第08讲函数的单调性

第07讲函数的单调性课程标准学习目标①理解导数和函数的单调性关系②掌握导数的符号判断函数单调性③根据函数的单调性能够绘制函数的大致图像1.掌握导数与函数单调性的关系，并能够用导数的符号判断函数的单调性。2.利用导数分析函数的单调性。3.熟练掌握导数为正函数单调递增，导数为负，函数单调递减。知识点01函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．知识点02已知函数的单调性问题=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．知识点03相利用导数求函数单调区间的步骤（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；知识点04含参函数单调性讨论问题（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；题型01函数单调性与导函数的关系【典例1】已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】当时，，∴，故在区间上为减函数，排除AB；当时，，∴，故在区间上为减函数，排除D.故选：C.【变式1】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，时，时，所以不等式的解集为.故选：A【变式2】已知函数y=fx，y=gx的导函数图象如图，那么y=fx，y=gA．B．C． D．【答案】D【详解】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同，可以排除B、C.由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.故选：D【变式3】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数f′x的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则f′x≥0当x∈0,+∞时，故选:A．题型02求函数单调区间【典例2】已知函数，若曲线在点处的切线方程为.(1)求和的值；(2)求的单调区间.【答案】(1)；；(2)的单调递增区间为，单调递减区间为.【详解】（1）由题可得，所以，即，切线方程为，所以.所以；.（2）由（1）得，，函数定义域为，所以当时，；当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.【变式1】函数在上的单调性是（

）A．单调递增B．单调递减C．在上单调递减，在上单调递增D．在上单调递增，在上单调递减【答案】C【详解】函数的定义域为，求导得，由，得；由，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.故选：C【变式2】函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，当f′x<0，得所以的单调递减区间为．故选：B【变式3】已知，函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，令，解得，当时，f′x当时，f′x所以在上单调递增，在上单调递减，所以在0,π上的单调递增区间为，故选：C．【变式4】函数的单调递增区间是.【答案】【详解】由题意可知：的定义域为，且，令，解得，故的单调递增区间是.故答案为：.【变式5】已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)．(2)单调减区间是，单调增区间是．【详解】（1），，又，所以切线方程为，即．（2），定义域是，，当时，，当时，，所以的单调减区间是，单调增区间是．题型03已知函数的单调区间，求参数的范围【典例3】已知函数，．若在上是增函数，求a的取值范围．【答案】【详解】由已知条件，得，在上是增函数，，即在上恒成立，而在上是增函数，．．的取值范围是．【变式1】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数，所以，又函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则在上，，则.当时，不恒为零，也符合题意，所以实数的取值范围是.故选：C【变式2】若函数在区间上是增函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】．因为函数在区间上是增函数，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立．设，则．当时，恒成立，所以在上单调递减，故，所以．故选：D【变式3】已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是.【答案】【详解】由题意得的定义域为.在上恒成立，即在上恒成立.设，则，.当时，，所以在上单调递增，所以，所以，即实数a的取值范围是.故答案为：【变式4】已知函数的减区间为，则.【答案】3【解析】由题意可得，，解集为，则.故答案为：3题型04已知函数的不单调，求参数的范围【典例4】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【解析】函数的定义域为，且，令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：故选：B.【变式1】若函数在上不单调，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为的定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，若函数在上不单调，即，，可得，所以实数的取值范围是.故选：B【变式2】函数在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，因在上不单调，故导函数在上必有变号零点.令，得，再令，则，由，得即在上单调递增，所以，故只需，即，对于A，是的真子集,故A选项是一个充分不必要条件，而其他选项中，的范围都不是的真子集，故都不正确.故选:A．【变式3】函数在R上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，而，要使在R上不单调，则.故选：D【变式4】已知函数的导数为，函数．(1)求；(2)求最小正周期及单调递减区间；(3)若不是单调函数，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)最小正周期为，单调递减区间为(3)【详解】（1）依题意，．（2）由（1）知，，则的最小正周期为，由，得，所以的单调递减区间为．（3）由（2）知，，当时，，则，即，当在上单调时，则对或成立．由，得，，则．由，得，，则．因此，当在上单调时，或，于是得不是单调函数时，，所以实数的取值范围是．题型05含参函数单调性讨论【典例5】已知函数．讨论当时，的单调性．【答案】答案见解析【详解】由题意，则，当时，对于，则恒成立，在0,+∞上单调递减．当时，对于有2个大于0的零点，分别是，当时，在上单调递增；当时，f′x<0，在和上单调递减．综上，当时，在0,+∞上单调递减；当时，在上单调递增，在和上单调递减．【变式1】求函数的单调递减区间.【答案】答案见解析【详解】函数的定义域是0,+∞，.①当时，f′x<0在0,+∞上恒成立，故在②当时，若，则f′x<0若，则f′x所以在上单调递减，在上单调递增.综上可知，当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为.【变式2】已知函数，讨论的单调性.【答案】答案见解析【详解】函数的定义域为，当时，，则在上单调递增；当时，由，得，由，得；由，得，于是有在上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当0时，在上单调递增，在上单调递减．【变式3】设，.(1)若，求在处的切线方程；(2)若，试讨论的单调性.【答案】(1)(2)见解析【详解】（1）若，则，，又，故，所以在处的切线方程为，即；（2），，当时，，令，即，解得，令，解得，所以在上单调递减，,上单调递增；当时，，在上单调递增，当，即时，令，解得，或，令．解得，所以在，,上单调递增，,上单调递减；当，即时，令，解得，或，令．解得，所以在，,上单调递增，,上单调递减．综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增；当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减；当时，，在上单调递增，当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减．【变式4】已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时，，求导得，则，即切线的斜率为，又，故曲线在点处的切线方程为，化简得．（2）求导得，当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．题型06构造函数问题【典例6】已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，则，则在上单调递增，对于A，，化简得，错；对于B，，化简得，错；对于C，，化简得，对；对于D，，化简得，错.故选：C【变式1】已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以函数在上单调递增.又，所以解得.故选：C【变式2】已知函数为上的可导函数，且，均有，则有（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【详解】令，则．由，均有，即，则在上单调递增，，可得．故选：B【变式3】（多选）已知函数对于任意的都有，则下列式子成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】令，对于任意的，所以在上单调递增，所以，A不对；，B正确；，C正确；，D不对．故选：BC1.下列函数中，在内为增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误；对B，在内大于0恒成立，故B正确；对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误；对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误.故选：B2.若函数，则函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数，定义域为，由，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.3．已知函数是减函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，可得，因为函数是减函数，所以对恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，所以，又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以的取值范围为.故选：D.4.若函数的减区间为，则的值为.【答案】3【详解】的解集为，即的解集为，所以，解得.故答案为：.5.已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，求函数在区间上零点的个数．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．(2)答案见解析【详解】（1）定义域为0,+∞，且，令，得．当x变化时，f′x，xf+0极大值所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）可知的最大值为，①当时，在区间0,1上单调递增，在区间上单调递减．又f1=0，故在区间上只有一个零点．②当时，，，则，所以在区间上无零点．综上，当时，在区间上只有一个零点，当时，在区间上无零点．6.已知函数，.(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围；(3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值.【答案】(1)答案见解析(2)(3).【分析】（1）根据函数的导函数分三种情况得出函数的单调性；（2）由（1）知结合函数的单调性列不等式求参；（3）由（1）知结合函数的单调性列等式求参；【详解】（1）由题意知.①当时，恒成立，所以的单调递增区间是；②当时，令，得或，令，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；③当时，令，得或，令，得，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.（2）由（1）知，若在内单调递减，则，解得，即a的取值范围是.（3）由（1）知，若的单调递减区间是，则，解得.7.已知函数．(1)讨论函数的单调区间；(2)设函数在区间上是减函数，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）由题意得，，.当，即时，恒成立，在R上为增函数；当，即或时，由得，，由得，或，由得，，所以在上为增函数，在上为减函数.综上得，当