专题1导数切线问题教师版

专题01导数切线问题相关知识点1．函数在某点处的导数的几何意义(1)切线的定义在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近点Po(x0,f(x0))时，割线PoP无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.(2)函数在某点处的导数的几何意义

函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线PoT的斜率，即==f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为。2．切线方程的求法1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率第二步（写方程）：用点斜式第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．常考考点考点1：求函数某点处切线已知函数f(x)=x3−2lnx，那么f(x)在点(1【答案】x−y=0【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线的点斜式方程运算求解.【详解】因为f(x)=x3−2lnx，则f'(x)=3x2−2x，

可得f(1)=1，f'1=1，

即切点坐标为1，1，切线斜率为1，

所以切线方程为y−1=1×x−1，整理得x−y=0.

故答案为：【答案】x−y+1=0【分析】根据导数的几何意义即得.【解析】【解答】因为y=excosx，

所以y'=excosx−故答案为：xy+1=0.3.（2324高二下·陕西西安·期中）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用导数几何意义去求切线方程即可.【详解】由，得，所以该曲线在点处的切线斜率为，故所求切线方程为，即．故选：C.4．（2324高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线方程为．【答案】【分析】求出函数的导数，并求出的值，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】由，求导得，则，解得，于是，，所以所求切线方程为，即.故答案为：已知曲线y=aex+xlnxA．a=e，b=−1 B．a=e，b=1C．a=e−1，b=1【答案】D【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a，将点的坐标代入直线方程，求得b【详解】解：yk=y'将(1，1)代入y=2x+b得2+b=1，b=−1，故选D．考点2：求函数过某点切线方程1．过原点且与函数fx=lnA．y=−x B．y=−2ex C．y=−【答案】C【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.【详解】因为f(x)=ln(−x)，所以设所求切线的切点为(x0,f(由题知，1x0=f(x故所求切线方程为y=−1故选：C.（2324高二上·云南昆明·期末）过点且与曲线相切的直线斜率为（

）A． B． C．1 D．4【答案】C【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出切线斜率.【详解】设过点与曲线相切的切点坐标为，由求导得：，则切线方程为，于是，整理得，解得，所以所求切线的斜率为1.故选：C3．（2425高二上·江苏南京·阶段练习）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设切点，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点，可得，进而确定切线斜率.【详解】由，得，设切点为，则切线斜率，即切线方程为，又切线过点，则，整理可得，解得或或，则切线斜率为或或，故选：D．4．（多选）（2324高二下·贵州·期中）过点且与曲线相切的直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】运用导数几何意义，结合导数运算，点斜式可解.【详解】求导得，设切点为，则，切线方程为，又切线过点，所以，整理得，解得或.当时，，切线方程为.当时，，切线方程为.故选：BC.5．（2324高三上·山东青岛·期中）曲线过原点的切线方程为.【答案】【分析】设切点，求导，即可根据点斜式求解切线方程，进而根据直线过原点即可求解切点坐标，进而可求解.【详解】由得设切点为，则切线方程为由于切线经过原点，所以，解得，所以切线方程为，即，故答案为：考点3：切线条数问题若过点(a,b)可作曲线y=x2−2x的两条切线，则点(a,b)A．(0,0) B．(1,1) C．(2,0) D．(3,2)【答案】D【分析】设切点的坐标为(t,t2−2t)，求得切线方程为y=(2t−2)(x−t)+t2−2t，把点(a,b)代入得t2【详解】由函数y=x2−2x设切点的坐标为(t,t2−2t)把点(a,b)代入，可得b=(2t−2)(a−t)+t整理得t2−2at+2a+b=0，因为过点(a,b)可作曲线则方程t2所以Δ=4a2分别把点(0,0),(1,1),(2,0),(3,2)代入验证，可得只有(3,2)满足，所以点(a,b)可以是(3,2).故选：D.2．（2324高二下·广东·期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出两条切线的斜率，由两直线的夹角公式求得夹角的正切值．【详解】两条切线，的倾斜角分别为，，根据题意，，若点是切点时，切线斜率为，若点是切点（点不重合），则，由，解得（舍去），所以直线斜率为，则．故选：C．3．若直线x=1上一点P可以作曲线x=lny的两条切线，则点P纵坐标的取值范围为．【答案】0,e​​​​​​​【分析】先求出过点P1,b的切线方程，分离参数变量，从而转化为函数直线y=b与曲线y=ft有两个交点，再借助导数判断出函数的单调性，从而得出函数的最值，结合直线与曲线的图象得出点【解析】解：因为曲线x=lny为曲线y=e在曲线y=ex上任取一点Mt,et所以曲线y=ex在点Mt,et又因为切线过点P1,b，则b=令ft=2−t当t<1时，f't>0当t>1时，f't<0所以f(t)由题意知，直线y=b与曲线y=ft有两个交点，则b<f当t<2时，ft>0；当t>2时，ft<0，故答案为：0,e.

4.若过点P(m,0)与曲线f(x)=x+1ex相切的直线只有2条，则mA．(−∞,+∞C．(−1,3) D．(−【答案】D【分析】求得f′(x)=−xex【详解】设过点P(m,0)的直线与曲线f(x)=x+1ex由f(x)=x+1ex，可得f′(x)=−整理得t2因为切线有2条，所以切点有2个，即方程t2则Δ=(1−m)2−4>0，解得所以m的取值范围是(−∞故选：D．5．（2024高二·全国·专题练习）已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设切点坐标为，由导数的几何意义求出切线方程，转化为有三个不等实根，利用导数分析单调性最值，画出图象求参数的取值范围即可.【详解】设切点坐标为.由题意得，所以函数的图像在点处的切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，则，由题意可知，这个方程有三个不等实根.设，则，由得，由得或.所以函数在和上单调递减，在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于；当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且，所以的大致图象如图，所以要使直线与函数的图象有三个交点，则.故选：C考点4.公切线问题若直线x+y+a=0是曲线fx=x3+bx−14与曲线gA．26 B．23 C．15 D．11【答案】D【分析】先由gx=x2−3lnx，利用切线斜率为1求得切点，再将切点代入切线方程求得【详解】解：因为gx所以g′x=2x−3x，由2x−所以切点为1,1，因为切点在切线x+y+a=0上，解得a=−2，所以切线方程为x+y−2=0，f′x=3由题意得3t2+b=−1所以a−b=11，故选：D.2．（2024·四川成都·二模）直线与函数和的图象都相切，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】设直线与函数的切点为x1,y1，与函数的切点为x2,【详解】设直线与函数的切点为x1,y1，则设直线与函数的切点为x2,y2，则由；由，；由.由，所以.故选：D3．（2425高二下·全国·课后作业）若曲线与曲线存在公共切线，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设切点，根据导数求解斜率，可得和，进而将问题转化为与函数的图象有交点，即可根据导数求解.【详解】由得，曲线在点处的切线斜率为由得在点处的切线斜率为，如果两条曲线存在公共切线，那么．又由斜率公式可得，由此得到，则有解，所以直线与函数的图象有交点即可．当直线与函数的图象相切时，设切点为，则，且，得，即有切点，此时，故实数a的取值范围是．

故选：D．4.（多选）（2324高二上·山西运城·期末）若直线是曲线与曲线的公切线，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】借助导数的几何意义计算即可得.【详解】令，则，令，有，则，即有，即，故，令，则，令，有，则，即有，即，故有，即.故选：BD.5．（2324高三上·江苏连云港·阶段练习）已知直线分别与曲线，相切于点，，则的值为.【答案】1【分析】利用导数求切点处的切线方程，可得，通过指数式对数式的运算，求出的值.【详解】由，，有，，在点处的切线方程为，在点处的切线方程为，则有，得，所以，可得.故答案为：1.考点5：切线问题中的参数问题1．（2425高三上·安徽·阶段练习）已知曲线，在点处的切线与直线垂直，则a的值为（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据导数求出曲线在点处的切线斜率，再根据两条互相垂直的直线斜率之积等于算出即可.【详解】，则，则，曲线在点处的切线与直线垂直，所以，解得.故选：C曲线y=x5−ax+1在x=1处的切线的斜率大于1，则A．−∞,4 B．−∞,3 C．【答案】A【分析】根据导数的几何意义即可求解.【详解】设函数fx=x5−ax+1，则故选：A.3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若曲线y=fx在点处的切线方程为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】代点求解出，然后对函数进行求导，对应求解出，最后求解.【详解】由已知，，故，，则切线斜率为，故，所以．故选：B.4．（2324高二下·安徽·阶段练习）若函数的图象在点处的切线方程为，则（

）A．13 B．7 C．4 D．1【答案】A【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，求出、的值，再代入计算可得.【详解】∵函数的图象在点1,f1处的切线方程为，，，由题可知，，，，，．故选：A5．（2324高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是．【答案】25【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为，因为，直线的斜率为，所以，，，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是25.故答案为：25.考点6：切线综合问题如图，函数y=fx的图象在点P1,y0处的切线是l，则

A．1 B．2 C．0 D．−1【分析】C【分析】根据函数图象中的数据求出切线l的方程，从而可求出点P的纵坐标，则可得f(1)，求出直线的斜率可得f′【详解】由图象可得切线过点(2,0),(0,2)，所以切线l的方程为x2+y所以切线的斜率为−1，所以f因为点P1,y0在切线上，所以y所以f1故选：C.2．（2324高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导得到切线斜率，再得到直线方程，再得到截距，进而得到面积.【详解】解：由，则，，所以在处切线的方程为，令，得，令，得，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故选：A3．（2024高三·全国·专题练习）已知P是曲线（）上的动点，点Q在直线上运动，则当取最小值时，点P的横坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】画出曲线（）和直线的图象，将所求距离问题转化为两平行线距离最小，从而结合两直线平行，利用导数的几何意义列方程即可求得切点的横坐标.【详解】画出曲线（）和直线的图象，如下图所示

若使得取最小值，则曲线在点处的切线与直线平行，对函数求导得，令，可得，又，解得．故选：C4.已知函数fx(1)求函数fx在区间0,2(2)设gx=2x+kx，若曲线y=fx在点1,f1处的切线与曲线(3)求过点2,f2且与曲线y=f【答案】（1）2k=1y=10x−14或y=x+4.【分析】（1）根据平均变化率公式，即可求解；（2）利用导数求的几何意义求切线斜率，利用斜率相等，即可求解；（3）首先设切点x0【详解】（1）函数fx在区间0,2上的平均变化率为f（2）fx=x3−2x+2gx=2x+kx，由题意可知，2−k=1，得k=1；（3）f2=6，设切点为x0则曲线y=fx在点x0,x0则6−x03即x0−2x得x0=2或当x0=2时，切线方程为当x0=−1时，切线方程为综上可知，切线方程为y=10x−14或y=x+4.5．（2425高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数，，其中