人教A版高中数学选择性必修三-7.3.2第2课时-离散型随机变量的方差的综合问题-导学案【含答案】

人教A版高中数学选择性必修三7.3.2第2课时-离散型随机变量的方差的综合问题-导学案学习目标1.掌握离散型随机变量的方差的性质.2.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题．一、方差的性质问题你能推导出Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X))与Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aX＋b))的关系吗？例1已知X的分布列如表所示：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．反思感悟方差性质应用的关注点(1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)优势：既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程．跟踪训练1已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(1,4)，k＝1,2,3,4，则D(2X－1)等于()A.eq\f(5,4)B.eq\f(5,2)C．4D．5二、方差的实际应用例2甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，且X和Y的分布列如下表：X012P0.60.10.3Y012P0.50.30.2根据次品数的均值和方差，试对这两名工人的技术水平进行比较．反思感悟随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．跟踪训练2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为甲保护区：ξ0123P0.30.30.20.2乙保护区：η012P0.10.50.4试评定两个保护区的管理水平．三、决策问题例3某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：工种类别ABC赔付频率eq\f(1,105)eq\f(2,105)eq\f(1,104)已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．(1)求保险公司在该业务中所获利润的均值；(2)现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．反思感悟均值、方差在决策中的作用(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．跟踪训练3某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq\f(7,12)，eq\f(1,6)，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等．(1)求a，b，c的值；(2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．1．知识清单：(1)方差的性质．(2)方差的实际应用．2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：公式计算错误．1．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)等于()A．6B．8C．18D．202．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．0.6和0.7 B．1.7和0.09C．0.3和0.7 D．1.7和0.213．设0＜a＜eq\f(1,2)，随机变量X的分布列是：X－112Peq\f(1,2)－aeq\f(1,2)＋eq\f(a,2)eq\f(a,2)则当D(X)最大时的a的值是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,16)C.eq\f(1,5)D.eq\f(3,25)4．已知随机变量ξ的分布列如下表，D(ξ)表示ξ的方差，则D(2ξ＋1)＝________.ξ012Pa1－2aeq\f(1,4)参考答案与详细解析问题Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aX＋b))＝a2Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X)).例1解(1)由分布列的性质知eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋a＝1，解得a＝eq\f(1,4)，所以X2的分布列为X201Peq\f(1,4)eq\f(3,4)(2)方法一由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,4)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,4)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16).方法二由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4).E(X2)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝eq\f(11,16).(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.跟踪训练1D[∵P(X＝k)＝eq\f(1,4)，k＝1,2,3,4，∴E(X)＝eq\f(1,4)×(1＋2＋3＋4)＝eq\f(5,2)，D(X)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(5,2)))2))＝eq\f(5,4)，∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×eq\f(5,4)＝5.]例2解E(X)＝0.1＋0.6＝0.7，D(X)＝0.72×0.6＋0.32×0.1＋1.32×0.3＝0.294＋0.009＋0.507＝0.81.E(Y)＝0.3＋0.4＝0.7，D(Y)＝0.72×0.5＋0.32×0.3＋1.32×0.2＝0.245＋0.027＋0.338＝0.61.E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，两者的均值相同，但乙的稳定性比甲好，故可认为乙的技术水平更高．跟踪训练2解甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，故乙保护区的管理水平较高．例3解(1)设工种A，B，C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X，Y，Z，则X，Y，Z的分布列分别为X2525－100×104P1－eq\f(1,105)eq\f(1,105)Y2525－100×104P1－eq\f(2,105)eq\f(2,105)Z4040－50×104P1－eq\f(1,104)eq\f(1,104)所以E(X)＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,105)))＋(25－100×104)×eq\f(1,105)＝15(元)，E(Y)＝25×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,105)))＋(25－100×104)×eq\f(2,105)＝5(元)，E(Z)＝40×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,104)))＋(40－50×104)×eq\f(1,104)＝－10(元)，保险公司所获利润的均值为12000×15＋6000×5－2000×10－100000＝90000(元)，所以保险公司在该业务中所获利润的均值为9万元．(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为12000×100×104×eq\f(1,105)＋6000×100×104×eq\f(2,105)＋2000×50×104×eq\f(1,104)＋12×104＝46×104(元)；方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12000×25＋6000×25＋2000×40)×0.7＝37.1×104(元)．因为46×104>37.1×104，所以建议企业选择方案2.跟踪训练3解(1)依题意，得eq\f(7,12)＋eq\f(1,6)＋a＝1，解得a＝eq\f(1,4).设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，则X1和X2的分布列分别为X10.4x－0.2x0Peq\f(7,12)eq\f(1,6)eq\f(1,4)X20.3x－0.1xPbc所以E(X1)＝0.4x×eq\f(7,12)＋(－0.2x)×eq\f(1,6)＋0×eq\f(1,4)＝0.2x，E(X2)＝0.3bx－0.1cx，因为E(X1)＝E(X2)，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2.①又b＋c＝1，②由①②，解得b＝eq\f(3,4)，c＝eq\f(1,4)，所以a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)，c＝eq\f(1,4).(2)选择项目B.理由如下：当投入100万元资金时，由(1)知x＝100，所以E(X1)＝E(X2)＝20，D(X1)＝(40－20)2×eq\f(7,12)＋(－20－20)2×eq\f(1,6)＋(0－20)2×eq\f(1,4)＝600，D(X2)＝(30－20)2×eq\f(3,4)＋(－10－20)2×eq\f(1,4)＝300.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从风险回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B.随堂演练1．C[∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.]2．D[E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1－1.7)2×0.3＋(2－1.7)2×0.7＝0.21.]3．D[根据随机变量的分布列和均值与方差的计算公式，可得E(X)＝－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(a,2)))＋2×eq\f(a,2)＝eq\f(5a,2)，又由E(X2)＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(a,2)))＋22×eq\f(a,2)＝1＋eq\f(3,2)a，可得D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1＋eq\f(3,2)a－eq\f(25a2,4)＝－eq