2024-2025学年贵州省铜仁市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省铜仁市高二(上)期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知数列｛厮｝是等差数列，若的=1,a9=17,则口5=()

A.5B.7C.9D.11

2.已知椭圆C：、+/=l(a〉0)的左顶点到上焦点的距离为2,贝UC的离心率为()

A.-B.—C.—D.V3

3.已知方程式2+y2—y/~3mx+V~5y+m2+1=0表示圆，则zn的取值范围为()

A.(—oo,—1)u(L+8)B.(—1,1)

C.(-00,-3)U(3,+oo)D.(-3,3)

4.已知记=(2,—1,3),元=(一4,无〃)分别是平面a,0的法向量,且a〃S，则()

A.4=2〃B.2=〃C.3A+//=0D.2+3〃=8

5.圆M：(%-3)2+(y+2)2=1与圆N：%2+y2-14%-2y+14=0的公切线条数是()

A.1B.2C.3D.4

1

6.右数列｛厮｝满足a1=2,0-n+l—d——,则&2025=()

A.2B.1C.-1D.i

7.平行六面体48CD中，底面A8CD是边长为3的正方形，AAr=4,^BAAr=^DAAr=60°,

则4G的长为()

A.<58B.2719C.782D.10

8.过抛物线E：*=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45。的直线［与E交于4B两点，且A,B两点在y轴上的

正射影分别为点。，C.若梯形28C。的面积为48，！，则p=()

A.2B.4C.6D.8

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知数列｛即｝的前n项和匕=n2+2n+l,数列｛g｝满足〃i+i=2b",则()

A.数列｛即｝的通项公式是％i=2n+1

B.若瓦>0,则数列｛%｝是递增等比数列

C.若，n•bn=bp•bq,则m+n=p+q

16T7,—1

｛(2；-1).2n+2+8n>2

10.已知直线kx+lay-1=0；直线)：(3a—l)x—ay—1=0,贝U()

A.当a=-l时，匕的一个方向向量为(1[)

B.若11〃2,则a=(

C.若"1l2,则a=1

D.点(一4,1)到G距离的最大值为5

11.直三棱柱ABC—A/iG中，侧面A4/1B为正方形，AB=BC2,E、尸分别为力C、的中点，D为

棱A声1上的动点,设瓦方=A07-%£(0,1),且A/1BF,贝ij()

A.过点％,E,。的平面截该三棱柱所得的截面为梯形

B.无论点。如何运动，都有BF1DE

C.当2=3时，点B到平面DFE的距离为乎

D.己知H是平面DEF上的一动点，若乙4GC=N“GC，则点H的轨迹为抛物线

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知双曲线C；捻—，=l(a>0,b>0)过点(4,0),且焦距为10,则C的渐近线方程为.

13.最新发布的Figare02实体机器人在平面内的运行轨迹方程为圆0：x2+y2=1,则它在行进过程中与

经过点力(3,0),B(0,4)的直线的最近距离是.

14.鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心

的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制

作3个层数分别为3,6,机的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕

孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36,则机=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知等差数列｛a*｝的前n项和为无,且多=2,S3=2a3.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)求数列《■｝的前几项和七.

16.(本小题15分)

已知△ABC三个顶点分别是力(-1,5),B(5,5),C(6,-2).

(1)求448C外接圆M的标准方程；

(2)若M与直线Z：2x—y+2=0交于P,Q两点，求|PQ|.

17.(本小题15分)

如图，三棱锥P-4BC的边BC上存在一点D,使得平面P4D底面力BC,且PD_L平面R4B,过点P作PE1

AD,垂足为E.

(1)证明：AB_L平面PAD；

(2)若力B=2。=2,AP=PD,BD=2CD,求PD与平面PAC所成角的正弦值.

18.(本小题17分)

平面直角坐标系比。y中，已知点&(—2,0),尸2(2,0)，动点P满足IP&I-=±2，百，记点P的轨迹为曲

线C.

(1)求C的标准方程；

(2)若直线/：丫=/^+，1与(7交于4B两点，且瓦？•布＞9,求k的取值范围.

19.(本小题17分)

平面直角坐标系久。y中，已知椭圆C：捻+3=l(a〉6〉0)的左、右焦点分别为F2,离心率为：，经

过尻且倾斜角为8(0＜6＜今的直线/与C交于4,B两点(其中点力在x轴上方)，且△ABF?的周长为8.现将平

面xOy沿x轴向上折叠，折叠后4,B两点在新图像中对应的点分别记为公,B],且二面角&-0尸2-4为

直二面角，如图所示.

折叠前折叠后

(1)求折叠前C的标准方程；

(2)当。=轲，折叠后，求平面名尸出与平面人/声夹角的余弦值；

(3)探究是否存在。使得折叠后△&/F2的周长为苧？若存在，求tcm。的值；若不存在，说明理由.

参考答案

l.c

2.C

3.B

4.C

5.4

6.D

1.A

8.B

9.BD

10.AD

11.ABD

12.y=±|x

13-

14.2

15.解：(1)等差数列｛即｝的前几项和为％,设公差为d,

1

由的=2,S3=2a3，可得3x2+-x3x2d=2(2+2d),

解得d=2,

则a九=2+2(n-1)=2n,九eN*；

(2)9=T-=工一士

Sn|n(2+2n)九九+1

wr汨T_11,11,,11_1_n

可得〃=1-尹］/…+丁市=11一市=市.

16.1?：(1)设圆的标准方程为(x-a/+(y-6)2=产,

△4BC三个顶点分别是4(一1,5),B(5,5),C(6,—2),

f(-l-a)2+(-5-b)2=r2径=2

则((5—a)2+(5-6)2=产，解得卜=1,

((6—a)2+(—2—b)2-r2(r=5

故圆M标准方程为。-2尸+(y-I)2=25；

(2)设PQl,yl),QQ2,y2),

联立图UK2/)25,解得/=2或久2=-2,

2

故|PQ|=V1+k\x2—久il=x4=

17.(1)证明：因为平面PAD1■底面4BC,平面PADC底面ABC=4D,

PE1AD,PEu平面PAD,

所以PE1平面ABC,

又ABu平面力BC,所以PEIAB,

因为PDl平面PAB,ABu平面ABC,所以PD1AB,

又PECPD=P,PE、PDu平面PAD,

所以4B1平面PAD.

(2)解：以4为原点，AB,4D所在直线分别为x,y轴，作力z〃PE,建立如图所示的空间直角坐标系,

由(1)知48_L平面PAD,

因为力Du平面PAD,所以力

又AB=AD-2,所以BD=2A/-2,CD=|BD=V~2,

因为PD1平面PAB,PAu平面PAB,所以PCIPA,

而2P=PD,AD=2,所以△PAD是等腰直角三角形,

所以4(0,0,0),P(0,l,l),D(0,2,0),C(-1,3,0),

所以丽=(0,1,-1),AP=(0,1,1)，AC=(-1,3,0)，

设平面P4C的法向量为记=(x,y,z),贝俨•竺=y+z=。,

(m-AC=—x+3y=0

取y=l,则汽=3,z=-l,所以记=(3,1,—1),

设PO与平面R4C所成角为仇则sin。=|cos<丽，m>\==噂^，

1\黑PD\-\*m\=V2XV1111

故PD与平面24c所成角的正弦值为名.

11

18.1?：(1)根据题意可得曲线C是以&(-2,0),F2(2,0)为焦点，实轴长为的双曲线,

c=2,a=V-3,•••b2—c2—a2=1,

双曲线C的标准方程为卷-必=1；

(2)设力(久1，%)3(久2，丫2)，

联立e2=,得(3/—I)x2+6/2fcx+9=0,

1%—3y—3

则Ll=72k2—36(31一1)>0，解得左e(T，D且4*±-'

P,6AA2/C9

+%2=7f%7=7，

l-3kz3k-1

2

•••yry2=(fc%i+7-2)(t%2+V_2)=kx1x2+7-2^(%1+%2)+2

9k2/2/c-672/c,3k2-2

=目-^T+2=E

:.OA•OB>9可化为：x1x2+y02>9,

9.3k2-2小

•*---Q---1---5-->9,

3k'—l3〃—1

*>9,

3k-1

《<k2<|,，ke(点,一苧口小，白

综合可得々的取值范围为(-苧,-?)u(?，苧).

rc_1

19.解：(1)由题意得：］,

<a2=Z)2+c2

a=2

解得b=V-3，

c=1

故折叠前椭圆c的标准方程q+<=1.

43

(2)当。=鄂寸，直线/的方程为：y=V~3(x+1)，

联立4十3一工,

y=AA3(X+1)

解得2(0,O，B(—I，—手,0)，

以原来的久轴为%轴，y轴正半轴所在直线为z轴，y轴负半轴所在的直线为y轴建立空间直角坐标系，如图所

则4(0,0,6),/(-|,-争,0)，6(品1,0,0)，F2(1,0,0),

故硫=(一葺，等,0)，研=(—1,0,0)，

设平面4/1七的法向量为沅=(x,y,z),

(―>口D>n(133A/-3

则1nl.2=°,即一手“一丁y=N°,

⑺-F2Ar=0(_*+=0

取z=3,则％=3V3,y——13,

故记=(3V-3,—13,3),\m\=V27+169+9=V205.

平面B16F2的一个法向量为五=两=(0A/3)，

iZ..—>m-n3V-337205

故COS〈m，m=砌=y27+169+9XV3=下厂'

设平面当&尸2与平面所成的角为a，

cosa=|cos{m,n)|=唱段，

即平面/&尸2与平面a/iB所成角的余弦值为嚼

(3)以原来的x轴为x轴，y轴正半轴为y轴，y轴负半轴为z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

设折叠前B(x2,y2)>则折叠后力式打,打,0)，B1(x2,0,-y2')>

设直线2的方程为刀=my-1,其中瓶另=Jn，

，ktan。

常,y2_1

联立了+至-1,消去X,

x=my—1

得（3m2+4）y2—6my—9=0

显然△＞（）,且为+%=品2为力=一舄牙

由M1F2I+IB1F21+I&B1I=