2024-2025学年浙江省杭州市高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省杭州市高级中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线x24−yA.(±5,0) B.(±13,0) C.(

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若anA.54 B.58 C.743.两条平行直线3x−4y−2=0与6x−8y+1=0间的距离为(

)A.35 B.1 C.310 4.圆C：x2+y2=4关于直线l：A.(x−1)2+(y−1)2=4 B.(x+15.假设P(A)=0.3，P(B)=0.4，且A与B相互独立，则P(A∪B)=(

)A.0.12 B.0.58 C.0.7 D.0.886.已知空间向量AB=(0,1,0)，AC=(−1,1,−1)，则B点到直线AC的距离为(

)A.63 B.33 C.7.设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若−A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列

C.数列{8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线l，垂足为M，若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点A.32 B.33 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知点P(−2,−4)和⊙Q：x2+(y+2)2=4，过P点的两条直线分别与⊙Q相切于A，B两点A.|PA|=2

B.|AB|=2

C.P、A、Q、B均在圆(x+1)2+(y+3)2=2上

10.设F是抛物线C：y2=4x的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(

)A.|AB|≥4

B.|OA|+|OB|>8

C.若点P(4,1)，则|PA|+|AF|的最小值是5

D.若AB倾斜角为π3，且|AF|>|BF|，则11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，A.当P在平面BCC1B1上运动时，三棱锥P−AA1D的体积为定值

B.当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π6,π2]

C.当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为π+42

D.12.学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分(单位：分)分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75%分位数为______．13.数列{n⋅2n}的前14.在平面直角坐标系xOy中，P为椭圆C：x2+y23=1上的动点，Q为直线l：x+y−4=0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，PA⊥面ABCD，E，F分别为PA，AB的中点，直线AC与DF相交于O点．

(1)求B到平面DEF的距离；

(2)求直线PC与平面DEF所成角的正弦值．16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a⋅cosB−c+a=0．

(1)证明：B=2A；

(2)若sinA=13，b=417.(本小题15分)

如图，已知点P(2,2)是焦点为F的抛物线C：y2=2px上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为k(1≤k≤2)．

(1)求证：直线AB的斜率为定值；

(2)设焦点F到直线AB的距离为d，求d的取值范围．18.(本小题17分)

已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn=an−301,n为奇数2an,n为偶数，b4=32，S5=20．

(1)求{an}的通项公式．

(2)记Tn19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22.直线l1经过点A(−6,0)和椭圆C的上顶点，其斜率为33．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l2：y=x+t与椭圆C交于P、Q两点，直线AP

参考答案1.D

2.C

3.D

4.A

5.B

6.A

7.D

8.D

9.ACD

10.ACD

11.ACD

12.8.5

13.(n−1)⋅14.315.解：(1)根据题意，建系如图，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，

F(1,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，

∴FB=(1,0,0)，DE=(0,−2,1)，EF=(1,0,−1)，PC=(2,2,−2)，

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅DE=−2y+z=0n⋅EF=x−z=0，取n=(2,1,2)，

∴B到平面DEF的距离为：|FB⋅n16.(1)证明：由2a⋅cosB−c+a=0，可得2sinA⋅cosB−sinC+sinA=0，

即2sinA⋅cosB−sin(A+B)+sinA=0，

化简得sinA=sin(B−A)，

因为A，B为△ABC的内角，所以有A=B−A，得B=2A；

(2)解：由(1)知道A为锐角，由sinA=13，得cosA=223，

所以sinB=2sinA⋅cosA=417.(1)证明：将点P(2,2)代入抛物线方程可得：p=1，所以抛物线C：y2=2x；……………1分

直线AB的斜率是定值，理由如下：

设PA：y−2=k(x−2)(1≤k≤2)，

与抛物线方程联立可得：ky2−2y+4−4k=0，

∴yAyP=4−4kk⇒yA=2−2kk，

∵直线PA，PB的倾斜角互补，用−k代k可得：yB=−2+2kk，

因此kAB=yA−yBxA−xB=yA−yByA18.解：(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn=an−301,n为奇数2an,n为偶数，b4=32，S5=20．

设数列{an}的公差为d，

依题意，5(a1+a5)2=202a4=32=25，即a3=a1+2d=4a4=a1+3d=5，解得a1=2d=1，

由等差数列的通项公式可得an=2+(n−1)=n+1．

(2)(i)由19.