专题14 直角三角形中的分类讨论模型（原卷版）

专题14直角三角形中的分类讨论模型模型1、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知，两点是定点，找一点构成方法：两线一圆具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）。③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）。例1．（2023秋·重庆·八年级统考期末）已知三角形的两边分别为6和8，当第三边为时，此三角形是直角三角形．例2．（2023秋·浙江八年级课时练习）如图，在中，于点D，平分．若，F为线段上的任意一点，则当为直角三角形时，则的度数为（）A． B． C．或 D．或例3．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使为直角三角形，则点C的个数为（

）A．4 B．6 C．8 D．10例4．（2023·河南新乡·八年级校考期中）平面直角坐标系中有点、，连接AB，以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是．例5．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为．例6.（2023·河南·三模）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=8，AB=CD=17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为．例7.（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在中，，，点D是边上的点，将沿折叠得到，线段与边交于点F．若为直角，则的长是．例8．（2023秋·广西百色·八年级统考期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以αcm/s（α＞0且α≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为秒．(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当α为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？(3)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为等边三角形？例9．（2023秋·浙江杭州·八年级校联考期末）在中，，，点在上（不与点B，C重合）．(1)如图1，点E在上（不与点A，B重合），且．若，求证：；(2)若是直角三角形，求的长．例10．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）如图，已知，，C为y轴上的一个动点，连接，把线段分别绕着点O逆时针方向旋转得到，连接．(1)求证：．(2)当时，求的面积．(3)在点C的运动过程中，是否存在为直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

例11．（2023秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，①则_________；②C，D是正比例函数图像上的两个动点，连接AD，BC，若，则AD的最小值是_______；(2)如图2，一次函数的图像与y轴，x轴分别交于A，B两点．将直线绕点A逆时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式；【模型拓展】(3)如图3，点A在x轴负半轴上，，过点A作轴交直线于点B，P是直线上的动点，Q是y轴上的动点，若是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

课后专项训练1．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期中）在直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上确定点，使得为直角三角形，则符合条件的点的个数共有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2023春·广东广州·八年级校考期末）如图，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2023秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，．点E为射线上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，则的长为（

）A．2或18 B．3或18 C．3或2 D．2或84．（2023秋·重庆·八年级课堂例题）已知点A和点，以点A和点为两个顶点作等腰直角三角形，一共可以作出个．5．（2022·浙江·诸暨市八年级期中）如图∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝6，动点C从点A出发，以每秒1个单位沿射线AN运动，当运动时间t是_______秒时，△ABC是直角三角形．6．（2022·上海普陀·八年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______．7．（2022·河南南阳·二模）如图，在的纸片中，，，．点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点．若为直角三角形，则的长是_______．8．（2022·江西萍乡·二模）如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为____．9．（2022·广东·九年级课时练习）如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点P是边AD上的动点，沿直线PE将△APE对折，点A落在点F处.已知AB=6，AD=4，连结CF、CE，当△CEF恰为直角三角形时，AP的长度等于___________.10．（2023·山东·八年级课时练习）如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________．11.（2023·广东广州·八年级阶段练习）在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图，在中，，，若过顶点的一条直线交于点，且，则直线是的关于点的二分割线．如图，已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线，则的度数为______．12．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，，D是边上的一个动点，点E与点A关于直线对称，

（1）的面积=．（2）当为直角三角形时，则的长为

．13．（2023春·广东·八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=4，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交边BC于点F，若△CB′F为直角三角形，则CB′的长为．14．（2022秋·四川成都·八年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为时，△CEB′恰好为直角三角形．15．（2023春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在中，已知，，．，在直线上．现将在直线上进行平移，当为直角三角形时，的长为．16．（2023春·河北张家口·八年级统考期末）如图，在中，，，，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在边上匀速运动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．（1）当时，为等腰三角形；（2）当时，为直角三角形．

17．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时，．18．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则度．19．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系．(1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______），

B（______，______）；(2)请在网格中找到点C，连接，，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______；(3)如图