高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册2.2　第2课时　基本不等式的应用含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册2.2第2课时基本不等式的应用含答案第2课时基本不等式的应用【学习目标】1.进一步理解运用基本不等式求最值的条件,能够灵活应用基本不等式求最值.2.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.【素养达成】逻辑推理、数学运算数学建模类型一基本不等式的灵活应用(逻辑推理、数学运算)角度1“含有负”问题【典例1】已知x<0,则3x+12x的最大值为_______答案:-12【解析】因为x<0,所以-x>0.则3x+12x=-[12-x+(-3x)]≤-212(-x)·(-3x)=-12,当且仅当12【总结升华】“含有负”问题的解题步骤当a<0,b<0时,也可以利用基本不等式求最值,其步骤为:(1)各项提取“负号”,化负为正利用基本不等式;(2)利用不等式的性质,改变不等号的方向,求得最值.【即学即练】已知x<0,则x+1x-2有(A.最大值0 B.最小值0C.最大值-4 D.最小值-4【解析】选C.因为x<0,所以-x>0,所以x+1x-2=-[(-x)+1(-x当且仅当-x=-1x,即x=-1时“=”成立所以x+1x-2(x<0)有最大值-4角度2“凑定值”问题【典例2】(1)已知0<x<12,则y=12x(1-2x)的最大值为答案:1【解析】因为0<x<12,所以1-2x所以y=14×2x(1-2x)≤14×(2x+1-2x2)当且仅当2x=1-2x(0<x<12即x=14故当x=14时,ymax=1(2)已知x>32,则函数y=x-1+22x答案:5【解析】由x>32得x-3则函数y=x-1+22x-3=x-32+1x-32+1当且仅当x-32=1x-【总结升华】拼凑法求最值的解题策略拼凑法求解最值,其实质就是先对代数式变形拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.【即学即练】1.若0<x<4,则y=x(12-3x)的最大值为_______.

答案:12【解析】因为0<x<4,所以12-3x>0,所以y=x(12-3x)=13×3x(12-3x)≤13(3x+12-3x2)2=12,当且仅当3x2.已知x<54,则y=4x-2+14x答案:1【解析】因为x<54,所以5-4x所以y=4x-2+14x-5=-(5-4当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时,角度3“分式型”问题【典例3】(易错·对对碰)(1)已知x>-1,则x2+12x【解析】(1)x2+12x+20x+1=因为x>-1,所以x+1>0,所以(x+1)+9x+1+10≥2当且仅当x+1=9x+1,即x(2)已知x>-1,则x+1x2【解析】(2)y=x+1x2+3x因为x>-1,所以x+1>0,所以y≤12(x+1)当且仅当x+1=6x+1即x=6故所求最大值为26答案:(1)16(2)2【总结升华】求“分式型”代数式最值的策略根据“分式型”代数式的特点,拆分成能利用基本不等式求最值的形式.【即学即练】1.当x>0时,y=2xx2A.最小值1 B.最大值1C.最小值2 D.最大值2【解析】选B.因为x>0,所以y=2xx2+1=当且仅当x=1x,即x=1时,等号成立即y=2xx2.(2024·岳阳高一检测)式子x2+4|答案:4【解析】x2+4|x|=|x|+4|x|≥2|类型二基本不等式的实际应用(数学建模)【典例4】(1)(2024·郑州高一检测)某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时,需要12天完成,只由一名女社员分装时,需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜,要求一天内分装完毕.由于现有的男、女社员人数都不足以单独完成任务,所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验,这批蔬菜分装完毕后,参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克,参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(千克)与女社员的平均损耗蔬菜量(千克)之和的最小值为()A.10 B.15 C.30 D.45【解析】选B.设安排男社员x名,女社员y名,根据题意,可得x12+y18=1,平均损耗蔬菜量之和为80x+30y,则80x+30y=(80x=40y9x+5x2y+253≥240y9x×5x2y则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量(千克)与女社员的平均损耗蔬菜量(千克)之和的最小值为15.(2)为了增强生物实验课的趣味性,丰富生物实验教学内容,我校计划沿着围墙(足够长)划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建一个羊驼养殖场,规定ABCD的每条边长均不超过20米.如图所示,矩形EFGH为羊驼养殖区,且点A,B,E,F四点共线,阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设AB=x(单位:米),养殖区域EFGH的面积为S(单位:平方米).①将S表示为x的函数,并写出x的取值范围;【解析】①因为AB=x,所以AD=100x,EF=x-2,FG=100所以S=(x-2)(100x-1)=102-200x-因为0<x≤20,0<100x≤20,解得5≤x所以S=102-200x-x,5≤x≤20②当AB为多长时,S取得最大值?并求出此最大值.【解析】②S=102-200x-x≤102-2x·200当且仅当x=102时,等号成立,经验证,符合题意,即当AB=102米时,S取得最大值,最大值为(102-202)平方米.【总结升华】应用基本不等式解决实际问题的思路(1)先认真审题,设出变量,将实际问题抽象成数学问题;(2)建立相应的关系式,利用基本不等式求解;(3)根据实际背景写出答案.【即学即练】为了改善居民的居住条件,某城建公司承包了棚户区改造工程,按合同规定在4个月内完成.若提前完成,则每提前一天可获2000元奖金,但要追加投入费用;若延期完成,则每延期一天将被罚款5000元.追加投入的费用按以下关系计算:6x+784x+3-118(千元),其中【解析】设城建公司获得的附加效益为y千元,由题意得:y=2x-(6x+784x+3-118)=118-(4x+=118-[4(x+3)+784x+3=130-[4(x+3)+784x+3]=130-112=18(千元),当且仅当4(x+3)=784x+3,即x=11时取等号.2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时二次函数与一元二次方程、不等式(一)【学习目标】1.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式.2.会求简单的分式不等式的解集.3.理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式之间的关系,并能解决相应的问题.【素养达成】直观想象、逻辑推理逻辑推理、数学运算逻辑推理一、一元二次不等式的概念一般地,把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.教材挖掘(P50)当a满足什么条件时,不等式(a+1)x2+x-2<0是一元二次不等式?提示:当a+1≠0,即a≠-1时,不等式(a+1)x2+x-2<0是一元二次不等式.二、一元二次不等式的解法1.二次函数的零点一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根x1,2=-x1=x2=-b没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1,或x>x2}xRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀版本交融(北师大版P36思考交流)y=ax2+bx+ca>0的图象与方程ax2+bx+c=0的实数根、不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c提示:当Δ>0时,y=ax2+bx+ca>0的图象与x轴的交点的横坐标x1,x2是ax2+bx+c=0的两个根,也是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集的区域端点版本交融(北师大版P37思考交流)根据不等式3x2+5x-2>0的解集,你能得出不等式3x2+5x-2≤0的解集吗?提示:能.不等式3x2+5x-2≤0的解集是不等式3x2+5x-2>0解集相对于R的补集.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)不等式ax2+x-1<0是一元二次不等式.(×)提示:当a≠0时,ax2+x-1<0是一元二次不等式.(2)二次函数y=x2-4的零点是(2,0),(-2,0).(×)提示:应该是2和-2.(3)若y=ax2+bx+ca>0的两个零点分别为1,2,则ax2+bx+c<0的解集为x1<(4)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(×)提示:当a>0时,解集为R;当a<0时,解集为⌀.类型一解一元二次不等式(数学运算)【典例1】(类题·节节高)(1)不等式x2-2x-3>0的解集为_________;

【解析】(1)方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3.函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线,与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0),如图所示.观察图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}.(2)不等式-4x2+4x-1<0的解集为_________;

【解析】(2)原不等式变形为4x2-4x+1>0,因为方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=12.作出函数y=4x2-4x+1的图象如图由图可得原不等式的解集为xx(3)设集合A={x|x2-5x-6<0},则集合A∩Z中有_________个元素.

【解析】(3)由x2-5x-6<0,解得-1<x<6,即A={x|-1<x<6},则A∩Z={0,1,2,3,4,5},故A∩Z共有6个元素.答案:(1){x|x<-1或x>3}(2)xx≠【总结升华】解一元二次不等式的一般方法和步骤【即学即练】1.(多选)下面不等式的解集为R的是()A.x2+x+1≥0 B.x2-25x+5>0C.x2+6x+10>0 D.2x2-3x+4<0【解析】选AC.选项A,Δ=1-4=-3<0,故不等式x2+x+1≥0的解集为R;选项B,Δ=0,故不等式x2-25x+5>0的解集为{x|x≠5};选项C,Δ=62-40=-4<0,故不等式x2+6x+10>0的解集为R;选项D,Δ=(-3)2-4×2×4<0,故不等式2x2-3x+4<0的解集为⌀.2.(2024·自贡高一检测)已知集合A={x|x2-x-6<0},B={-2,0,2},则A∩B=()A.{-2,0} B.{-2,0,2}C.{-2,2} D.{0,2}【解析】选D.不等式x2-x-6<0可化为(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3,所以集合A={x|-2<x<3},所以A∩B={0,2}.3.不等式-x2+6x-10>0的解集为_________.

答案:⌀【解析】原不等式可化为x2-6x+10<0,因为Δ=36-40=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实根,所以原不等式的解集为⌀.类型二简单的分式不等式的解法(数学运算)【典例2】(易错·对对碰)解不等式:(1)2x【解析】(1)2x+11-x<0⇔不等式等价于(x+12)(x-1)>0,解得x>1或x<-1故原不等式的解集为xx(2)x+12【解析】(2)因为x+12x所以-x则(4-x)(2x-3)≤0且2x≠3.所以(x-4)(x-32)≥0且x≠3从而x<32或x≥4故原不等式的解集为xx【总结升华】分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.【即学即练】解不等式:(1)1-【解析】(1)原不等式可化为x-所以(所以-即-53<x≤1故原不等式的解集为x-(2)x-1【解析】(2)原不等式可化为x-所以x-1-(则x<-2.故原不等式的解集为{x|x<-2}.【补偿训练】不等式x2-2答案:{x|x≠-2}【解析】因为x2-2x-2x2即不等式x2-2x-2类型三“三个二次”之间的关系及应用(逻辑推理)【典例3】(1)若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-4<x<3},则有()A.a>0且函数y=ax2-x-c的零点为-4,3B.a>0且函数y=ax2-x-c的零点为3,4C.a<0且函数y=ax2-x-c的零点为-4,3D.a<0且函数y=ax2-x-c的零点为3,4【解析】选C.因为不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-4<x<3},所以-4,3是方程ax2-x-c=0的两个根,即-4,3是函数y=ax2-x-c的零点,所以-4+3=1a,-4×3=-c所以a=-1,c=-12,即a<0.(2)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{xx<-2或x>-12}【解析】由题意,-2,-12是方程ax2+bx+c=0的两个根且a<0,故-2+(-12)=-ba,-2×(-12)=ca,解得a=c,b=52a.所以不等式ax2-bx+c>0,即为2x【总结升华】三个“二次”之间的关系提醒:易因为忽视二次项系数的符号和不等号的方向而写错不等式的解集.【即学即练】1.若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2-x-c的图