五求复数的模【例5】（2425高三上·山西吕梁·阶段练习）若复数z满足，则（

）A．1 B． C．2 D．【变式51】（2024·浙江·一模）已知复数（其中是虚数单位），则（

）A．2 B．1 C． D．【变式52】（多选）（2324高一下·青海·期末）已知复数，则（

）A． B．C．的虚部是 D．在复平面内对应的点位于第四象限【变式53】（2324高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是.题型六根据复数的模求参数【例6】（2425高一上·上海·课后作业）已知复数，且，则实数的取值范围为．【变式61】（2425高三上·上海·期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为.【变式62】（2425高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是.【变式63】（2324高一下·江苏·期末）满足且的复数.题型七与复数模相关的图形、轨迹【例7】（2425高一下·全国·课堂例题）已知，指出下列等式所表示的几何图形．(1)；(2)．【变式71】（2425高一下·全国·课后作业）已知复数满足，则复数对应的点的集合是什么图形（

）A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆【变式72】（2324高一下·甘肃酒泉·期末）已知复数z的模为2，则的最大值为．【变式73】（2425高一下·全国·课前预习）设复数，，则的取值范围是．题型八复数加减法的几何意义【例8】（2024高一下·全国·专题练习）（1）根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点，之间的距离.（2）求复平面内下列两个复数对应的两点之间的距离：①；②.【变式81】（多选）（2425高一下·全国·课后作业）（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（

）A． B．点位于第二象限C． D．【变式82】（2324高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为．【变式83】（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知复数满足，且，求.题型九复数代数形式与三角形式的互化【例9】（2324高一·上海·课堂例题）把下列复数用三角形式表示：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式91】（2425高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果：(1)；(2)．【变式92】（2425高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示.(1)；(2)；(3)；(4).【变式93】（2425高一下·全国·课后作业）已知实数，写出下列复数的三角表示．(1)；(2)；(3)；(4)．题型十复数三角形式的乘法（方）【例10】（2425高一上·上海·课堂例题）计算：(1)；(2)．【变式101】（2324高一下·河南安阳·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（

）A．1 B． C． D．【变式102】（2425高一上·上海·课后作业）计算：．【变式103】（2324高一·上海·课堂例题）设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转得到向量．求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示）题型十一复数三角形式的