等比数列的前n项和公式课件-高二下学期数学北师大版选择性

3.2等比数列的前n项和公式2025/3/78:46邹文婷学数学逆天改命！2025/3/78:461.等比数列定义：2.等比数列通项公式：

3.等比中项4.等差数列的前n项和公式那么等比数列的前n项和公式又会是怎样的？复习回顾国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。情境导入你想得到什么样的赏赐？陛下赏小人几粒麦子就搞定.OK第一格放1粒麦子，以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍，直到第64个格子西萨国王情境导入

问题2：国王答应奖赏给发明者西萨的总麦粒数用式子怎么表示？

探究新知

探究新知可将两式相减，消去这些相同项，得

等式两边乘上的2是此数列的什么？反思：纵观全过程，式子两边为什么要乘以2？乘以3会有同样的效果吗？探究新知

新知探究

①②1-q是否为零？讨论公比q是否为1①×q

得探究新知①-②错位相减法证明：首项末项公比前n项和项数注意

(3)步骤:乘公比，错位写，对位减.生成概念等比数列前n项和公式等比数列求和公式

首项公比项数末项

知三求二

生成概念问题3：回归故事情境，到底要多少粒麦粒？

1000粒麦子的质量约为40g发明者要求的麦粒的总质量超过了7000亿吨

是2023~2024年世界小麦年产量（7亿多吨）的981倍，按每年7亿吨计算都要用1000多年才能满足西萨的要求；如果按人均每天吃______粮食计算,此棋盘上的粮食可供全世界_____亿人吃上约_____年.1千克80240所以国王兑现不了他的承诺.就算国王凑齐了小麦，这些小麦可以从地球到太阳累积成一个长10米、宽8米的“巨柱”.粮食凑不齐棋盘不够大指数爆炸式增长的“威力”！不贪小利，目光长远；学好数学，理性思考！回归情境

例题解析

C

当堂练习3.已知数列{an}是等比数列.

方程思想，知三求二典例分析3.已知数列{an}是等比数列.典例分析3.已知数列{an}是等比数列.典例分析

在等比数列{an}中．(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；大本例1当堂练习(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q；(4)(2024·北京顺义高二期中)若S3＋S6＝S9，求其公比q.法二：由a4＋a6＝(a1＋a3)q3，又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，当堂练习(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q；解：因为a2an－1＝a1an＝128，且a1＋an＝66，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根．当堂练习(4)(2024·北京顺义高二期中)若S3＋S6＝S9，求其公比q.解：若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，显然满足S3＋S6＝S9，所以q＝1符合题意；整理得(q6－1)(q3－1)＝0，解得q＝－1(q＝1舍去)．综上，公比q的值等于1或－1.当堂练习

变式探究(变条件)本例(4)中，若将条件改为”数列{an}是等比数列，且S3＝3a3“，求其公比q的值．解：法一：当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题意；所以1－q3＝3q2(1－q)，法二：由S3＝3a3可知a1＋a2＋a3＝3a3，即a1＋a1q－2a1q2＝0.当堂练习规律方法等比数列前n项和运算的技巧1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．2．对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，

都可以看作一个整体．注意：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．√√当堂练习问题导思新知构建A(qn－1)na1等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数．微提醒(一题多解)数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列．解：法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．例2由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列．法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，1≠2，故{an}不是等比数列．变式探究1．(变条件，变设问)若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝___.因为Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，所以3－2k＝0，即k＝

.2．(变条件，变设问)若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为规律方法1．已知Sn，通过an＝

求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，需验证当n＝1时是否满足此式．2．若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．对点练2.若数列{an}的前n项和Sn＝tn－1(t∈R)，则此数列是A．等差数列

B．等比数列C．等差数列或等比数列

D．以上说法均不对√当n＝1时，a1＝S1＝t－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝tn－1(t－1)，当t＝1时，an＝0，所以{an}是等差数列；当t＝0时，{an}为非等差数列，非等比数列；当t≠1，且t≠0时，an＝tn－1(t－1)，所以{an}是等比数列．故选D.当堂练习应用一利用an与Sn的关系判断等比数列例3(－2)n－1典例讲解规律方法解决Sn和an的关系的方法对点练3.(多选题)(2024·江苏镇江高二期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an＋1(n∈N