-6对数与对数函数讲义学生版

26对数与对数函数讲义一、对数的运算1.对数的定义：如果ax=N(a>0且a≠1)，那么把叫做以为底，的对数，记作x=其中叫做对数的底数，N叫做真数2.对数的分类一般对数：底数为，，记为logaN常用对数：底数为10，记为lgN，即：log10自然对数：底数为e(e≈2.71828…)，记为lnN，即：loge3.指数与对数的关系3.对数的性质与运算法则(1)两个基本对数：①loga1=0，②(2)对数恒等式：①alogaN(3)换底公式：loga推广1：对数的倒数式loga推广2：loga4.对数的运算法则(1)积的对数：loga(2)商的对数：loga(3)幂的对数：①logabm=m5.对数型糖水不等式1.设n∈N∗,且n>1,则有2.设a>b>1,m>0,则有loga3.上式的倒数形式：a>b>1,m>0,则有log二、对数函数1．对数函数的概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2.对数函数的图象性质图象a＞10＜a＜1性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数3.指数函数与对数函数的关系指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．4．常用结论：对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大(底大图右)．考点一对数运算【例11】下列计算正确的是(

)A．(a2)3=a5B．【例12】(2024·重庆·三模)已知，则．【例13】若，是方程的两个实根，则ab的值等于(

)A．2B．12C．100D．【例14】(2024·四川·模拟)若实数，，满足且，则(

)A． B．12 C． D．【例15】计算的结果为(

)A．4 B．53 C．14 1.(2024·青海·模拟预测)若，，则(

)A．1 B．－1 C．2 D．－22．(2024·辽宁丹东·一模)若，，，则(

)A． B．12 C．22 3．(2024·河南郑州·三模)已知，则的值为．4.设方程的两实根是a和b，则等于(

)．A．1B．－2C．−1035.已知，，(a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1)，则等于(

)A． B． C． D．考点二对数型函数及其图象命题点1对数型函数的定义域【例211】(2024·河南·三模)函数的定义域为(

)A． B． C． D．【例212】(2024·青海海南·二模)函数的定义域为(

)A．B．C．D．命题点2对数型函数的图象识别【例221】(2024·广东深圳·二模)已知，且，则函数y=loga(x+1a)A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【例222】当时，在同一平面直角坐标系中，函数y=a−x与的图象是(

)．A．B．C．D．

【例223】函数(且)的图像大致为(

)A．B．C．D．【例224】已知函数①y=logax；②y=logbx；③y=A．a＋c＜b＋aB．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋dD．b＋d＜a＋c命题点3对数型函数过定点问题【例231】函数的图象恒过定点.【例232】函数(且)过定点P，同时点P又在函数上，则P点坐标为，．【例233】(2024·陕西渭南·二模)直线(，)过函数(，且)的定点T，则的最小值为.1．(2023·广东珠海·模拟)函数的定义域是(

)A．(−∞,12)B．(12．在同一平面直角坐标系中，函数y=1ax，y=loga(x+12A．

B．C．D．

3.如图图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：y=2x,y=6A．①⑤B．②⑥C．③⑦D．④⑧4.已知且，则函数与y=(1a)x+1在同一直角坐标系中的图象大致是A．B．C．D．5.若函数，且的图象过点(12,13)，则函数的大致图象是A．B．C．D．

6.(多选)若，则函数与在同一坐标系内的大致图像可能是(

)A．B．C．D．

7.函数()的图象经过定点，则点的坐标为．8.函数(且)过定点．9.函数的图象恒过定点的坐标为.10.已知(且)过定点，若且，，则的最小值为(

)A．16B．10C．8D．411.若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为.考点三对数函数的性质命题点1对数型函数的单调性【例311】函数y=log12(A．(52,+∞)B．C．【例312】函数y=log12【例313】(2024·江苏南通·模拟)在区间上单调递减，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．【例314】已知f(x)=ax−12,x≤1,A．(0,12)B．12,1命题点2对数型函数的最值与值域【例321】函数的值域为(

)A． B． C． D．【例322】函数在2,8上的值域为(

)A．(−32,1)B．−32【例323】函数的值域是.【例324】(2023高三·河北·阶段练习)的值域为，那么的取值范围是.【例325】若函数在上的最大值为2，则实数．【例226】已知函数的定义域和值域都是，则.命题点3对数型函数的奇偶性【例331】已知函数是奇函数，则.【例332】(2024·江苏泰州·模拟)若函数f(x)=log2(a−1x+1A．3 B．2 C．−12 【例333】(m，n为常数)在上有最大值7，则在上(

)A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值1．已知函数在上单调递增，则的取值范围是(

)A． B． C． D．2．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是(

)A． B．23,1) C．12,1)3．若函数y=log(a2−1)x在A． B． C． D．4.函数的单调递减区间为.5．函数f(x)=log156．(2024高三·青海西宁)函数在区间上递减，则a的取值范围为．7．(2024高三·甘肃白银·)是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为．8．函数的值域为．9．函数的值域是．10．已知函数，则函数的值域为．11．已知函数，的最大值为，最小值为，则.12．(2024·宁夏银川·二模)若是奇函数，则．13.函数的最大值为.14.函数的最大值为(

)A． B． C． D．15.函数的值域是．16.已知函数(且)，若存在实数，使函数在上的值域恰好为，则的取值范围为.考点四对数函数性质的应用命题点1指、对、幂比较大小【例411】(2024高三·河北保定)设，，，则a，b，c的大小关系为(

)A．B．C．D．【例412】设则的大小关系为【例413】已知，，，则(

)A． B． C． D．【例414】若，，，则(

)A．B．C．D．命题点2对数型糖水不等式的应用【例421】比较大小:(在“>，<，≤，≥”中选出正确的填)【例422】(2024·重庆·模拟预测)设，，，则(

)A．B．C．D．命题点3含对数的不等式【例431】不等式的解集为【例432】若函数(且)满足，则不等式的解集为.【例433】若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是1．设，则(

)A． B． C． D．2．设，则的大小关系为(

)A． B． C． D．3.(2024·山西·二模)设，，则下列关系正确的是(

)A． B． C． D．4.已知，，，则与的大小关系是．5.已知，那么，满足的条件是．6.已知，若，则的取值范围为．1．(2024新高考Ⅰ卷T6)已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是(

)A． B． C． D．2．(2024新高考Ⅱ卷T8)设函数，若，则的最小值为(

)A． B． C． D．13．(2024北京卷T9)已知，是函数的图象上两个不同的点，则(

)A．B．C．D．4．(2024全国甲卷理T15文T15)已知且，则．5.(2024天津卷T5)若，则的大小关系为(

)A． B． C． D．6．(2023新高考Ⅰ卷T10)(多选)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则(

)．A．B．C．D．7．(2023北京卷T11)已知函数，则．8．(2022新高考Ⅰ卷T7)设，则(

)A． B． C． D．9.(2022全国甲卷文T12)已知，则(

)A． B． C． D．10．(2022全国乙卷文T16)若f(x)=lna+11−x+b是奇函数，则11．(2022天津卷T5)已知，，，则(

)A． B． C． D．12．(2022天津卷T6)化简的值为(

)A．1 B．2 C．4 D．613．(2022浙江卷T7)已知，则(

)A．25 B．5 C． D．14．(2021·全国·高考真题)设，，．则(

)A． B． C． D．15．(2021全国甲卷理T4文T6)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(

)()A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.616．(2021全国乙卷理T7新高考Ⅱ卷T7)已知，，，则下列判断正确的是(

)A． B． C． D．17．(2021·天津·高考真题)设，则a，b，c的大小关系为(

)A． B． C． D．18．(2021·天津·高考真题)若，则(

)A． B． C．1 D．19.(2020全国1卷理T12)12.若，则()A.a>2bB.a<2bC.a>b20.(2020全国2卷理T9)设函数，则f(x)()A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减21.(2020全国2卷理T11文T12)若，则()A． B． C． D．22．(2020·全国·高考真题)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则(

)A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b23.(2