高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第八章　8.6　8.6.1　直线与直线垂直含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第八章8.68.6.1直线与直线垂直含答案8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直【学习目标】1.理解异面直线所成角的概念,会求两异面直线所成的角.2.了解空间中直线与直线垂直的关系,会证明空间中两直线的垂直.【素养达成】数学抽象、数学运算直观想象、逻辑推理一、异面直线所成的角1.定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).2.范围:0°<α≤90°.3.互相垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说这两条异面直线互相垂直.【教材挖掘】(P147)在异面直线所成角的定义中,角的大小与点O的位置有关系吗?提示:根据等角定理可知,异面直线a'与b'所成角的大小与点O的位置无关.但是为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等).二、空间两条直线所成角的取值范围当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为0°,所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.【教材挖掘】(P147)两条直线所成的角与异面直线所成的角是一样的吗?提示:不是.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)异面直线所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°.(×)提示:异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°.(2)若两条直线垂直,则它们一定相交且所成的角是90°.(×)提示:也可能是异面直线.(3)若两条直线所成的角为0°,则这两条直线平行.(√)(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直.(√)类型一求异面直线所成的角(数学运算)【典例1】(1)(教材P147例2改编)如图,在正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,P是面EFGH的中心,则OP和CD所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选B.如图,连接EG,HF,则P为HF的中点,连接AF,OP∥AF,又CD∥AB,所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角,由于△ABF是等腰直角三角形,所以∠BAF=45°,故OP与CD所成的角为45°.(2)已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点,以OP所在直线为旋转轴旋转一周得到几何体,CD是底面圆O上的弦,△COD为等边三角形,则异面直线OC与PD所成角的余弦值为()A.14 B.24 C.34 【解析】选B.设OP=r,过点D作OC的平行线交圆O于点E,连接PE,OE,则OE=OC=CD=OD=r,PC=PD=2r,所以∠PDE(或其补角)为异面直线OC与PD所成角,在△PDE中,PE=PO2+=2r,DE=r,所以cos∠PDE=D=r2+2r【总结升华】求两异面直线所成角的一般步骤(1)构造:通过作平行线或平移平行线,作出异面直线所成的角(或其补角);(2)计算:求角度,常用解三角形方法;(3)确定:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.【即学即练】1.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱C1C与BC的中点,则直线EF与直线D1C所成的角的大小是__________.

答案:60°【解析】连接BC1,A1B,A1C1(如图).因为BC1∥EF,A1B∥CD1,则∠A1BC1即为直线EF与直线D1C所成的角.又因为BC1=A1B=A1C1,所以∠A1BC1=60°,所以直线EF与直线D1C2.(教材P148T4改编)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BCC1B1为正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D为C1B1的中点,则异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为________.

答案:30【解析】如图,过D作DF∥A1C1,交A1B1于点F.则∠ADF为异面直线A1C1与AD所成角(或所成角的补角),因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BCC1B1为正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D为C1B1的中点,所以由题意知AD=22+22+42=26,DF=12+22=5,AF=42+12=17,所以异面直线A1C1与AD所成角的余弦值为cos∠ADF=【补偿训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则DB1与CM所成角的余弦值为__________.

答案:15【解析】将正方体ABCD-A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体,构成一个如图所示的长方体,连接CE1,ME1.因为DB1∥CE1,所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角),设正方体的棱长为a.在△MCE1中,CM=52a,CE1=3a,ME1=132a,那么cos∠MCE1=54类型二证明直线与直线垂直(逻辑推理)【典例2】在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AEED=BFFC=12,EF=5.求证:【证明】如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于点O,连接OF,EF.因为EO∥AB,且AEED=12,所以EOAB因为AB=3,所以EO=2.又BFFC=12,所以BFFC所以OF∥DC,所以OE与OF所成的角即为AB和CD所成的角,因为DC=3,所以OF=1.在△OEF中,OE2+OF2=5,EF2=(5)2=5,所以OE2+OF2=EF2,所以∠EOF=90°,所以AB⊥CD.【总结升华】证明两异面直线垂直的步骤(1)作出两异面直线所成的角.(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系.(3)结论.【补偿训练】直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1中点为M,BC中点为N,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1.证明:AB1⊥MN.【证明】由题得MN∥B1C,所以∠AB1C就是异面直线AB1与MN所成角或补角.由题得AC=4+1-2×2×1×cosAB1=5,B1C=2,因为(2)2+(5)2=(7)2,所以∠AB1C=π2,所以AB1⊥类型三异面直线所成角的应用(数学运算)【典例3】如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,求线段AA1的长.【解析】连接CD1,AC.由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=23,所以△ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=22因为底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,所以AC=23×sin60°×2=6,AD1=22AC=32所以AA1=AD12-A【总结升华】关于异面直线所成角的应用当已知条件中含有异面直线所成角时,应先作出该角,才能应用此条件,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角,也可能是其补角,应分情况讨论.【补偿训练】如图,在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1,求EF的长.【解析】取BC的中点O,连接OE,OF.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以OE∥AC,OF∥BD,且OE=12AC,OF=12所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角.而AC,BD所成的角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=12;当∠EOF=120°时,取EF的中点M,连接OM则有OM⊥EF,EF=2EM=2×34=3综上可得,EF的长为12或3课时巩固训练,请使用“课时过程性评价三十三”8.6.2直线与平面垂直(1)【学习目标】1.了解直线与平面垂直的定义.2.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直.3.理解直线与平面所成角的概念,并能解决简单的线面角问题.【素养达成】数学抽象逻辑推理数学运算一、直线与平面垂直的定义1.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.2.相关概念:3.结论:(1)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条;(2)垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.【版本交融】(苏教P180思考)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?提示:不一定.因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.【版本交融】(北师大版P242思考交流)过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直?提示:有且只有一条.二、直线与平面垂直的判定定理1.文字:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.2.符号:l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α.【教材挖掘】(P151思考)两条相交直线可以确定一个平面,两条平行直线也可以确定一个平面,那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗?提示:不可以.当这两条直线相互平行时,直线和平面不一定垂直.【版本交融】(北师大版P242思考交流)若三条共点的直线两两垂直,那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系?提示:垂直.三、直线与平面所成的角1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角.2.相关概念:3.范围:0°≤θ≤90°,当θ=0°时,直线与平面平行或者在平面内;当θ=90°时,直线与平面垂直.【教材挖掘】(P151)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的吗?提示:是.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α内的所有直线,则直线l与平面α垂直.(√)(2)若一条直线垂直于矩形的两边所在的直线,则这条直线垂直于矩形所在的平面.(×)提示:当这条直线垂直于矩形的对边时,直线和平面不一定垂直.(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(×)提示:在空间中有无数条.(4)斜线和斜线在平面上的射影的夹角是该斜线与平面所成的角.(×)提示:线面角是斜线与斜线在平面上的射影的夹角中的锐角.类型一直线与平面垂直的判定(逻辑推理)角度1线面垂直的定义与判定定理的理解【典例1】(多选)下列命题,正确的是()A.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥αB.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直D.若一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边,则该直线与平面垂直【解析】选CD.当直线l与平面α内的无数条直线垂直时,l与α不一定垂直,A不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,B不正确,C正确;三角形的两边是相交的,由线面垂直的判定定理可知,D正确.【总结升华】1.直线与平面垂直定义的“双向”作用(1)证明线面垂直:需要证明一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,一般不使用;(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.2.直线与平面垂直的判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.【即学即练】设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是()A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥α,m∥α,则l∥m【解析】选B.对于A,由l⊥m及m⊂α,可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m可能平行或异面,故C错误;对于D,l与m的位置关系为平行、异面或相交,故D错误.角度2线面垂直的证明【典例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,求证:OE⊥平面ACD1.【证明】如图,连接AE,CE,D1O,D1E,D1B1.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,易证AE=CE.因为AO=OC,所以OE⊥AC.D1O=DD12+DOOE=BE2+OB2D1E=D1B12+因为D1O2+OE2=D1E2,所以D1O⊥OE.因为D1O∩AC=O,D1O⊂平面ACD1,AC⊂平面ACD1,所以OE⊥平面ACD1.【总结升华】1.线面垂直判定定理的关注点(1)实质:由线线垂直推证线面垂直;(2)途径:证明平面内的两条相交直线都与已知直线垂直;(3)证明线线垂直的常用方法:线面垂直的定义、勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线的性质、菱形(正方形)对角线的性质等.2.平行转化法证明线面垂直(1)a∥b,a⊥α⇒b⊥α;(2)α∥β,a⊥α⇒a⊥β.【即学即练】(教材P152T2改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,△PAD为正三角形,且E是AD的中点.求证:BC⊥平面PEB.【证明】连接BD.因为E是正三角形PAD边AD的中点,则PE⊥AD.因为四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,所以正三角形BAD中,BE⊥AD,因为PE∩BE=E,所以AD⊥平面PEB.因为AD∥BC,所以BC⊥平面PEB.【补偿训练】如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M是圆周上任意一点,AN⊥PM,垂足为N.求证:AN⊥平面PBM.【证明】设圆O所在的平面为α,因为PA⊥α,且BM⊂α,所以PA⊥BM.又因为AB为☉O的直径,点M为圆周上一点,所以AM⊥BM.由于直线PA∩AM=A,所以BM⊥平面PAM,而AN⊂平面PAM,所以BM⊥AN.又AN⊥PM,所以AN与PM,BM两条相交直线互相垂直.故AN⊥平面PBM.类型二线面垂直的应用(逻辑推理)【典例3】(1)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是()A.5 B.25 C.35 D.45【解析】选D.如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD,所以BC⊥AD.在Rt△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4.在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,所以PD=82+4(2)(教材P152T4改编)已知点P是△ABC所在平面外一点,若PA⊥BC,PB⊥AC,则点P在平面ABC上的射影一定是△ABC的()A.重心 B.外心C.内心 D.垂心【解析】选D.设三棱锥P-ABC的顶点P在底面的射影为O,因为PA⊥BC,PO⊥BC,所以AO⊥BC,同理BO⊥AC,所以P点在平面ABC上的射影是△ABC的垂心.【总结升华】三棱锥的三条侧棱相等时,顶点在底面的射影是底面的外心;三条侧棱两两垂直时,顶点在底面的射影是底面的垂心.【即学即练】1.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是()A.平行 B.垂直相交C.垂直但不相交 D.相交但不垂直【解析】选C.连接AC,因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.2.(教材P152T4改编)三棱锥P-ABC中,PO⊥平面ABC,O是垂足,若点P到AB,BC,AC的距离相等,则O是△ABC的__________心.

答案:内【解析】由于点P到△ABC的三边AB,BC,AC的距离相等,易得点O到边AB,BC,AC的距离相等,故点O是△ABC的内心.类型三直线与平面所成的角(数学运算)【典例4】(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为523,AB=6,A1B1=2,则AA1与平面ABC所成角的正切值为(A.12 B.1 C.2 D.【解析】选B.设棱台高为h,三条侧棱延长后交于一点O,则由AB=3A1B1知,O到上底的距离为12h,O到下底的距离为3又S△ABC=93,S△A1B1C1=3,所以13·93·32h-13·3上底中心到顶点A1的距离为23,所以所求正切值为12h23【总结升华】求斜线与平面所成角的步骤(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线.(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.提醒:注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.【即学即练】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为22,则AC1与平面ABB1A1所成的角为________.

答案:π【解析】取A1B1中点D,连接C1D,AD,因为正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为22,所以C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,因为A1B1∩AA1=A1,A1B1,AA1⊂平面ABB1A1,所以C1D⊥平面ABB1A1,所以AC1与平面ABB1A1所成的角为∠DAC1,因为C1D=22-12=3,AD=(22)2+12=3,所以tan∠DAC1=C1DAD=33,所以∠D