2023年河北省中考数学一轮复习：相似 练习题

2023年河北省中考数学一轮复习一相似练习题

一、单选题

1.（2021・河北・中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示,

此时液面AB=（）

图1图2

A.1cmB.2cm

C.3cmD.4cm

2.（2022.河北邢台二模）如图，直线h〃b〃13,直线AC分别交li,12,13于A,B,C；直线DF分别交

AR1

11,12,13于D,E,F,已知则()

「AD1DE1BE1

A.----=—B.=C.D.-----——

BC3FC3EF-2FC2

3.（2022.河北石家庄.三模）对于题目：“在长为6,宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的

两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值.”甲、

乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值.

甲方案：如图1所示，最大值为16；

乙方案：如图2所示，最大值为16.

下列选项中说法正确的是（)

22

66

图1图2

A.甲方案正确，周长和的最大值错误

B.乙方案错误，周长和的最大值正确

C.甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确

D.甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误

4.（2022•河北唐山.二模）如图，在纸片中，ZACB=90°,AC=4,3c=3,点。,E分别在AB,AC

上，连结DE,将VADE沿DE翻折，使点A的对应点/落在8C的延长线上，若FD平分ZEFB,则的

长为（）

5.（2022•河北承德•一模）如图，在正方形ABCD中，点E,F分另lj在BC,CD±,且NEAF=45。，将△ABE

绕点A顺时针旋转90。，使点E落在点E，处，则下列判断不正确的是（）

A.△AEE，是等腰直角三角形B.AF垂直平分EE，

C.AE^C^AAFDD.AAET是等腰三角形

6.（2022•河北保定•一模）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮

他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）

己知：如图，在,ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC±,且DE//BC,DF//AC,

求证：ADEs,DBF.

证明：①又DF//AC,②DE//BC,③.•.NA=/DF,@..^ADE=^B,.\„ADE^^DBF.

2

A.③②④①B.②④①③C.③①④②D.②③④①

7.（2022.河北邯郸三模）如图,右边的与左边的“尸是位似图形,A是位似中心，位似比为3：5.若BC=75,

则G”的长为（）

A.15B.30C.45D.60

8.（2022・河北唐山・二模）如图，在直角坐标系中，AABC的顶点8的坐标为现以坐标原点。为

7

位似中心，作与△ABC的位似比为1的位似图形AB'C',则9的坐标为（）

y

9.（2021•河北邯郸•一模）矩形的两边长分别为a,b,下列数据能构成黄金矩形的是（）

A.a=4,b=75+2B.a=4,b=y[5-2C.a=2,b=^+1D.a=2,b=75-1

4

10.（2021・河北唐山•三模）如图，直线a/lbllc,AB=-BC,若DF=9,则EF的长度为（）

C.4D.3

11.（2021.河北保定.一模）如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG

分别交于点P、Q、K、M、N.设ABPQ,△DKM,△CNH的面积依次为Si，S2,S3.若SI+S3=20,则

S2的值为（）

A.6B.8C.10D.12

12.（2021.河北承德•二模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2：3,连接AE、

13.（2021・河北廊坊・一模）如图，4ABe与4位似，点。为位似中心.已知OA：01）=1：2,贝必ABC

与△。所的面积比为（）

14.（2021•河北石家庄•一模）在平面直角坐标系中，AABC和第46的相似比等于：，并且是关于原点。

的位似图形，若点A的坐标为（2,4）,则其对应点4的坐标是（）

A.（4,8）B.（-1,-2）C.（1,2）或（一1,—2）D.（4,8）或R,-8）

二、填空题

4

15.(2022・河北・中考真题)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉

点A,B的连线与钉点C,。的连线交于点E,则

(1)与CD是否垂直？(填"是,或否”)；

(2)AE=.

16.(2022•河北邢台・二模)在AABC中，点A到直线BC的距离为d,AB>AC>d,以A为圆心，AC为

半径画圆弧,圆弧交直线BC于点D,过点D作DE〃AC交直线AB于点E,若BC=4,DE=1,ZEDA=ZACD,

贝I]AD=.

17.(2022.河北秦皇岛.一模)如图，在等边三角形ABC中，点。、点E分别在BC,AC上，且NADE=60。，

(1)写出和/CDE相等的角：；

(2)若A8=3,BD=1,则CE长为.

18.(2022・河北・唐山市路北区教育局中教研二模)如图，在中，AB=8cm,AC=16cm,点尸从A出

发，以2cm/s的速度向8运动，同时点。从C出发，以3cm/s的速度向A运动，当其中一个动点到达端点

时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为人

A

(1)用含f的代数式表示：AQ=；

(2)当以A,P,。为顶点的三角形与"C相似时，运动时间1=

19.(2022.河北廊坊.二模)如图，将水平放置的三角板ABC绕直角顶点A逆时针旋转得到..AB'。，连接

并延长C'C相交于点尸，其中NABC=30。，BC=6.

(1)若记9c中点为点O,连接尸£>,则PD=；

(2)若记点尸到直线AC'的距离为d,则d的最大值为.

20.(2021•河北邢台・一模)如图，△ABC沿AC平到△ABC,AE交BC于点D,若AC=6,D是BC的

中点，则CC=.

21.(2021・河北•高阳县教育局教研室模拟预测)如图，正方形ABCD的边长为3,连接。两点分别

在AD,8的延长线上，且满足/尸仅2=45。.

(1)3D的长为;

(2)当3。平分NP3Q时，ORDQ的数量关系为

(3)当BD不平分NP8Q时，DPDQ=.

三、解答题

22.(2022•河北承德•一模)如图，在中，AB^AC,ZBAC=a,M为BC的中点，点。在MC上,

以点A为中心，将线段AO顺时针旋转。得到线段AE,连接BE,DE.

6

A

E.

B

(1)比较N@场与NCAD的大小；用等式表示线段BE,BM,的数量关系，并证明;

(2)过点M作的垂线，交DE于点、N,证明：NE=ND.

23.(2022.河北唐山.二模)如图，抛物线丁=-；必+6尤+。与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,直线

y=-].x+2过3、C两点，连接AC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：AOCsACB；

(3)点”(3,2)是抛物线上的一点，点。为抛物线上位于直线8C上方的一点，过点D作。轴交直线

BC于点E,点P为抛物线对称轴上一动点，当线段。£的长度最大时，求尸D+PM的最小值.

24.(2022•河北保定•一模)课本再现

(1)在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与NA相等

的角是;

B

图1

类比迁移

(2)如图2,在四边形ABCD中，NABC与-ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比

(1)中思路进行拼合：先作NCDF=ZABC,再过点C作CELDP于点E,连接AE,发现AD,DE,AE

之间的数量关系是；

方法运用

图3图4

(3)如图3,在四边形ABCD中，连接AC,ABAC^90°,点。是，.ACD两边垂直平分线的交点，连接。4,

ZOAC^^ABC.

①求证：ZABC+ZADC=90°；

②连接3。，如图4,已知AD=机，DC=n,—=2,求3。的长(用含优，〃的式子表示).

AC

25.(2022•河北承德•一模)如图①，在钝角AABC中，ZABC=30°,AC=4,点。为边A3中点，点E为

边BC中点，将ABDE绕点6逆时针方向旋转a度(0V«W180).

(1)如图②，当0<dzvl80时，连接AO、CE.求证：ABDAABEC；

(2)如图③，直线CE、A。交于点G.在旋转过程中，NAGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理

8

由；如不变，请求出这个角的度数；

(3)将ABDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180。，求点G的运动路程.

26.(2022•河北邯郸・三模)如图，在RtA5c中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,动点P从点A出发，

沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，将线段AP绕点P逆时针旋转90。，得到线段PQ,

过点Q作加，M，交射线AC于点M.设点P的运动时间为t秒.

(1)线段MP的长为(用含t的代数式表示).

(2)当点M与点C重合时，求t的值.

(3)设尸与ASC重叠部分图形的面积为S(S>0),求S与t之间的函数关系式.

(4)取线段PM的中点H,作直线BH,当直线BH将一尸分成的两部分图形的面积比为1：3时，直

接写出此时t的值.

27.(2022•河北石家庄•二模)如图1,在矩形ABCQ中，E,F,G分别为边BC,AB,AO的中点，连接

DF,EF,X为。尸的中点，连接G8,将48所绕点B旋转.

图1图2图3

(1)当旋转到如图2所示位置，且时，猜想GH与CE之间的关系，并证明你的猜想.

(2)已知AB=6,BC=8,

①当△BEP旋转到如图3所示位置时，猜想GH与CE之间的数量关系，并说明理由.

②射线GH,CE相交于点。,连接B。，在ABE尸旋转过程中，2。有最小值，请直接写出8Q的最小值.

28.(2021•河北邢台・一模)如图1,在RtZxABC中，ZC=90°,AB=1Q,BC=6,以点。为圆心在AC

的右侧作半径为3的半圆O,分别交AC于点。、E,交于点G、F.

思考：连接。尸，OFLAC,求的长度；

探究：如图2,若。是AC的中点，将线段C。连同半圆。绕点C旋转.

(1)在旋转过程中，求点。到48距离的最小值；

(2)若半圆。与Rt^ABC的直角边相切，设切点为K,连接AK,求AK的长.

29.(2021・河北保定•二模)如图，在RtSABC中,0ACB=9O°,AO是EIABC的角平分线.以。为圆心，OC为

半径作国0.

IA乜

(2)已知A。交回0于点E,延长AO交回。于点D,tanD=-,求一的值.

2AC

(3)在(2)的条件下，设回。的半径为3,求AB的长.

30.(2021•河北唐山•二模)已知：RTAABC与RTADEF中,ZACB=ZEDF=90°,ZDEF=45°,EF=8cm,

AC^16cm,BC=12cm.现将RTAABC和RTADEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点、B、C(E)、

月在同一条直线上，并按如下方式运动.

运动一：如图2,AABC从图1的位置出发，以lc1/s的速度沿EP方向向右匀速运动，OE与AC相交于点

Q,当点。与点。重合时暂停运动；

运动二：在运动一的基础上，如图3,RTAABC绕着点C顺时针旋转，CA与。月交于点。，CB与DE交于

点、P,此时点。在。尸上匀速运动，速度为0cm/s,当0C，。F时暂停旋转；

运动三：在运动二的基础上，如图4,以lcm/s的速度沿用向终点P匀速运动，直到点C与点厂

重合时为止.

设运动时间为t(s),中间的暂停不计时，

10

解答下列问题

(1)在RTAABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时s；

(2)在整个运动过程中，设与RTADEF的重叠部分的面积为S求S与/之间的函数关

系式，并直接写出自变量f的取值范围；

(3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点。正好在线段A8的中垂线上，若存在，求出此时f的值;

若不存在，请说明理由.

参考答案：

1.C

【解析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，

即可求出A8.

解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8(cm),

第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4(cm),

因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，

所以图1和图2中的两个三角形相似，

AB4

•••_=一，

68

AB=3(cm),

故选：C.

本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三

角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力

有一定的要求.

2.C

【解析】根据平行线分线段成比例定理对每个选项进行判断即可.

AB1

解：..,直线h〃12〃b,二77二7，

AC3

AR1

・,・黑=故A选项错误；

BC2

DF1

故C选项正确；

EF2

ADRF

生署无法确定，故B、D选项错误.

rCrC

故选c.

本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键.

3.D

【解析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可.

解:V6：2=3：1,

三个矩形的长宽比为3：1,

甲方案：如图1所示，

12

5a

3b

6

图1

3〃+3b=6,

a+b=2,

周长和为2(3/?+b)+2(3〃+a)=83+b)=16；

乙方案：如图2所示,

3b

图2

〃+6=2,

周长和为2(3Z?+/?)+2(3〃+a)=8(a+8)=16；

如图3所示,

7

3

^①2

(A)

图3

矩形①的长为2,则宽为2+3=|；

则矩形②的长为6-；=与，宽为*3=?；

。JJV

矩形①和矩形②的周长和为2（2+：）+2（与+?）=等;

。Jy

,V6,

•••周长和的最大值为告;

故选：D.

本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键.

4.D

【解析】先根据勾股定理求出48,再根据折叠性质得出AD=DF,然后根据角平分线的定

义证得/BFD=/DFE=NDAE,进而证得尸=90。，证明RtAABCsRt△依。，可求得的长.

13

解：*/ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=VAC2+BC2=A/42+32=5，

由折叠性质得：ZDAE=ZDFE,AD=DF,则B£>=5-AD,

,/FD平济ZEFB,

：.ZBFD=ZDFE=ZDAE,

'：ZDAE+ZB=90°,

：.ZBDF+Z2=90°,即/BDF=90°,

RtAABC^RtAFBD,

解得：AD=—,

故选：D.

本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练

掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.

5.D

因为将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E处

・・・AE』AE,ZEfAE=90°

・•・△AEE是等腰直角三角形

故A正确；

•・,将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E处

JZErAD=ZBAE

•・•四边形ABCD是正方形

・•・ZDAB=90°

・・・ZEAF=45°

・•・ZBAE+ZDAF=45°

NE'AD+NDAF=450

JZEfAF=ZEAF

•・・AE，=AE

・,・AF垂直平分EE

故B正确；

•・・AF_LE'E,ZADF=90°

14

，ZFE,E+ZAFD=ZAFD+ZDAF

NFE'E=/DAF

.,.△ETC^AAFD

故C正确；

VAD±ET,但/E，AD不一定等于NDAF

/.△AET不一定是等腰三角形

故D错误；

故选：D

考点：旋转的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质；相似

三角形的判定.

6.B

【解析】根据平行线的性质可得到两组对应角相等，易得解题步骤；

证明：②DE//BC,

@.-.^ADE=^B,

①又•.DF//AC,

③.•.NA=/DF,

「二ADEsADBF.

故选B.

本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似.

7.C

【解析】根据位似图形的相似比成比例解答.

解：：右边的与左边的是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5,BC=75,

：.GH-.BC=3：5,即GH：75=3：5.

：.GH=45.

故选：C.

15

本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比.

8.C

22

【解析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把3点的横纵坐标都乘以;或即可求解.

解：：坐标原点。为位似中心，作与△ABC的位似比为1的位似图形△ABC的顶点2的坐标为

(-1,1),

•,•夕的坐标为卜河或m

故选：C

本题考查了位似变换：理解在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为左，那么

位似图形对应点的坐标的比等于k或/是解题的关键.

9.D

黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即宽：长=叵1，只有选项D中b：a=3二1,

22

故选D.

10.B

ARDF

【解析】因为/I/%/4，根据平行线分线段成比例可知，,故可得DE与EF的比值,且DE+EF=DF=9,

BCEF

即可求出EF的长度.

解：・・・〃〃2〃/3,根据平行线分线段成比例可知,

ABDE4

设DE=4t,EF=5t,

BCEF5

又,.・DF=9,其中DF=DE+EF=9t=9,解得：t=l,

・・・EF=5t=5,

故选：B.

本题主要考查平行线分线段成比例的知识点，解题的关键在于写出各线段的比例关系式，当题目中出现三

条(或三条以上)的平行线，且求线段长度或比例时，常用平行线获得比例线段.

11.B

试题分析：・・,矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，

・・・AB=BD=CD,AE〃BF〃DG〃CH,

・•・四边形BEFD,四边形DFGC是平行四边形，ZBQP=ZDMK=ZCHN,

・・・BE〃DF〃CG

・•・ZBPQ=ZDKM=ZCNH,

16

VAABQ^AADM,△ABQ^AACH,

.ABBQ_1BQAB_1

••茄一砺―5'CH-AC-3?

・•・ABPQ^ADKM^ACNH

.BQ18。J

•*MD-2'CH—3

.耳_1S_1

•

S2=4SI，S3=9SI，

VSI+S3=20,

ASI=2,

・・.S2=8.

故选B.

考点：1.矩形的性质，2.三角形的面积，3.相似三角形的判定与性质.

12.A

【解析】利用平行四边形的性质可得出AB〃CD且AB=CD,结合DE：EC=2：3可得出D养F=二2，由

AB〃CD可得出△DEFs△&F,再利用相似三角形的性质即可求出DF:BF的值.

解：・・•四边形ABCD为平行四边形，

・・・AB〃CD,且AB=CD.

VDE:EC=2:3,

.DE__DE_2DE

**DC-DE+ECBA*

VAB/ZCD,

ADEF,

.DF_DE=2

・・而一瓦一厂

故选：A.

本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质结合DE：EC=2：3

找出DE：BA的值是解题的关键.

13.C

【解析】根据位似图形的性质即可得出答案.

由位似变换的性质可知，AB//DE,AC//DF

•OA_OB-1

"'OD~'OE~2

17

ACOA1

"DF~0D~2

•­•AABC^ADEF的相似比为:1：2

，△ABC与△OEP的面积比为：1：4

故选C.

本题考查了位似图形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

14.D

【解析】由于。和44出。的相似比为1：2,且是关于原点。的位似图形，把点A的纵横坐标分别乘

以2或-2,则得A的对应点的坐标.

由于//2C和MB©的相似比为1：2,且是关于原点0的位似图形，把点A的纵横坐标分别乘以2或-2；

当乘以2时，则得A(2,4)的对应点的坐标为(4,8)；当乘以-2时，则得A(2,4)的对应点的坐标为(-4,-8).

故选：D.

考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为左,那么位似图形

对应点的坐标的比等于k或-k.

15.是撞##&番

'55

【解析】(1)证明△ACGgACFD,推出/CAG=/FC。，证明/CEA=90。，即可得到结论；

(2)利用勾股定理求得AB的长，证明利用相似三角形的性质列式计算即可求解.

解：(1)如图：AC=CF=2,CG=DF=1,ZACG=ZCFD=9Q°,

：.XACG9&CFD,

：.ZCAG=ZFCD,

'：ZACE+ZFCD=90°,

：.ZACE+ZCAG=9Q0,

：.ZCEA=90°,

.♦.AB与CO是垂直的，

故答案为：是；

(2)AB=V22+42=275,

'：AC//BD,

：.AAECsABED,

.ACAE2AE

••=，艮an—=，

BDBE3BE

・AE_2

••=一,

BE5

18

24垂

：.AE=-AB=-^~.

55

故答案为：逑.

5

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求

问题需要的条件.

16.2或-2+20

【解析】当NACB为锐角时，根据题意易证NBDE=NADE=/ADC=NACD=60。，贝必ACD为等边三角

形,设AD=x,根据ABDEs^BCA,列出关于x的方程，然后求解方程即可，同理求出当/ACB为钝角

时,AD的长即可.

解:如图，当/C为锐角时,

VAD=AC,

.,.ZADC=ZACD,

VDE/7AC,

ZBDE=ZACD,

已知/EDA=/ACD,

ZBDE=ZADE=ZADC=ZACD=60°,

AAACD为等边三角形,

VDEZ/AC,

/.△BDE^ABCA,

设AD=AC=CD=x,

□iEDBD14—x

则——=——，即nn一二——

ACBCx4

解得x=2,

19

，AD=2；

如图，当NACB为钝角时,

同理可得4ACD为等边三角形,

VDE/7AC,

.,.△BCA^ABDE,

设AD=AC=CD=x,

EIACBCx4

则——=——，即Rn一=^-，

EDBD14+x

解得x=-2+2后,

/.AD=-2+2-^2.

故答案为2或-2+2夜.

本题主要考查等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，解此题的关键在于根据题意分情况

画出两种图形，利用数形结合进行解答.

2

17./BAD-

3

【解析】⑴根据△ABC是等边三角形，得到NB=NC=60。，AB=BC；又因为/4。。=/3+/胡。,

ZEDC+ZADE=ZB+ZBAD就得至I]/EDC=/BAD

(2)因为/E£)C=NJ5A。，得到△OCE,得到竺=也，即可求出EC；

CDEC

(1)证明：：△ABC是等边三角形,

ZB=ZC=60°,AB=BC；

又：ZADC=ZB+ZBAD

ZEDC+ZADE=ZB-^-ZBAD

又•:ZADE=ZB=60°

：.ZEDC=ZBAD

所以和NCDE相等的角为：ZBAD

故答案为：/BAD

(2)VZEDC=ZBAD

20

:・/C=/B

△ABD〜XDCE,

.ABBD

'~CD~~EC

BC=AB=\BD=\

又CD=BC-BD=3-1=2

.3_1

,2"EC

解得：£C=j

,2

故答案为：—；

此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得4ABD-LOCE是解答此题的关

键.

18.16-3?##-3r+163秒或4秒

7

【解析】(1)根据路程=速度x时间，即可表示出A0的长度.

(2)此题应分两种情况讨论.①当.'APQS,ABC时；②当，"2-ACB时.利用相似三角形的性质求解即

可.

解：(1)由题意可知：AQ=l6-3t,

(2)连接尸。，

，当罟=tf时，"QSABC,即胃=竺/，解得”?

当普=整时，”QsACB,即杉=肉包，解得t=4.

ACAB168

**•运动时间为—秒或4秒.

故答案为：16-3,；7秒或4秒

考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键，注意不要漏解.

19.33+—

2

【解析】(1)根据三角形旋转CA=C4,BrA=BA,BC=B'C'=6,NC4C=N5Z5,再求NCP8=90。，然后利

21

用直角三角形斜边中线性质即可求解；

(2)过点尸作PQLCA于。，连接。。，根据两点之间线段最短得出PQSPD+。。，当点P、D、。三点

ODCD1

共线时，PQ^PD+QD,先证△CQDsAC'AB',得出M二方须二彳，利用30。直角三角形性质得出47=

AnCB2

^B'C'=3,利用勾股定理得出AB'=JAC'2_AC，2=^62-32=36即可.

解：(1):将水平放置的三角板A3C绕直角顶点A逆时针旋转得到

：.CA=CA,B'A=BA,BC=B'C=6,ZCAC=ZB'AB,

：.ZC'CA=90°--ZC'AC=90°--NB'AB=ZABB',

22

ZCPB=18Q°-ZPCB-ZPBC=180°-(180°-ZACB-ZCC4)-(ZB,BA-ZABC)

=180。-(180。一60°-ZC'CA)-(ZB,BA-30°)

=90°,

:点。为9。中点，

.•.PO=%C=3,

2

故答案为3；

P

：.PQ<PD+QD,

当点尸、D、Q三点共线时，PQ最大=PD+QD,

"：DQ±AC,ZC'AB'=90°,

J.DQ//AB',

：./\CAD^/\CAB',

.QDCD1

•,行—FF-5'

在RtXAC'B中,'：ZC'B'A=ZCBA=30°,

；•AC'=^B'C'=3,AB'=YIB'C'2-AC'2=A/62-32=3抬，

22

.••Q宗D=51,D即纱=言3J3,

:.PQ最kPD+QD=3+当•

故答案为3+半.

本题考查三角形旋转性质，直角三角形斜边中线，30。直角三角形性质，三角形相似判断于性质，勾股定

理，掌握三角形旋转性质，直角三角形斜边中线，30。直角三角形性质，三角形相似判断于性质，勾股定

理是解题关键.

20.3

【解析】证明A4'=C4'=3,即可得出结论;

由平移的性质可知：AD'//AB，

,/D的为BC的中点,

BD=CD,

VAC=6,

AA'=CA'=3,

：.CC'=A4'=3，

故答案为：3.

本题考查了平移的性质，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用知识点解决问题.

21.3亚DP=DQ18

【解析】(1)根据勾股定理直接可求；

(2)用“角边角”证△BDP%ABDQ即可；

(3)证△BOPs△8。。，列比例式即可.

解：(1)正方形ABC。的边长为3,

BD=A/J?C2+CD2=3V2；

故答案为：3收.

23

(2)・・・BD平分NPBQ,

：./PBD=/QBD,

*：ZADB=ZCDB=45°,ZADQ=ZCDP=90°,

:.ABDQ=ZBDP,

BD=BD,

:•△BDP"4BDQ,

：.DP=DQ；

故答案为：DP=DQ.

(3)V/QBD+NPBD=45°,ZQBD+ZBQD=45°,

:.ZPBD=ZBQDf

・.,ZBDQ=ZBDP

:•丛BDPs^QDB,

即更L#,

QDBDQD3亚

DPDQ=K.

故答案为：18.

本题考查了正方形的性质和全等三角形、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识进行全

等证明和相似证明.

22.(1)ZBAE=ZCAD,BE+MD=BM,证明见解析

⑵证明见解析

【解析】(1)由题意及旋转的性质易得/胡C=/E40=c,AE=AD,然后可证ABENACD,进而问

题可求解；

(2)过点E作即，A3,垂足为点。，交AB于点H,由(1)可得NABE=NACD,BE=CD,易证

BH=BE=CD,进而可得=9欣，然后可得.；,最后根据相似三角形的性质可求证.

(1)

解：ZDAE=ZBAC=a,

:.ZDAE-ZBAD=ABAC-ABAD,

即/BAE=/CW,

在j和.ACD中，

24

AB=AC

</BAE=NCAD,

AE=AD

.jABEmACD(SAS),

BE=CD,

M为BC的中点，

:.BM=CM,

:.BE+MD=BM；

⑵

证明：如图，作石〃_LAB交5C于H,交AB于厂,

ZACD=ZABC,

:.ZABE=ZABD,

在△bEF和ABHF中,

ZEBF=ZHBF

<BF=BF

NBFE=NBFH

.『BEFgBHF(ASA),

:.BE=BH,

由(1)知：BE+MD=BM,

:.MH=MD,

MN//HF,

.ENMH

'DN~DM

：.EN=DN.

本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟

练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关

25

键.

i3

23.(1)y=-5%2+5%+2；(2)见解析；(3)小

【解析】(1)先利用直线y=-3x+2得到点8和点C的坐标，利用待定系数法求解；

(2)根据解析式求得点A的坐标，求出两个三角形的边长，根据两组对应边成比例夹角相等求证；

(3)设点。的坐标为1%-：/+|彳+2],将线段。E的长用函数关系式表示为顶点式形式，利用函数的

性质得到当x=2时，线段。E的长度最大，得到点。的坐标，再利用轴对称及勾股定理求出答案即可.

(1)解：..•直线y=-l尤+2分别与x轴和y轴交于点B和点C,

2

・••点5的坐标为(4,0),点。的坐标为(0,2),

把B(4,0),C(0,2)分别代入y=+bx+c)

得f-二8+4Z?+c=0，

K，b=~

解得＜2,

c=2

i3

・•・抛物线的解析式为y=-5/+卧+2.

i3

(2)•・•抛物线y=+万％+2与1轴交于点A,

13

—x9—%+2=0,

22

解得%=T,X2=4,

；•点A的坐标为(TO),

AAO=\,AB=5,

在RtAOC中，AO=1,OC=2,

AC=45,

.AO_1_石

••—-,

ACy[55

..ACV5

•=—，

AB5

.AOAC

**AC-ABJ

又：ZOAC=ZCAB,

26

:._AOCS,ACB.

（3）设点O的坐标为卜/+!'X+2

则点E的坐标为14,-5^+2]

.・.£>E=--x2+-x+2-f--x+2I

2212J

13-1C

——x2H—%+2H—x—2

222

=--x2+2x

2

1,

=_万（尤_2）2+2

V--<0,

2

.•.当x=2时，线段。E的长度最大.

此时，点。的坐标为（2,3）,

VC(0,2),M(3,2)

/.点C和点M关于对称轴对称，

连接C。交对称轴于点P，此时PD+PM最小.

连接CM交直线。E于点R贝叱Z)PC=90。，点尸的坐标为(2,2),

CD=7CF2+DF2=75-

,/PD+PM=PC+PD=CD

PD+PM的最小值行.

此题考查的是二次函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点问题，函数

的最值问题，轴对称的性质，勾股定理，证明两个三角形相似，熟练掌握各知识点是解题的关键.

24.(1)ZDCE'；(2)ACP+DE^AE2；(3)①见解析；®BD=^nr+^n2-

27

【解析】(1)根据拼图可求得/A=/DC尽；

(2)根据NABC与NAOC互余求得/AOP=/4OC+/A2C=90。，利用勾股定理即可求解；

(3)①由点。是AACD两边垂直平分线的交点，证得OA=OZ)=OC,推出2/OAC+2/OOC+2/OD4=180

°,得至！J/OAC+/ADC=90。，即可求解；

②作NCDF=NABC,再过点C作CELOF于点E,连接AE,求得AC：AB：BC=I：2：日同理可得

CE-DE-DC=1：2：下,证明△ACE~ABC£),利用相似三角形的性质以及勾股定理即可求解.

(1)根据拼图可得：ZA=ZDCE'；

故答案为：NDCE；

(2)作/COQ/A8C,再过点C作CE_LD/于点E,连接AE,如图，

,/ZABC与ZADC互余，即ZABC+ZADC=90°,

ZADF=ZADC+ZCDF=ZADC+ZABC=90°,

：.AD2+DE2=AE2；

故答案为：AEP+DE^AE2；

(3)①证明：连接OD、OC,

♦..点。是△AC。两边垂直平分线的交点，

OA=OD=OC,

：.ZOAC=ZOCA,ZODC=ZOCD,ZOAD=ZODA,

,/2ZOAC+2ZODC+2ZODA=180°,

28

即2ZOAC+2ZADC=180°,

：.ZOAC-^-ZADC=90°,

9

：ZOAC=ZABCf