2022年中考数学试题分项汇编：解直角三角形（第1期）原卷版

专题16解直角三角形

・选择题

1.（2022•天津）tan45。的值等于（

2.（2022•四川乐山）如图，在心AABC中，ZC=90°,BC=布,点。是AC上一点，连接BD.若tanNA=,

tanZABO=1,则CD的长为（）

3.（2022•浙江杭州）如图，己知AABC内接于半径为1的。O,NBAC=i7（B是锐角），则AABC的面积的最

大值为（）

A.cos9（l+cos6）B.cos6*（1+sinc.sin^（1+sinD.sin6*（1+cos0）

4.（2022•云南）如图，己知AB是。。的直径，C。是。。的弦，ABI3CD.垂足为E.若AB=26,CD=24,则

/OCE的余弦值为（）

5.（2022•陕西）如图，A。是AABC的高，若3D=2CD=6,tan/C=2,则边A2的长为（）

A

c.3币D.6正

6.（2022•浙江金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知3C=6m,ZABC=a,则房

顶A离地面所的高度为（）

E

4+工4+工

A.(4+3sina)mB.(4+3tana)mc.mD.m

sinatana

7.（2022・浙江丽水）如图，已知菱形AfiCD的边长为4,E是的中点，AF平分NE4。交8于点F,FG//AD

交AE于点G,若能三，则尸G的长是（）

82后5

A.3B.一rD.-

332

8.（2022・四川广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，4B、C,。都在格点处，AB

与CD相交于点P,则cosZAPC的值为（）

2

B.亭C.一

5

9.（2022•湖北随州）如图，已知点B,D,C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物的顶端A的仰角

为a,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为6,CD=a,则建筑物AB的高度为（)

aaatanatanBatanfztan/?

A.---------------B.——----------C.--------------xD.-------------

tana-tanptanp-tanatana-tanptan夕-tana

二.填空题

10.（2022•山东泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角NZ）PC=30。，已知窗户的

高度AF=2m,窗台的高度CF=lm,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m,则CP的长度为（结果精确

到0.1m）.

11.（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A,B,C及NDPF的一边上的点E,

F均在格点上.

（I）线段跳■的长等于;

（11）若点乂，N分别在射线RD,尸尸上，满足NM3N=90。且8〃=加.请用不刻序的直尺，在如图所示

的网格中，画出点/W,N,并简要说明点M,N的位置是如何找到的（不要求证明）.

12.（2022•江苏扬州）在AABC中，ZC=90°,a,b、c分别为NA、NB、NC的对边，若贝UsinA的

值为.

13.（2022•湖南衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，

寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的

高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，AE=10m,ZBDG=30°,NBFG=60。.已知测角仪的

高度为1.5m,则大雁雕塑3C的高度约为m.（结果精确到0.1m.参考数据：73®1.732）

14.（2022•浙江嘉兴）如图，在AABC中，ZABC=90°,ZA=60Q,直尺的一边与BC重合，另一边分别交

AB,AC于点。，E.点B,C,D,E处的读数分别为15,12,0,1,则直尺宽BD的长为.

15.（2022•浙江绍兴）如图，AB=10,点C在射线上的动点，连接AC,作CDLAC,CD=AC,动

点E在A8延长线上，tanZ2BE=3,连接CE,DE,当CE=DE,CELDE时，BE的长是.

16.（2022•山东泰安）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔A3的高度,

他从古塔底部点处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点。处，在

点。处测得塔顶A的仰角为30。，已知斜坡的斜面坡度i=1:石，且点4B,C,D,在同一平面内，小明

同学测得古塔A3的高度是一

17.（2022•江苏连云港）如图，在6x6正方形网格中，AABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正

方形边的中点，则sinA=

18.（2022・四川凉山）如图，C。是平面镜，光线从八点出发经C。上点。反射后照射到B点，若入射角为a,

反射角为B（反射角等于入射角），AC_LCD于点C,BD_LC。于点。，且AC=3,BD=6,CD=12,贝l|tana

的值为_______

19.（2022•四川凉山）如图，在边长为1的正方形网格中，。。是AABC的外接圆，点A,B,。在格点上,

则cosZACB的值是

20.（2022•山东滨州）itRtAABCZC=90°,AC=5,BC=12,则sinA=.

2L（2022•湖北黄冈）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物。点的俯角a为45。，C

点的俯角夕为58。，BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度C。为6%,则甲建筑物的高度A8为

m.（sin58°»0.85,cos58°«0.53,tan58°»1.60,结果保留整数）.

22.（2022・四川广元）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45。角的直角三角板COE的斜边0E靠

在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE=12cm.当点。沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿

射线AF方向滑动.当点。滑动到点A时，点C运动的路径长为cm.

23.（2022•湖北宜昌）如图，C岛在A岛的北偏东50。方向，C岛在2岛的北偏西35。方向，则ZACB的大

小是_____

北

北

B

A

三.解答题

24.（2022•江苏宿迁）如图，某学习小组在教学楼A3的顶部观测信号塔C£＞底部的俯角为30。，信号塔顶部

的仰角为45。.已知教学楼A3的高度为20m,求信号塔的高度（计算结果保冒根号）.

25.（2022•天津）如图，某座山A3的项部有一座通讯塔8C,且点A,B,C在同一条直线上，从地面P处

测得塔顶C的仰角为42。，测得塔底B的仰角为35。.己知通讯塔2C的高度为32m,求这座山A2的高度（结

果取整数）.参考数据：tan35°a0.70,tan42。。0.90.

26.（2022•浙江湖州）如图，已知在R3ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sinA的值.

B

AC

27.（2022•新疆）周米，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度.小希站在

自家阳台上，看对面一栋楼顶部的仰角为45。，看这栋楼底部的俯角为37。，已知两楼之间的水平距离为30m,

求这栋楼的高度.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75）

28.（2022,湖南邵阳）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北

偏东60。方向上，继续航行lh到达8处，这时测得灯塔C在北偏东45。方向上，已知在灯塔C的四周40km内

有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由.（提示：无=1.414,1.732）

29.（2022・湖南怀化）某地修建了一座以"讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念

园.如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60。方向上，C村在B村的正东方向且两村相距

2.4千米.有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念园？试通

过计算加以说明.（参考数据：73=1.73,72=1.41）

A

30.（2022•四川成都）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日"，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角

大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图，当张角NAO3=150。时，顶部边

缘A处离桌面的高度AC的长为10cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究，最后

联系黄金比知识，发现当张角NA，08=108。时（点A是A的对应点），用眼舒适度较为理想.求此时顶部边

缘A处离桌面的高度AA的长.（结果精确到1cm；参考数据：sin72°»0.95,cos720~0.31,tan720~3.08）

3L（2022•四川泸州）如图，海中有两小岛C,D,某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D

位于南偏东30。方向，且4。相距10nmile.该渔船自西向东航行一段时间后到达点B,此时测得小岛C

位于西北方向且与点B相距8万nmile.求B,D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）.

32.（2022•浙江台州）如图1,梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2,梯子与地面所成的角a为75。,

梯子长3m,求梯子顶部离地竖直高度BC.（结果精确到0.1m；参考数据：sin75%0.97,cos75%0.26,

tan75°=3.73)

33.（2022•湖南湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片.某

中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了

中截面如图所示的伞骨结构（其中7^20.618）：伞柄始终平分ZBAC,AB=AC=20cm,当

AH

ZBAC=120。时，伞完全打开，此时NBDC=9O。.请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考

数据：73®1.732)

34.（2022•湖南常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得

了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢

大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图是其示意

图，已知：助滑坡道A尸=50米，弧形跳台的跨度尸G=7米，顶端E到3。的距离为40米，HG//BC,

/AFH=40。，NEFG=25。,ZECB=36°.求此大跳台最高点A距地面8。的距离是多少米（结果保留整

数）.（参考数据:sin40°»0.64,cos40°»0.77,tan40°»0.84,sin250-0.42,cos250-0.91,tan250-0.47,

sin36°«0.59,cos36°«0.81,tan36°«0.73)

35.（2022•湖北宜昌）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角

a一般要满足53。Wa（72。.如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上.

⑴当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值；

⑵当梯子底端8距离墙面1.64m时，计算ZA5O等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？

（参考数据：sin53°®0.80,cos53°®0.60,tan53°«1.33,sin72°®0.95,COS72°®0.31,tan72°»3.08,

sin66°~0.91,cos66°®0.41,tan66°«2.25)

36.（2022•湖南株洲I）如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再

从点C处沿线段至山坡②的山顶点8处.如图2所示，将直线/视为水平面，山坡①的坡角ZACM=30°,

其高度4〃为0.6千米，山坡②的坡度i=BNL/干N,且CN=V^千米.

⑴求ZACB的度数；

⑵求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.

37.（2022•甘肃武威）浦陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因"渭水

绕长安，绕浦陵，为玉石栏杆浦陵桥"之语，得名浦陵桥（图1）,该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥.某

综合实践研究小组开展了测量汛期某天"潘陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：

方案设计：如图2,点C为桥拱梁顶部（最高点），在地面上选取A,B两处分别测得NCAF和NCBF的度数

（A,B,D,F在同一条直线上），河边。处测得地面A。到水面EG的距离OE（C,F,G在同一条直线上,

DF//EG,CG±AF,FG=DE）.

数据收集：实地测量地面上A,B两点的距离为8.8m,地面到水面的距离DE=1.5m,ZCAF=26.6a,ZCBF=35a.

问题解决：求濡陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG（结果保留一位小数）.

参考数据：sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50,sin350=0.57,cos35°=0.82,tan35°=0.70.

根据上述方案及数据，请你完成求解过程.

图2

图1

38.（2022•江西）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB〃CD〃FG,A,

D,H,G四点在同一直线上，测得/EEC=NA=72.9。,AD=1.6g跖=6.2m.（结果保留小数点后一位）

图1图2

⑴求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到A3的距离）.（参考数据:

sin72.9°®0.96,cos72.9°-0.29,tan72.9°-3.25）

39.（2022•浙江宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，

某消防大队进行了消防演习.如图1，架在消防车上的云梯4B可伸缩（最长可伸至20m）,且可绕点B转

动，其底部B离地面的距离BC为2m,当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离B。

为9m.⑴若/ABD=53。，求此时云梯AB的长.⑵如图2,若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，

请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由.（参考数据：sin53^0.8,cos53%0.6,

tan53°=1.3)

图1

40.（2022•四川自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:

图③图④

⑴探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心。处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、

量角器90。刻度线GW与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点。转动量角器，使观测目标尸与直径两端点A,8

共线（如图②），此目标P的仰角NPOC=NGON.请说明两个角相等的理由.

⑵实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角

NPOQ=60。，观测点与树的距离为5米，点。到地面的距离OK为1.5米；求树高P4.（括‘1.73,

结果精确到0.1米）

⑶拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度尸〃（如图④），同学们讨论，决定先

在水平地面上选取观测点及尸（在同一直线上），分别测得点尸的仰角名夕，再测得瓦尸间的距离加,

点a，a到地面的距离。瓦。/均为1.5米；求PH（用相表示）.

4L（2022•浙江绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括

一根直立的标竿（称为"表"）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为"圭"），当正午太

阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一

天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭3C,已知该市冬至正午

太阳高度角（即NABC）为37。，夏至正午太阳高度角（即/AOC）为84。，圭面上冬至线与夏至线之间的距

离（即D3的长）为4米.⑴求NBA。的度数.（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）.（参考数据：sin370=

34319、

—,cos37°s;—,tan37'一,tan84°~—)

5542

图1

42.（2022•浙江金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2,£尸为吸热塔，在地平线EG上的点B,9处

各安装定日镜（介绍见图3）.绕各中心点（AA）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热

器点F处.已知A8=A0=lm,£B=8m,EB'=86m,在点A观测点F的仰角为45。.

定日镜

由支架、平面镜等组成，

支架与镜面交点为中心点,

支架与地平线垂直.

中心%/平面镜

个支架

----1——地平线

图1图3

(1)点F的高度所为m.

(2)设ZDAB=a,/r>'A'B'=/?,则a与夕的数量关系是

43.（2022・重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量，点C

在点A的正东方向，AC=200米.点E在点A的正北方向.点3,D在点C的正北方向，3。=100米.点

B在点A的北偏东30。，点。在点E的北偏东45°.

⑴求步道近的长度（精确到个位）;

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请

计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：V2-1.414,若。1.732）

44.（2022•江苏连云港）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔一一阿育王塔，是苏北地区现存最高和

最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰

角/C4E=45。，再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角NCBE=53。，AB=10m；小亮在

点G处竖立标杆尸G，小亮的所在位置点。、标杆顶八最高点C在一条直线上，FG=1.5m,GD=2m.（注：

结果精确到0.01m,参考数据：sin53°«0.799,cos53°»0.602,tan53°»1.327）

ALBEGD

⑴求阿育王塔的高度CE；

（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED.

45.（2022•浙江嘉兴）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1,纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形,

其示意图如图2.己知A£>=8E=10cm,CD=CE=5cm,ADLCD,BE±CE,ZDCE=40°.（结果精确

至0.1cm,参考数据：sin20°〜0.34,cos200工0.94,tan200工0.36,sin40°»0.64,cos40°«0.77,

tan40°®0.84）

图1图2

⑴连结DE,求线段DE的长.（2）求点A,B之间的距离.

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