2024-2025学年北京市某中学高三年级上册12月诊断数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市十一学校高三（上）诊断数学试卷（12月份）

一,选择题（共10小题，每题4分，共0分）

1.（4分）若两条直线"+2y=0与x+（a+3）y+4=0垂直,则实数a的值为（）

A.-1B.-2C.1D.2

2.（4分）已知集合庆={x|24x<4},B={y|y=Vx,x£A},下列说法正确的是（）

A.BQAB.AAB=0C.A^BD.AUB=A

3.（4分）设{珈}是各项均为正数的等比数列，甑为其前n项和.已知破=4,53=14,若存在使得

a-a?，a?，…，a%的乘积最大，则以=（）

A.8B.6C.4D.2

4.（4分）下列结论正确的是（）

A.若尤>0,则2

x+l^

B.若则ac>bd

C.y=_7l-+sinx在（°中）的最小值为侦

sinx

D.若则ac>bc

5.（4分）要得到函数y=&sin3x的图象，只需将函数y=sin3x-cos3x的图象（）

A.向左平移2L个单位长度

4

B.向右平移2L个单位长度

4

C.向左平移工个单位长度

12

D.向右平移2L个单位长度

12

6.（4分）己知奇函数y=/（x）在R上单调递增，则了（尤1）V（X2）>0”是“月+眼>0”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

7.（4分）已知直线"+y-1=0与圆C：（x-1）2+（y+a）2=1相交于两点，且AABC为等腰直角三

角形（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

8.（4分）若圆O：x2+y2=l上存在点P,直线/：y=k（x+2）上存在点。而=而，则实数k的取值范围为

（）

A.[-'./3，V3]B.L返注C.｛-V3，V3｝D-｛-叵返｝

3333

s

9.（4分）已知｛即｝是各项均不为零的等差数列©VO,公差d>O,S〃是｛〃〃｝的前n项和，设二」1,则数列｛加｝

bn

（）

A.有最大项，无最小项B.有最小项，无最大项

C.有最大项和最小项D.无最大项和最小项

10.（4分）在棱长为2的正方体ABC。-ALBCLDI中，点瓦尸分别为棱AO1的中点.点尸为正方体表面上

的动点，满足给出下列四个结论，不正确的是（）

B.存在点P,使得A1PL平面4OF

C.存在点P,使得DP〃EF

D.存在点P,使得81P=。尸

二,填空题（共5小题，每题5分，共25分）

22

H.（5分）双曲线―-工_=1的渐近线方程是

94

12.（10分）已知抛物线丁=8尤的焦点为£点加在抛物线上.若|MR=6,则点M的横坐标为,△

OMF的面积为__________________

13.（5分）若点A（cos0,sin8）关于直线>=无对称点为B（cos（8*），sin（8*）），写出。的一

个取值为_______________________

14.（10分）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体.如图,

已知一个阿基米德多面体的所有顶点均是某个正方体各条棱的中点,则该阿基米德多面体的体积

为,MN是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，点尸是该多面体表

面上异于则诬•诬的最大值为

15.(5分)已知曲线W：•/+/=%(w>0)，给出下列四个命题：

①曲线W关于x轴,y轴和原点对称.

②当机=2时，曲线W上及围成的区域内部共有9个整点(即横，纵坐标均为整数的点).

③当777=1时，曲线W围成的区域面积大于TT.

④当机=4时，曲线W围成的区域内(含边界)两点之间的距离的最大值是4.

其中所有真命题的序号是.

三,解答题(共6道解答题，共85分)

16.已知函数/(x)=2sin(TI-x)cosx,g(x)=cos⑵口

(1)求/(x)的最小正周期及f(9)的值.

(2)直线x=t(tE[0,£])与函数/(x),g(x)的图象分别交于M,求他见的最大值.

17.iSAABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b2A-sin2B=sin2C-ZsinBsinC.

3

(I)求cosA的值.

(II)若cosB=1_AABC的周长为2+2«,求△ABC的面积.

3

18.如图,四棱锥P-ABCD^,PA=PD=AD=CD=2,AD//BC,ZDAB=90°

(I)证明：PCLAD.

(II)从下面条件①，条件②，条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.

条件①：PB±AD.

条件②：PC=如.

条件③：二面角P-AD-B的大小为60°.在棱PB上是否存在点G(不与端点重合)，使得直线CG

与平面所成的角的正弦值为叵？若存在，求理，若不存在，说明理由.

7PB

(注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.)

p

22

19.已知椭圆C：(a>b>0)的右顶点A(2,0)，焦距为2a.

(I)求椭圆C的方程及离心率.

(II)设不经过右顶点的直线/：y=kx+m交椭圆C于两点尸,。,过点P作x轴的垂线交直线AB于点D,

交直线AQ于E,求证：直线/经过定点.

20.已知函数/(x)=(A-1)加c+1,其中aeR

x

(I)若函数/(无)在x=l处的切线与y=x+2平行.

(z)求a的值.

(n)证明：函数/(x)在定义域上恰有两个不同的零点.

(II)设函数g(无)="-尤(/(x)+lnx-1)在区间(0,一。)上存在极值,求证：a}+e~a>a+1.

21.已知n项数列An-ai,a2；-,an(n^3)，满足有a¥aj.对于变换T满足Vie{1,2,…川，有T(adG.[ai,a2,

二斯}，且V迸/有7(山)WT(勾)，称数列T(A„)：T(ai),7(42),…,T(斯)是数列4的一个排列.V正{1,2,

…川，记T(a.)=T1(a•)7”(由)=7(必(。))(“eN+)，如果上是满足7*(山)=a”+i"•的最小正整

数,称数列An存在k阶逆序排列，称T是4的上阶逆序变换.

(1)已矢口数歹!J&4：1,2,3,4,数歹!]7(44)：3,1,4,2,求产(4)7(4).

(2)证明：对于4项数列4,不存在3阶逆序变换.

(3)若“项数列An存在3阶逆序变换，求n的最小值.

2024-2025学年北京市十一学校高三（上）诊断数学试卷（12月份）

参考答案与试卷解析

题号12345678910

答案BBADCCDBBC

一,选择题（共10小题，每题4分，共0分）

1.（4分）若两条直线办+2y=0与x+（a+3）y+4=0垂直,则实数a的值为（）

A.-1B.-2C.1D.2

【分析】由已知结合直线垂直的关系即可求解.

【解答】解：若两条直线ar+2y=0与x+（a+7）y+4=0垂直.

贝!]a+3（a+3）=0,即a=-2.

故选：B.

【点评】本题主要考查了直线垂直的斜率关系的应用,属于基础题.

2.（4分）已知集合A={x|24x<4},B={y|y=Vx,x€A},下列说法正确的是（）

A.BQAB.C.A^BD.AUB=A

【分析】可求出集合民然后根据子集，真子集,交集和并集的定义逐项判断即可.

【解答】解：♦；A={x|2<x<4）,B={y|V8<y<2].

B£A错误,AC2=错误.

故选：B.

【点评】本题考查了根据函数单调性求值域的方法，子集，真子集,交集和并集的定义，是基础题.

3.（4分）设{外}是各项均为正数的等比数列S为其前n项和.已知a2=4,S3=14,若存在wo使得

ara2，a3'…，a%的乘积最大，则m=（）

A.8B.6C.4D.2

【分析】由已知结合等比数列的性质先求出名然后结合等比数列的单调性即可求解.

【解答】解：因为{劭}是各项均为正数的等比数列M2=4,S8=〃i+〃2+〃5=%+4+3q=14.

q

整理得,2才-5q+2=0.

解得4=5或4=2.

2

当9=3时⑷=2,此时数列递增…，a的乘积无法取得最大值.

2。239"飞

故q=}〃4=8,此时劭=8X（,）nT=（A）n'4.

则九8=4时,&a2,a?,」的乘积最大•

1ojn0

则<22=8.

故选：A.

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式,求和公式及等比数列的性质的应用，属于基础题.

4.（4分）下列结论正确的是（）

A.若x>0,则2

x+l^

B.若则ac>bd

C.yrl-+sinx在（0m）的最小值为3

sinx

D.若〃>Z?>1>c>0,则

【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式,函数的单调性，即可求解.

【解答］解:x>0.

则■，当且仅当X=1时，故A错误.

X2+4xd2

X

令a=3,b=-l,d=-l,c>d.

但〃c=/?d,故B错误.

y=^—+sinx>2J-^-sinx二初，当且仅当$加=加时・

sinxVsinx

但5VsinxWl.

故y的最小值W7,故C错误.

a>b>l>c>0.

在（5,+8）单调递增.

故火故。正确.

故选：D.

【点评】本题主要考查基本不等式的公式，函数的单调性,属于基础题.

5.（4分）要得到函数y=J^sin3x的图象，只需将函数y=sin3x-cos3x的图象（）

A.向左平移2L个单位长度

4

B.向右平移三个单位长度

4

C.向左平移三个单位长度

12

D.向右平移三个单位长度

12

【分析】直接利用三角函数图象的平移变换和三角函数的关系式的变换求出结果.

【解答】解：由于y=sin3x-cos3x=«sin（3x—^-），要想得到函数丫=m，只需将函数>=

V2sin■个单位即可•

故选：C.

【点评】本题考查的知识点：函数图象的平移变换，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力,

属于基础题.

6.（4分）已知奇函数y=/（x）在R上单调递增，则（xi）4/（x2）>0”是“无1+暇>0”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】利用函数的奇偶性与单调性求解即可.

【解答】解：（x）为奇函数，且在R上单调递增,.

:.于（XI）+f（X2）>3of（XI）>-f（无2）=/（-X8）Qxi>-X2<=>X8+X2>0.

af（X3）+f（X2）>0"是"x3+%2>0”的充要条件.

故选：C.

【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合应用，考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.

7.（4分）已知直线公+y-1=0与圆C：（X-1）2+（y+a）2=1相交于A,B两点，且△ABC为等腰直角三

角形（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

【分析】可得圆心到直线的距离，由此即可得a.

【解答】解：△ABC为等腰直角三角形,则圆心C（1.

即।二匣,整理得:1+/=5,即/=1,解得：〃=-3或1.

G5

故选：D.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系,属于基础题.

8.(4分)若圆O,x2+y2=l上存在点P,直线/：y=k(x+2)上存在点。而=而，则实数k的取值范围为

()

A.[-V3，V3]B.L近，叵C.｛-遍，如｝D・｛-叵返｝

3333

【分析】利用已知条件推出直线与圆相交，转化为圆的到直线的距离小于等于半径，转化求解即可.

【解答】解：圆0：/+y2=5上存在点P,直线/：y^k(x+2)上存在点0而=前.

可得：12k-L^i.

解得在[-返_,近].

33

故选：B.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力，是中档题.

s

9.(4分)已知｛即｝是各项均不为零的等差数列,°3<0,公差d>0,Sn是｛.｝的前n项和，设b=_?,则数列｛加｝

nan

()

A.有最大项，无最小项B.有最小项，无最大项

C.有最大项和最小项D.无最大项和最小项

【分析】依题意，得数列｛斯｝是递增数歹！1,由于。3<0,不妨设函>0,利用等差数列的性质，分析其前n项和

的正负，结合题意可得答案.

【解答】解：｛斯｝是各项均不为零的等差数列,。3<0,公差d>2〃｝是递增数列.

又。3<0,随着”的增大,斯也增大.

不妨设。4>0,则4Zi<a8<G3<O<a8<a5<....

S5=7a3<0,S8=S5+a6的符号不确定,S6=7a4>5,S8>0,...

又p加=―Si-=7,a3<0,a8>0.

al

所以。1<2,及<0,制<0<的<。5(〃W5),S7>0,S7>2,S8>0,….

故加>0,历>6,为<0,历<0,加<3力6>0力4>0/8>3,

Snn(ai+an)n(a8+an_2)

bn==；

V2an-2^—'

当心7时，斯一2>0,所以阮>8,且玩单调递减，所以历有最小项也无最大项.

故选：B.

【点评】本题考查等差数列的前w项和公式的应用，考查逻辑推理能力与运算能力，为中档题.

10.(4分)在棱长为2的正方体中，点&F分别为棱AO1的中点.点尸为正方体表面上

的动点，满足4PLEE给出下列四个结论，不正确的是()

A.存在点P,使得|A1P|=2五

B.存在点P,使得A1PL平面AOF

C.存在点P,使得DP〃E尸

D.存在点P,使得81P=OP

【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断A,取AB的中点N,可得A1NL平面A。凡再判断A1N

±EF,即可判断反取正方形831cle的中心M设点的坐标根据条件列出方程组，探求是否存在符合条件的

解判断D.

【解答】解：如图，建立空间直角坐标系.

则A(2,0,8)41(2.4,2),0,6),2,1),5,0),0,8),Bi(2,6,2).

对A,由正方体性质知当尸与C重合时1P长度的最大值为Wi

此时不=(-8,2,-2)，而=(2,2,1)，彳•而=-2+4-5=&

所以A[]_|_而，即满足A6尸故A正确，

对于民取A8的中点N,1,0)，彳,1,-2),DA,3,0),DF,2,5)，而2,8)-

因为不,DA=OX4+1XO+(-4)X0=0,总

所以4N_LZM,AiN_L。凡又DAdDF=D,DFc^ADF.

所以AW_L平面A。尸，又刀5•而=0+7-2=0iN1EF.

所以当点P运动到N处时,4尸，平面故B正确.

对C,取正方形881c6c的中心M,连接OM易知MF//DE.

所以四边形DMFE为平行四边形，所以DM//EF,DP//EF.

此时尸(1,2,6)，币=(-i,2,-l)，ApP*EF=-7+4-1=6^0-

即不满足A1P_L£K

综上不存在点P,使得DP//EF.

对。，设尸(尤,%则可=(x-2,y,z-2)，丽=(7,2,1)-

(x-2+7y+z_2=0

若存在，由步尸二0尸,4尸,石方可得方程组|-------------------------------------——

262522

W(X-2)+(y-2)+(z-2)=Vx+y+z

化简可得卜+8y+z=4解得x+z=7.

Ix+y+z=3

显然当尤=0,z=2,即存在点P4P=DP,故D正确.

故选：C.

【点评】本题主要考查空间位置关系的判断，空间向量的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力,属于中

档题.

二,填空题(共5小题，每题5分，共25分)

11.(5分)双曲线固-犬=1的渐近线方程是y=±2v.

943—

【分析】把双曲线的标准方程中的1换成。即得渐近线方程,化简即可得到所求.

【解答】解：•.•双曲线方程为工:-於=1的工！_=()2欠.

94928

故答案为尸±恭

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0

即得渐近线方程.

12.(10分)已知抛物线y=网的焦点为F,点、M在抛物线上.若|岫=6,则点M的横坐标为4,AOMF

的面积为_4&_.

【分析】由抛物线的性质及定义，结合三角形的面积公式求解.

【解答】解：已知抛物线f=8x的焦点为E

则F（3,0）.

又点M在抛物线上.

设M(xo,y7).

又|Mfl=6.

贝!]xo+2=6.

即xo=7.

则点M的横坐标为4.

又y()2=8xo-

所以Iy3I=4A/2-

则△OMF的面积为t>X2X5V2=4>/5-

故答案为：4,4a.

【点评】本题考查了抛物线的性质及定义，重点考查了三角形的面积公式，属基础题.

13.(5分)若点A(cosO,sin。)关于直线y=x对称点为B(cos(84^-),sin(84^-))，写出9的一

个取值为2L（答案不唯一）

一6

71

sinQ=cos（BJ—

【分析】根据题意可得出《，然后即可求出tan0。③，从而可得出0的一个取值.

cos9=sin（8-k^-）

【解答】解：（cos。,sin。）关于y=x的对称点为（sin0.

sin6=-^-cos6-^sin6

sin©=cos(8

cos8='^-sin8+^cos0

cos9=sin(8

,•tan8='^~,可取8=-^-

46

故答案为：2L（答案不唯一）.

6

【点评】本题考查了关于y=x对称的点的坐标的关系,两角和的正余弦公式，是基础题.

14.（10分）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体.如图,

已知一个阿基米德多面体的所有顶点均是某个正方体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体积为

殁_,M,N是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，点P是该多面体表面上异于M则而•而

3—

的最大值为4.

【分析】将该多面体置于正方体中，由此可知该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成,

由此可得该阿基米德多面体的体积，由于M,N是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，可知

是一个面上的对角线，再利用向量之间的转换以及向量数量积的定义即可求得最大值.

【解答】解：依题意，可将该多面体补成一个棱长为2的正方体.

•••该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成.

体积为V=8-8xXX—X5X1=学.

523

是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点.

设M,N分别为正方体边C2的中点.

则而•而=MN+NPMN-MN+MN-NP

.9--*--•--,--►

-NM-NP=4-INHNPIcosB.

当MNLNP,而，而夹角为90。时，（MN-MP）2=4.

故答案为：20,4.

3

【点评】本题考查阿基米德多面体的体积,向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

15.（5分）已知曲线W：x4+y2=m（机＞0），给出下列四个命题:

①曲线W关于x轴,y轴和原点对称.

②当机=2时，曲线W上及围成的区域内部共有9个整点（即横，纵坐标均为整数的点）.

③当根=1时，曲线W围成的区域面积大于TL

④当"2=4时，曲线W围成的区域内(含边界)两点之间的距离的最大值是4.

其中所有真命题的序号是①②③.

【分析】根据题意，利用曲线与方程的关系，分别判断题目中的命题是否正确即可.

42

【解答】解：对于①，设点P(x,则/+>2=加,所以点p3(-x,y),P2(x,-y),尸4(-x,-y)满足方程x+y

即曲线卬关于y轴,x轴和原点对称.

对于②，当m=2时7+y2=2,当x=4时当x=±1时，当x=±5时

所以曲线W上及围成的区域内部共有9个整点，分别为：

(0,6),1),-1),7),0),1),3),-1)(-1,命题②正确.

对于③，当rn=8时4+y2=5,y2=l-尤720.

所以OWjcy1,工4-x6=/(x2-2)(0£忘了,所以％2+/2”+》2=1.

即曲线W上任意一点(x,j)都在以原点为圆心.

所以曲线W围成的区域面积大于以原点为圆心，以7为半径的圆的面积7T.

对于④，当m=4时4+y5=4,所以,2=4-x4NO,所以7W3W2.

所以曲线W上任意一点(x,y)到原点的距离d=Vx4+y2=

2=4时取等号.

2

所以曲线W围成的区域内(含边界)两点间的距离最大值为2*叵=行>4.

6

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了曲线与方程的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题.

三,解答题(共6道解答题，共85分)

16.已知函数/(尤)=2sin(71-x)cosx,g(x)=cos⑵口

(1)求/(x)的最小正周期及f《)的值.

(2)直线x=t(tC[0,£])与函数/(x),g(x)的图象分别交于M求的最大值.

【分析】(1)利用诱导公式化简三角函数，求解最小正周期和函数值即可.

(2)利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可.

【解答】解：(1)由于/(x)=2sin(IT-x)cosx=sin2x

所以f(工)=sinm=l/(x)的最小正周期为空_=兀.

522

(2)由题意可知,M,N两点的坐标为(t,G.

则|脑V|="(f)-g⑺I,即IMN|=|sin2t-cos(4t-*^-)|-

附川=|sin2t-cos|=|-1-sin2t--^-cos21|=|V3sin(3t-|.

因为tC［0,4］，所以2tde［玲，胃］•

(bob

所以WsinC］■

0N

所以在［4,时的最大值为

【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换,三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中

档题.

17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b2A-sin2B=sin2C-ZsinBsinC.

3

(I)求cosA的值.

(II)若cosB=J^-,AABC的周长为2+2点,求△ABC的面积.

3

【分析】(I)根据题意，利用正弦定理和余弦定理，即可求出cosA的值.(II)根据同角的三角函数关系,

求出sin^sinA,根据三角形内角和求出sinC,设△ABC的外接圆半径为民根据△ABC的周长求出民再计

算△ABC的面积.

【解答】解：(I)△ABC中,sin2A-sin2B=sin8C-ZsinBsinC.

3

由正弦定理得,〃4-b2=c2-—bc2+c6-c^^—bc.

36

2232“

由余弦定理得,cosA=>下一软=-..._1乂3时，由加(7,得sinB

2bc2bc23

由cosA=旦,Ae(0,得sinA_372

3

=述><®+Lx返=亚.

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

33733

设△ABC的外接圆半径为R.

则△ABC的周长为2R(sinA+sinB+sinC)=4RX(2：!巨_+逅+1_)=2+8愿

3337V2

所以△ABC的面积为工absinC=2R2sinAsin8sinC=7X外逃义®x逅=&.

28338

【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

18.如图,四棱锥P-ABCD^P,PA=PD=AD=CD=2,AD//BC,ZDAB=90°

(I)证明：PC±AD.

(II)从下面条件①，条件②，条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.

条件①：PBLAD.

条件②：PC=6.

条件③：二面角P-AD-B的大小为60°.在棱PB上是否存在点G(不与端点重合)，使得直线CG

与平面PAD所成的角的正弦值为返L?若存在，求效，若不存在，说明理由.

7PB

(注：如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答给分.)

【分析】(I)取AD的中点E,连接CE,尸瓦先证尸£，4。,“，4。,可得4。，平面「。瓦再由线面垂直的

性质定理，即可得证.

(II)选择条件①：由43_14。,尸8_14),可得4。_1平面%2,从而知4。_1外,与/以。=60°相矛盾，不

符合题意.

选择条件②：以A为原点建系，设P(x,l,z)，尤20,z>0,利用AP=2,PC=J§,确定点P的坐标，再设

PG=(1PB,RG(0,1)，利用向量法求线面角可得关于U的方程，解之即可.

选择条件③：以A为原点建系，由/^，4。,8,4£),可知/尸£。=60°,从而得P(1,1,旦)，设

22

PG=|IPB^G(0,1)，利用向量法求线面角可得关于u的方程，解之即可.

【解答】(I)证明：取的中点E,连接CE.

因为△B4D是等边三角形，所以PE±AD.

在△(7£)£中,CD=2,/AOC=60°.

由余弦定理知,。炉=。7+。炉_2CD'DECOSZADC=5+\-2X3X]xA=3.

8

所以CE2+r)£2=c£)2,即CELAD.

又PECCE=E,PE.

所以AZ5_L平面PCE.

因为PCu平面PCE.

所以PCLAD.

（n）解：选择条件①：

因为AB_LA£>,PB_LAO,AB.

所以AZ）_L平面PAB.

又Rlu平面所以A£）_LB4,不符合题意.

选择条件②：

以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0,4,C（75,0.

由（I）知AC平面PCE

因为ADu平面ABCD

所以平面PCE_L平面ABCD.

可设尸（x,l,z）,z>5,则乐,l,z），而F,2,z）.

因为AP=2,PC=f.

所以/+I+Z2=8,（*3）2+2+22=3，解得尸?当即八喙,8,_1）

所以而=（返,1,2）,标,2,3）.

22

_m*AD=2b=0

设平面心。的法向量为彳=则a3

m*AP=­z-a+b+vc=O

24

取c=-1,则a=夜,所以7百,0,-8).

®PG=|iPB=H（叵-2），昨（0.

22

贝加=CP+PG=（-退_,0,上巨,一1,一旦返41-返，③-&D.

22762272

因为直线CG与平面PAD所成的角的正弦值为返L

5

IF（除以等）+7呜受）匚叵2

所以|cos<CG,n>|=抨诃1即+9=4,解得

ICGI-ImI患（41）2+|12号（卜5产X23

3

5

所以而

5

即效=3.

PB3

选择条件③：以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0,0,C（百,7,。（0,2.

由（I）知AZ）_L平面PCE.

因为AOu平面A8CD

所以平面PCE_L平面ABCD.

由（I）知PE1AD,CE±AD.

所以/PEC就是二面角P-A。-B的平面角，即ZPEC=60°.

所以尸（1,1,工）.

22_

所以刀=（0,5,AP=（返,8,3）.

22

m*AD=8b=0

设平面小。的法向量为；=（°力，则4_____.风3

m,AP^-^-a+b+-^-c=2

取c=-1,则。=«,所以彳弧,0,-1）.

设说却而=口（返,-3）,昨（0.

24_

则氏=CP+PG=（-返,0,旦返,-5,一旦近厂返，旦-当1）.

88222322

因为直线CG与平面力。所成的角的正弦值为运.

7

一一后-IIF（率n冬）+0-白得乩）Ir-

所以|cos<CG,ir>l==2------2-------L=L=——=返12-18户9=0,解得

ICGl'Iml怖36）2+广亭…）5x27

所以同咯丽•

5

即弛=3.

PB5

z

p

------------------------B^x

【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定与性质定理,二面角的定义，以及利用向

量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

22

19.已知椭圆C：A_+X_=l(。＞6＞0)的右顶点A(2,0)，焦距为2近.

(I)求椭圆C的方程及离心率.

(II)设不经过右顶点的直线/：y=kx+m交椭圆C于两点P,。,过点尸作x轴的垂线交直线AB于点D,

交直线AQ于E,求证：直线/经过定点.

【分析】(I)根据题目所给信息以及a,之间关系,列出等式求解即可.

(II)将直线/的方程与椭圆方程联立，设P3,yi),Q(X2J2)，此时根W-2匕由韦达定理得xi+x2=

2

-8即干1无2=.-4,求出2E两点的坐标,根据点D为线段PE的中点，列出等式求解即可.

4k2+14k2+1

【解答】解：(I)因为椭圆C的右顶点A(2,0)我.

'a=2

所以＜2c=64.

2f7上2

a-b+c

解得〃=2/=7«.

2Q

则椭圆C的方程为幺+y2=1，离心率e=q=芭.

7a2

y=kx+m

(II)证明：联立1v2.，消去y并整理得(5^+1)无8+8物n+4优7-4=0.

=+y=1

LD

此时mW-8k.

设尸(xi,yi),Q(尤8,*).

此时A>0.

7,

由韦达定理得X8+X2=一以m,,尤3无2=4m--4.

2k2+14k.I

直线AB的方程为y=L-1.

2

即D(xi,2u-6).

2

因为kAQ=-''.

x2-6

所以直线4。的方程为y=±_(x-2)=kx24m

-

X25X2-2

即E(xi,'8—(工8-2)).

x2~2

因为点。为线段PE的中点.

~,kxr+m

所以yi+-------(工3-2)=xi-2.

X2~2

整理得(2左-1)X5X2+(m-2k+8)(xi+%2)-7m-4=0.

8

因为X8+X2=_8km_,X4X2=41n-4.

2k2+14k?+l

2

eeW(2k-3)(4m-2)8km(m-2k+3)

加以----------己--------------------3------4m-4=7-

4kz+44/+4

整理得(m+2k)(m+2K6)=0.

因为m力-21.

所以m--lk-1.

所以直线/的方程为y=fcc-2左-6=4(x-2)-1.

故直线/恒过定点(3,-1).

【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力,属于中档题.

20.已知函数/(x)=(A-1)阮c+1淇中aeR

x

(I)若函数/(无)在尤=1处的切线与y=x+2平行.

(z)求a的值.

(z7)证明：函数/(无)在定义域上恰有两个不同的零点.

(II)设函数g(无)=，-尤"(尤)+lnx-1)在区间(0,一。)上存在极值,求证：al+ea>a+l.

【分析】(1)(力利用导数求函数/(X)在％=1处的切线的斜率即可，(方)利用导数求出/G)的单调

性，结合零点存在性定理即可证明.

(2)求出g，(x)=x巳当时不合题意，当〃>0时，令t(x)=xeK-利用导数判断t(x)的

x

fa>0

单调性，根据t(0)<0,要使得g(%)在(0,/。)上存在极值，则须满足t(/〃)>0,即1,

ea*ee-a>0

分析推理即可得到晨.

【解答】解：(1)(z)f(x)=(色-l)lnx+l的定义域为"

x

々,、a-八3-alnx+a-x

f(x)=^7Tnx+(--1)-=-----5----•

x2xxx2

因为函数/(X)在x=l处的切线与y=x+8平行.

所以，(1)=a-1=1,得a=5.

(n)证明：由(力得f(x)二(2-l)lnx+6.

x

f(x)=-21nx+2-x

7

x7

令h(x)=-21nx:+2-x(x>4).

因为h'(x)=工-1<5,所以人⑴在3又h(1)=1>5.

X

所以存在唯一的xo€(l,e)3)=0,即-2/g+2-xo=8.

当(O,xo)时,/i(x)>5/(x)在(O,xo)单调递增.

当(x7,+°°)时,/z(x)<0/(x)在(工.

又f(x0)=(--1)lnx3+l=(--1)•--工;-1=1(当且仅当

J

ux°x82x05p03

2=出=2时等号成立).

x06

即/(x)>5,因为fd)=2-8e<o2)=Tr-L

ee2

由零点存在性定理知/(尤)在(［，xn)和(xn，e,)分别有一个零点.

综上，函数/(%)在定义域上恰有两个不同的零点.

(2)依题意g(x)二巳"-X[(且-l)lnx+l+lnx-5]二日"alnx,0<x<e'

x

则g'(x)=e「包二』

当〃WO时,g，(x)>7,黑。)单调递增，不合题意.

当〃>0时，令/(％)=xeK-a,xE(0,/