湖南省岳阳市临湘市2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题【含答案解析】

2025年临湘市高二下学期数学入学考试试卷一、单选题（每小题5分，共8小题，总分40分）1.若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（）A.33 B.31 C.39 D.27【答案】A【解析】【分析】对运动方程求导，得到导函数，导函数中代入时间数据，即得到物体的瞬时速度.【详解】由已知可得，所以，所以时物体的瞬时速度是.故选：.2.已知等差数列项数为，若该数列前3项的和为3，最后三项的和为63，所有项的和为110，则n的值为（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解.【详解】设这个数列有n项，则，，因此，即，则，解得故选：A3.已知倾斜角为的直线过，两点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由斜率公式与斜率定义求解即可【详解】由题意知，即．故选A．4.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：由题意得方程，得或，且，所以方程所表示曲线为选项D，故选D．考点：曲线与方程．5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（）A.24294 B.24296 C.24298 D.24300【答案】C【解析】【分析】由题意可得数列为等差数列，则得到其通项公式，代入计算即可.【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成首项为，公差为的等差数列，所以，则.故选：C.6.已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意结合点到面的距离公式运算求解.【详解】由题意可得：，平面的法向量为，所以点到平面距离为.故选：A.7.已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为（）A.3 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】通过直线l过定点A，得到P在以AF为直径的圆上，将Q到P的距离转化为到圆心的距离，再结合抛物线的定义即可求出的最小值.【详解】因为直线，即，过定点，记作点A，因为，垂足为，所以，又，故点P的轨迹为以为直径的圆，半径，圆心为，记作点B，又因为Q在抛物线上，其准线为，所以等于Q到准线的距离，过点Q做准线的垂线，垂足为R，要使取到最小，即最小，此时，三点共线，且三点连线后直线过圆心B，如图所示，此时.8.设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2024项之和为（）A.4050 B.4049 C.4048 D.4047【答案】B【解析】【分析】变形得到，从而为等差数列，得到，累加法得到，从而，得到，当时，，故，从而求出答案.【详解】，故为公差为2的等差数列，首项为，所以，则，故，故，当时，，故，所以数列的前2024项之和为.故选：B二、多选题（每小题5分，共4小题，总分20分）9.已知数列，则下列说法正确的是（）A.此数列的通项公式是B.是它的第23项C.此数列的通项公式是D.是它的第25项【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件求得数列通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】数列，所以，A选项正确，C选项错误.，B选项正确，，D选项错误.故选：AB10.设，过定点的动直线，和过定点的动直线交于点是圆上的任意一点，则下列说法正确的有（）A.直线与圆相切时B.到距离的最大值是C.直线与圆相交的最短弦长为D.的最大值为【答案】BC【解析】【分析】根据时直线也与圆相切，可判断A选项；根据几何知识得到当时到的距离最大，然后求最大值，可判断B选项；根据几何知识得到当时所得弦长最短，然后得到此时的直线的方程，最后求弦长，可判断C选项；根据几何知识得到点的轨迹，然后利用三角函数或不等式的方法求最值，可判断D选项.【详解】显然当时直线也与圆相切，故错误；直线过的定点为，当时到的距离最大，最大值为，此时到距离的最大值为，故B正确；由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，当时所得弦长最短，则，又，所以，得，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故正确；由，当时，，有，当时，，则，所以，又点是两直线的交点，所以，所以，法一：设，则，因为，所以，所以，故D错误.法二：因为，所以，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：BC.11.设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（）A. B.的取值范围是C.的最大值为 D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】利用等差数列的求和公式推导出、，结合不等式的基本性质可判断A选项；根据A选项可得出关于的不等式组，解出的范围，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；分析数列的单调性，可判断D选项.【详解】等差数列的公差为，前项和为，，，，对于A选项，，可得，，可得，则，A对；对于B选项，，解得，，解得，因此，的取值范围是，B错；对于C选项，因为，所以，数列为单调递减数列，且，当且时，，当且时，，所以，的最大值为，C错；对于D选项，因为数列为单调递减数列，且当且时，，此时，，则，当且时，，此时，数列单调递减，当且时，，此时，，当且时，，此时，，所以，要考虑的最小值，只需考虑即可，当时，，即，此时数列单调递增，所以，的最小值为，D对.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题D选项要考查的最小值，最好是确定的符号，锁定取负值时的取值，再结合数列的单调性分析即可.12.如图，在平行六面体中，底面为正方形，平面平面，是边长为2的等边三角形，分别是线段，的中点，则（）A. B.平面C.与所成角的余弦值为 D.与平面所成角的正弦值为【答案】ABD【解析】【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，利用向量法对选项A、C和D逐一分析判断即可得出结果，对于选项B，通过条件得到，再利用线面平行的判定定理即可得出结果.【详解】如图，取中点，中点，连接，因为是边长为2的等边三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，易知，故可建立如图所示的空间直角坐系，又棱长均为，，则，所以，又，所以，对于选项A，因为，得，所以，即有，故选项A正确，对于选项B，因为是线段的中点，又是与的交点，则为的中点，所以，又面，面，所以平面，故选项B正确，对于选项C，因为，，设与所成的角为，则，故选项C错误，对于选项D，易知平面的一个法向量为，又，设与平面所成的角为，则，故选项D正确，故选：ABD.三、填空题（每小题5分，共4小题，总分20分）13.已知函数是定义在R上的函数，，且曲线在点处的切线斜率为，则_________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义有，即可求参数a的值.【详解】因为，根据题意有，解得.故答案为：14.已知等差数列的前项和为，且，，则______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】先确定公差，再利用等差数列性质求，最后得到.【详解】由于，.故的公差满足从而，得，所以，得.这意味着，所以.从而，代入得.故答案为：；15.在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】根据光学性质可得，进而根据可得，故，结合双曲线的定义，以及相似即可求解.【详解】过点作于点，延长交的延长线于点，设上有一点，由题意可得，，又，所以，所以，故，由双曲线定义可得，故，因为，，所以，故，故离心率为，故答案为：.16.双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于，两点，点在轴上，，平分，则的渐近线方程为______．【答案】．【解析】【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，进一步判断是等边三角形，在中利用余弦定理可得，即可得出关系，继而得出关系，求出渐近线方程.【详解】根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，，由，∴∽，∴，设，则，∵平分，∴，∴，，，由双曲线的定义知，，∴，即①，，∴，∴，即是等边三角形，∴，在中，由余弦定理知，，即，化简得，②，由①②可得，，则，可得双曲线的渐近线方程为．故答案为：．【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的渐近线的求解，解题的关键是利用已知结合双曲线的定义求出关系.四、解答题（共5小题，总分70分）17.设数列为等差数列，其公差为d，前n项和为．（1）已知，，求及d；（2）已知，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.【小问1详解】解得：【小问2详解】解得：18.已知直线，圆的圆心在轴正半轴上，且圆与和轴均相切.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于，两点，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题目条件求出圆心和半径，写出圆方程；（2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长可得答案.【小问1详解】设圆心为，半径为,则由题意得，故该圆的方程为.【小问2详解】圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得.19.已知数列的前n项和为，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的前n项和；（3）是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式，结合及等比数列定义推理即得.（2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和即可.（3）由（1）求出，由已知建立等式，验证计算出，再分析求解即可.【小问1详解】，，当时，，两式相减得，即，则有，当时，，则，即，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）得，，则，数列是等差数列，于是，解得，则，所以的前项和.【小问3详解】由（1）知，，由成等差数列，得，整理得，由，得，又，，不等式成立，因此，即，令，则,从而，显然，即，所以存在，使得成等差数列.【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．20.已知数列的首项为，且满足（1）求证为等差数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义分析怎么，再根据等差数列通项公式求；（2）分类讨论n的奇偶性，利用并项求和法运算求解.【小问1详解】因为，且，可知，可得，即，可知数列是以首项为，公差为4的等差数列，可得，所以.【小问2详解】由（1）可知：，若n为偶数，则；若n为奇数，则；综上所述：.21.设分别是椭圆的左、右焦点．（1）若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标；（2）设过定点的直线l与椭圆