2024-2025学年高三数学教材拓展：圆锥曲线（解析版）

教材挖掘拓展12：圆锥曲线

教材挖掘拓展1：圆锥曲线的由来

【链接教材】人教A版选择性必修第一册P104第三章序

【应用1】2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.

古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.用垂直于圆锥的轴的

平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥

的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支

（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线）.现用一个垂直于母线的平面去截一

个等边圆锥（轴截面为等边三角形），则所得的圆锥曲线的离心率为.

【答案】昱

3

【解析】如图口是等边三角形，设棱长为12,不妨过点A作垂直于母线P3的平面，得

到截面曲线为椭圆，截面过的中点则椭圆长轴长2。=|AM|=66，

取线段AAf的中点。，连接P。'并延长交A3于点Q,过Q作EPLAB交底面圆于点

E,F,连接PE,PE分别交椭圆于点G,H,则椭圆短轴长26=|GH|,且EE//GH,

取中点N,连接MN,则AfN//PQ,|PQ|=2|MN|,\QO'\=-\MN\=-\PQ\,

24

2b\PO'\33

因此即26=—|EE|,显然Q,N是线段AB的两个3等分点，

\EF\\PQ\44

即IA。|=4,|8。|=8,由相交弦定理得|EQf=|AQ||BQ|=32,解得|EQ|=4A/L

于是加=»侬-收2—也

a6

试卷第1页，共26页

教材挖掘拓展2：动点与两定点斜率关系的轨迹问题

【链接教材1】(人教A版选择性必修第一册P期例3)如图，设A,B

两点的坐标分别为(一5,0),(5,0).直线AM,3M相交于点且它

44

们的斜率之积是一§(教材P⑵探究斜率之积是§),求点”的轨迹方

程.

解：设点〃的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(一5,0),所以直线AM的

，-y

斜率上I(%W—5).

JiIJ

同理，直线3M的斜率kBM=~^(x#5).

由已知，有=-H(xW±5),

JiIJ人J/

化简，得点M的轨迹方程为昌+盖=1户±5).点〃的轨迹是除去(一5,

~9~

0),(5,0)两点的椭圆.

此类问题在教材P109练习T4,P126练习Tl，P139习题3.3综合运用Tu，P145

复习参考题3综合运用T9中多次呈现，是典型的通过动点与两定点斜率关系来

确定点的轨迹问题.

拓展:一般地，A(-a,0),B(a,0)(a>0)是两定点，直线MA与直线M3交于

点两直线的斜率分别为左1，k2,若

⑴防左2=犯?0)

当衣0,且丸W—1时，点M的轨迹是以A,3为顶点的椭圆(去掉点A,B),

当丸=—1时，点〃的轨迹是以A,3为直径的圆(去掉点A,B),

当丸>0时，点”的轨迹是以A,3为顶点的双曲线(去掉点A,B).

【链接教材2】(人教A版选择性必修第一册P139习题3.3TH)已知A,3两点

的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,相交于点且直线AM的斜率与直线

的斜率的差是2,求点M的轨迹方程.

【答案】y=l-x2,(xw±l)

试卷第2页，共26页

【解析】设M（x,y）,则凝--==2,整理，得丁=1一/，（XR±1）.

x+1x-1

动点尸的轨迹方程是y=l—V,（xw±l）.故答案为：y=l-x2,（"±1）.

拓展：由后一左2=九得-=九

丸丸Q

即丁=—五f+了，点”的轨迹是顶点为的抛物线（去掉点A,B）.

M—左2=〃4W0）,点〃的轨迹是抛物线（去掉点A,B）.

【链接教材3】（人教A版选择性必修第一册九5复习参考题3T9）,已知A,2两点的

坐标分别是（-1,。），（1,0）.直线AM,相交干点且它们的斜率之和是2,求点M的

轨迹方程.

【答案】x2-xy-l=0（x^±l）

【解析】设M（x,y）,因为直线AM,的斜率存在，所以xw±l,

因为左■+左BM=2,即上+上=2,整理可得/一移一1=0,

x+1x-1

所以点M的轨迹方程为V-盯—l=0（xw±l）.

拓展：由—九得意+言=九即尸^X一誓•点M的轨迹如

图所示.

yy=x

（3）M+攵2=犯£0）//\

当7<0时，点M的轨迹是以直线x=0与直线y—„----x―\

=—x为渐近线的双曲线（去掉点A,3）,/||

当丸>0时，点M的轨迹是以直线x=0与直线y=x为渐近线的双曲线（去掉

点A,B）.

【链接教材4】（人教A版选择性必修第一册P"练习T4）已知A,3两点的坐标分

别是（—1,0）,（1,0），直线AM,相交于点M,且直线AM的斜率与直线的斜率的商

是2,点M的轨迹是什么？为什么？

【答案】点M的轨迹是直线久=一3,并去掉点（一3,0）

【解析】设点M的坐标为O,y）,则%”=系（％力-1），kBM=g（*Kl），

当y*0时，警=*=2,整理得x=-3（yK0）,

试卷第3页，共26页

所以点M的轨迹是直线x=-3,并去掉点（-3,0）.

拓展：｝=970,且2W1）,点〃的轨迹是与A3垂直（除去与x轴的交点）

的直线.

证明：（1）设点M的坐标为（x,y）.由后左2=2（4W0）得~^一•一^一=2,

JCIClXCL

即h^—y1=Xa1.

①当A=一1时，/十9=4,点M的轨迹是以（0,0）为圆心，半径为〃的圆

（去掉点A,B）.

，V2

②当2＜0,且2W—1时，/U2—丁2=筋2即为三十［2=1.

a-Aci

点M的轨迹是以A,3为顶点的椭圆，

而且当水一1时，点”的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（去掉点A,B）,

当一1＜丸＜0时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（去掉点A,B）.

③当丸＞0时，lx2—y2=Atz2,即为”—苏=1.点”的轨迹是以A,3为顶

点，焦点在x轴上的双曲线（去掉点A,B）.

特别地，当丸=1时，点舷的轨迹是等轴双曲线.

k、x~\~ci1+21+2

（4）由鼠=A=A,即x=^—o（yWO）,点”的轨迹是去掉点（"）一7

人2y1—z1—z

x—a

A+1

0）,与九轴垂直的直线7a.

X—1

［易错提醒］ki,心的不同关系（即加减乘除关系），可得到直线（去点）、

圆、椭圆、双曲线（都去掉点A,3）等重要轨迹，但是在做题时要注意分类讨

论.

教材挖掘拓展3：圆锥曲线的第二定义：圆锥曲线的统一定义

【链接教材1】（人教A版选择性必修第一册P您例5）动点M（x,y）与定点歹（4,0）的

距离和它到定直线/:尤='的距离的比是常数一，求动点M的轨迹.

43

试卷第4页，共26页

解：设d是点〃到直线/的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合

22

将上式两边平方，并化简，得7f—9丁=63,即土-J.

97

所以，点M的轨迹是焦点在无轴上，实轴长为6、虚轴长为2J7的双曲

线(图3211).

【链接教材2](人教A版选择性必修第一册Pi”例6)动点M(x,y)与定点9(4,0)的距

离和M到定直线/:久=胃的距离的比是常数g求动点M的轨迹.

45

解：如图3.1-12,设“是点M到直线=弓的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合

。=冈等=才由此得隼产

将上式两边平方，并化简，得9/+25y2=225,即卷+?=L

所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.

【链接教材3】(人教A版选择性必修第一册％用信息技术探究点的轨迹：椭圆)

20

设动点M与定点F(c,O)(c>0)的距离和M到定直线/：了=幺的距离的比是一(a>c),求

ca

动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

【解析】设动点M(x,y),设d为点M到直线/的距离,

由题意得早

22

左右同时平方，化简可得幺2CX小

(x-c>+y2=W=aH---------2cx,

aca

所以(•-/)尤2+a2y2=42(/_°2),令/一「2=匕2,

22

所以。必=。》

2+a2y222,即=+二=1(。〉6〉0),所以动点M的轨迹方程为

ab

工+3=l(a〉6〉0),为焦点在x轴，长轴为2a,短轴为2b的椭圆.

ab

试卷第5页，共26页

轨迹为椭圆；

?2

当e>l时，a<c,令反=，一片,得兴—^2=1,轨迹为双曲线.

结合抛物线的定义，可知圆锥曲线的统一定义成立.

拓展1：圆锥曲线的统一定义(也称第二定义)：平面内到定点R的距离与到

定直线/(R双)的距离之比为常数e(e>0)的动点的轨迹是圆锥曲线.其中，定点R

为圆锥曲线的焦点，常数e是圆锥曲线的离心率，定直线/为圆锥曲线的准线.

当0<e<l时，曲线是椭圆；当e>l时，曲线是双曲线；当e=l时，曲线是抛

物线.

拓展2：焦半径公式

2

【应用1】(人教A版选择性必修第一册Pm练习T2)经过椭圆：+y2=i的左焦

点A作倾斜角为60。的直线/,直线/与椭圆相交于46两点，求的长.

【答案】随

7

2

【解析】•••椭圆方程为晟+y2=1,.•.焦点分别为&(―1,0),F2(l,0),

・•・直线4B过左焦点Fi倾斜角为60。，.・・直线4B的方程为y=V3(x+1),

将4B方程与椭圆方程消去y,得7宠2+12x+4=0设4(%i，%)，B(x2,y2).可得

2

%1+x2=-y,x/2=三ki_犯1=J(-y)-4=竽

因此，|4B|="+3,%—亚1=.故答案为:

【应用2】已知点A(—2,小),设/为椭圆旨=1的右焦点，M为椭圆

上一动点，求|“川+2比0的最小值，并求此时点M的坐标.

【解析】如图，过点A作右准线/:x=8的垂线，垂足为N,与椭圆交于点

M.

因为椭圆的离心率e=T,

所以由第二定义得2|MF|=,

所以|MA|+2|MW的最小值为|AN|的长，且|AN|=2+8=10,

所以|MA|+21Mbi的最小值为10,此时点M的坐标为(2小，小).

试卷第6页，共26页

椭圆的焦半径公式:

22

【应用3】已知椭圆石：=+:=1（。>6〉0）的左、右焦点分别为耳,耳,尸为椭圆上不

ab

与顶点重合的任意一点，/为△尸耳工的内心，记直线。尸/的斜率分别为勺/2,若

k\=，2,则椭圆E的离心率为.

4

【解析】设尸（5，%），/（%/%），设圆与尸耳,「工,工轴相切于点M,N,T,

所以|PM|=|PN|,闺闾=山7|,优时=优乙所以出T|+|PN|+|N闾=a+c,

即⑶T|+pK|=o+c,所以闺T|=x,+c.由椭圆的第二定义可知归闾=o—%,

所以|耳刀=。+。一（。一气），所以为=%,由等面积法得到

—(2(7+2c)y=—x2cy,所以y,=―U.因为左i=—修，所以

2r20c+〃4

A=1XO+C；所以”=4c,即6=’.故答案为：-

xn4CXO44

a

教材挖掘拓展4：圆锥曲线的第三定义

若平面内一动点与两定点Ai(—a,0),A2(a,0)(或4(0,-a),A2(0,a))连

线的斜率的乘积等于常数e2—1,则动点的轨迹为椭圆或双曲线.其中两定点为

椭圆或双曲线的顶点.当0<e2<l时为椭圆，当e2>l时为双曲线.

根据椭圆、双曲线的第三定义，可得到以下常用结论：

22

性质1：椭圆三+与=（a〉6〉0）上任意一点（不是长轴端点）与长轴的两个端点的连线斜

ab

率之积为一4（=e?-1）；

a

2

证明：设A(—a,0),B(a,0),P(xo,泗)(泗。0),贝1kpA-kpB=层

，看।高、/(。2一君)

又方+*=1,所以％=^"(1-^2)=/

C4-UCXL4-

/b2（后一看）1吩

所以扇•姓B=高二了=”.至二了=右一1

试卷第7页，共26页

性质2:椭圆・+今=（a〉匕〉0）中弦所在直线斜率与弦中点与原点连线斜率之积为

类似地：双曲线与-2=（。，6〉0）上任意一点（不是左右顶点）与实轴的两个端点的连线

的斜率之积为与（=e2-l）,双曲线二―1=（q,6〉0）中弦所在直线斜率与弦中点与原

点连线斜率之积为勺（=e2-l）

【应用1】已知A,3是双曲线E的左、右顶点，点M在E上，AABM

为等腰三角形，且顶角为120。，则E的离心率为（）

A.小B.2C.小D.y[2

【解析】设双曲线E:六—京=1（«>0,b>0）,设点“在双曲线的右支

上，由题意，/A3胫=120°,ZBAM=ZBMA=3Q°,设点N为x轴上且在点3

右侧一点，则/MBN=180°-ZABM=60°,所以直线AM和直线BM的斜率分

别为卓和小，由双曲线第三定义，得厩如&共三V

所以离心率e=\j2.

教材挖掘拓展5：焦点三角形

22

（人教A版选择性必修第一册P“5习题3.1T5）已知尸是椭圆2+匕=1上的一点，

54

且以点P及焦点F1，尸2为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标.

【答案】（综1），（-综1），律T），（-手T）.

【解析】由椭圆方程可得尻（—1,0）,尸2（1,0）,P®y）是椭圆上一点，

则SgL泄尸21小1=加=1，代入椭圆9+*1，则|%|=亨,

所以点P的坐标为（半，1）,（—誓，1）,（苧厂1）,（—苧，—1）

拓展：（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）（常利用第一定义和正弦、余弦

定理求解）设椭圆或双曲线上的一点P（%,%）到两焦点耳，耳的距离分别为小马，焦点

试卷第8页，共26页

A耳桃的面积为S.

5.1椭圆焦点三角形

222

YV22b

在椭圆下+T=1中，(1)cos6=-----1,且当｛二々即尸为短轴端点时，。最大，

abr1r2

_2n

2

^^max=<cos6»)min=——；(2)S=btan-=c|,v0|,

a'2

(3)当|为1=6即P为短轴端点时，的最大值为be；

(4)焦点三角形的周长为2(。+c).

(5)当时，即点尸的位置为短轴端点时，0最大；

5.2双曲线中焦点三角形

22

在双曲线二―1=1(。〉0,6〉0)中，F],6分别为左、右焦点，尸为双曲线上一

ab

点，=0,AP4鸟的面积记为S"F但,则：

ZFXPF2

(1)焦点三角形面积公式LSAPF|F2=^\F1F2\\yp|=c|

II.cos6=l-^-III.S、PFF=~lPF\IIIPF21sin^IV.

牡122-

S上

tan—

2

(2)若焦点三角形尸的内切圆与切于点Q，则点。为双曲线的顶点.

注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线

的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.

22

【应用1】(多选)已知双曲线C：q—==1(。〉0,6〉0)与直线丫=1«交于人、B两点，

ab

点P为C上一动点，记直线PA,PB的斜率分别为kPA欢P5,C的左右焦点为《，尸2,若

kpA-kpB=；，且C的焦点到渐近线的距离为1,则下列说法不正确的是()

A.C的离心率为三B.若P在右支上，则公尸打工的内切圆与x轴相切于右顶点

C.若PF]1PF2,则AP^F2的面积为2

试卷第9页，共26页

D.若"FR的面积为2A/5,则AP片F2为钝角三角形

【答案】AC

e===

【解析】kPA.kPB=-T=71J~2~}~~2~，故A错误，C的焦点到渐近

at"\aja乙

b2

线的距离为b=l,（由双曲线焦三角形的性质知B正确；S*FF=---------=1,故C错误;

tan45

对于D选项，设P（x0,先）,S"F岛=1l耳网।>ol=V5|JOI=2A/5,|蒲=2,代入

2—

y-/=l,得1/1=2岔,由对称性，不妨取P（2技2）

EP-EF；=（V5,2）-（-275,0）=-10<0,NP工片为钝角，故D正确.

教材挖掘拓展6：焦点弦三角形

椭圆和双曲线统称为有心圆锥曲线.有心圆锥曲线一个焦点弦的两个端点与另一个焦点构成

的三角形称为有心圆锥曲线的焦点弦三角形

【链接教材】（人教A版选择性必修第一册P。练习T3）已知经过椭圆1

2516

的右焦点4作垂直于X轴的直线4B,交椭圆于4B两点后是椭圆的左焦点.

（1）求44&B的周长；

（2）如果28不垂直于%轴/4&B的周长有变化吗?为什么？

【解析】（1）由椭圆的定义得：|4Fi|+|4F2l=2a=10,|BFi|+|BF2「=2a=10,

所以2MF1B的周长为MF/+\AF2\+IBFJ+\BF2\=4a=20.

（2）不变，由椭圆的定义的周长为M&I+MF2I+由&I+IBF2I=4。只受a的影

响，不受28与％轴的位置关系影响.

拓展：探究焦点弦三角形的周长和面积，焦点弦三角形的面积最大值是多少？

教材挖掘拓展7：直线与抛物线（双曲线）只有一个公共点问题

【链接教材】（人教A版选择性必修第一册巳39习题3.3T12）已知抛物线的方程为

y2=4x,直线/绕点P（-2,1）旋转，讨论直线/与抛物线/=4%的公共点个数，并回答下

列问题：

（1）画出图形表示直线/与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线/与抛物线只有一

个公共点时是什么情况？

试卷第10页，共26页

（2）y2=4x与直线/的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？

【答案】（1）相切或相交于一点；（2）相等.

【解析】（1）直线1与抛物线的位置关系有相交、相切、相离三种，如图：其中相交时有相交

于两个公共点和相交只有一个公共点（图中直线/o）,

观察图形知，直线/与抛物线只有一个公共点时，直线/与抛物线相切（图中直线/i,与和

相交于一个公共点（图中直线/o与x轴平行）；

（2）直线/的斜率存在时，设直线/的斜率为鼠方程为丁-1=左（％+2）,即

米一,+2左+1=0,

kx—y+2左+1=0

由《2\消去X得：4y+4（2左+1）=0,

=4x

:0时，产1,x=~,方程组只有一个解，由图知直线/与抛物线相交，只有一个公共

4

点，直线/的斜率为0；

"wO时,A=16—16左（21+1）=—16（24—1）（1+1），

△=0,左=,或左=一1时，方程组有两个相同的实数解，由图知直线/与抛物线相切，只

2

有一个公共点，直线/的斜率分别为1；

2

△>0«e（-l,O）u（O,g）时，方程组有两个不同的实数解，由图知直线/与抛物线交于两

试卷第11页，共26页

点，直线/的斜率左e(—1,0)5。,；)；

△<0,左€(-8,-1)U(；,+8)时，方程组没有实数解，由图知直线/与抛物线相离，没有

公共点，直线/的斜率左6(—8,—1)U(L+8)；

2

x--2

直线/的斜率不存在时，/的方程为广-2,显然方程组42/没有实数解，由图知直线/

与抛物线相离，没有公共点，直线/的斜率不存在，

所以抛物线=4x与直线/的方程组成的方程组解的个数与抛物线产=4%与直线/公共

点的个数相等.

拓展：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和

相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与

抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

22

(2)过双曲线二一仁=1外一点P(%,%)的直线与双曲线只有一个公共点的情况

a"b"

如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分

别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内

时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐

近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时

不存在这样的直线；(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两

条切线和一条平行于对称轴的直线。

2

【应用】已知点尸(1,2)和双曲线C:Y一》=],过点P且与双曲线C只有一个公共点的直

线有()

A.2条B.3条C.4条D.无数条

2

【解析】由题意可得，双曲线/一二=1的渐近线方程为、=±2不点(1,0)是双曲线的顶

4

点,

①若直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=l,此时，直线/与双曲线C只有一个公共

点，合乎题意；

②若直线/的斜率存在，则当直线平行于渐近线y=-2x时，直线/与双曲线只有一个公共

点.

若直线/的斜率为2,则直线/的方程为y=2x,此时直线/为双曲线c的一条渐近线，不合

试卷第12页，共26页

乎题意.综上所述，过点尸(1,2)与双曲线只有一个公共点的直线/共有2条.故选：A.

教材挖掘拓展8:抛物线的性质

(1)过抛物线V=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于

22

4>1，%)3(%,%),则有为%=~p,xlx2=4p,

即％.KOB=-；(。为原点)

①4%,%)3区,%)，则有=-=4忧即降=-；(。为原点)

②加三七阿=7^(。为AB的倾斜角).

③表+看为定值家

④焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：

p211

SAAOB—品=乎8|⑷=祁才1如一M

⑤以AB为直径的圆与准线相切.

⑥以AF或为直径的圆与y轴相切.

⑦过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上

【链接教材1】(人教A版选择性必修第一册九6例5)经过抛物线焦点厂的直线交

抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点。，求证：直线

平行于抛物线的对称轴.

分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线

与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只

要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.

证明：如图3.3-5,以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平

面直角坐标系x°y.设抛物线的方程为V=2px(p>0),①

点A的坐标为］,,%)为H0)，则直线。4的方程为y=芋》，②/力

抛物线的准线方程是X=-4.③'

2

»2

联立②③，可得点D的纵坐标为一幺.

为

因为焦点厂的坐标是已,0,当时，直线A尸的方程为

试卷第13页，共26页

联立①④，消去x,可得p2）y—%"2=0,即

（y-%乂%y+22）=0，

p2

可得点2的纵坐标为一匕，与点。的纵坐标相等，于是。3平行于x轴.

为

当¥=p2时，易知结论成立.所以，直线。3平行于抛物线的对称轴.

【链接教材2]（人教A版选择性必修第一册P⑶练习T4）两条直线y=丘和

y=-履分别与抛物线丁=2px（p>0）相交于不同于原点的A,B两点,左为何值时，直

线AB经过抛物线的焦点？

【答案】k=+2

【解析】•.•直线y=履和y=-近斜率互为相反数，且都过原点，则两直线关于X轴对称,

又抛物线V=2px（p>0）关于％轴对称，焦点坐标为已0）

则A,B两点关于％轴对称，

iX-2PV

)

由

<^即A

1

功

—y-T

要使直线经过抛物线的焦点，则卫=',解得左=±2,

k-2

所以当人=±2时，直线A2经过抛物线的焦点.

【链接教材2]（人教A版选择性必修第一册P.例4）斜率为1的直线/经过抛物线

,2=4%的焦点尸，且与抛物线相交于A,8两点，求线段的长.

下面介绍另外一种方法一一数形结合的方法.

在图3.3-4中，设A（x[，x）,B（x2,y2）.由抛物线的定义可知，|A/|等于点A到准线的

距离|A4'|.由0=2,修=1,得|A4[=X]+K=X]+1,于是|A7q=X]+l.同理，

试卷第14页，共26页

\BF\^\BB'\=X2+-^=X2+1,于是得

IAB|=|AF|+|BF|=石+%+P=石+/+2.

由此可见，只要求出点A,B的横坐标之和玉+々，就可以求出

解：由题意可知，0=2,R=l,焦点产的坐标为（1,0）,准线方程为％=-1.如图3.3-

2

4,设A（/x）,B（x2,y2）,A,B两点到准线的距离分别为口，dB.由抛物线的定

义，可知|AP|==再+1，IBF|==x2+1,

于是|AB|=|AF\+\BF^Xl+x2+2.

因为直线/的斜率为1,且过焦点厂（1,0）,所以直线/的方程为

y=x-i.①

将①代入方程V=4x,得（x—l）2=4x,化简，得/一61+1=0.

所以％+%2=6,|48|=%+%+2=8.所以，线段的长是8.

【链接教材3】（人教A版选择性必修第一册九8习题3.3T5）如图，M是抛物线

V=4x上的一点，尸是抛物线的焦点，以及为始边、EM为终边的角NxfM=60°,求

\FM\.

【答案】|9|=4

【解析】抛物线）？=4x的准线为％=-1,过M作MB垂直于直线x=-1,垂足为8,

作物，MB于A,直线x=-l与x轴交于点K,如图：

则MB//尤轴，即=NxFM=60°，四边形A3KP是矩形，R/0A/E4中，

\MA\=^\FM\,

由抛物线定义知IMB|=|FM|,/（1,0）,而

\MA\+\AB|=|WB|,|AB|=|KF\=2,

则L|FM|+2=|FM|,解得|加|=4,所以|EM|=4.

2

［应用1］（湖北省鄂州市鄂南高中2024届高三下学期高考模拟T"）已知抛物线

试卷第15页，共26页

C:y2=2px（p>0）的准线方程为户一1,过抛物线C的焦点尸的直线/交抛物线C于A,B

两点，则下列说法正确的是（）

A.以AF为直径的圆与y轴相切

B.设Q（3,2）,则AQA尸周长的最小值为4

C.若加=2雨，则直线/的斜率为2a或-20

D.x轴上存在一点N,使4期+软陷为定值

【答案】ACD

【解析】A选项，抛物线。：>2=2°«>0）的准线方程为产_1,所以5=1,贝|p=2,

所以抛物线C:y2=4x,如图，取AP的中点为D,过点。作y轴的垂线，垂足为2,

则AAJ/OF,DDt是梯形OFAA的中位线，

由抛物线的定义可得|A&HACH4C=|AFT，

~.\OF\+\AA,\1+lAFl-l\AF\

所以DR=J一=—J―」=J^,

11222

所以以AP为直径的圆与y轴相切，故A正确；

B选项，如图，过点A作准线的垂线，垂足为C,交y轴于

A,F（1，O）,根据抛物线的定义可得|AF|=|AC|,

所以△QAF周长为|A刊+1AQ|+\QF\=|AC|+|AC|+^/（3-1）2+22=|AC|+\AQ\+272,

由图可知，当A,C与点Q三点共线时，|AC|+|AQ|有最小值,

最小值为Q到准线%=-1的距离为3-（-1）=4,所以（|AC|+1AQ%+2亚=4+2也，

所以△Q4尸周长的最小值是4+2夜，故B错误;

C选项，设直线川的方程为xi+l,联立I伊x=…my+1,整理可得一.一4%-4=。，

易知A>0,设AG，%）,8（工2，%），可得%+为=47",%%=-4,

：BF=2FA,，%=一2%,解得%=8"J%=-4〃2,，327"2=4,解得M=

O

;.k=±,-7—±2^/5，因此C正确;

m

试卷第16页，共26页

D选项，设在x轴上存在一点N«,0),

则kAN+kBN==-----—7+------77|一：

xx-tx2-tmy{+l-tmy2+l-t

=2/盯+2m(-4)+4(lT)"

m2yly2+07)机(％+%)+(17丫-4m2+4(l-/)m2+(l-r)2

2m(-4)+4(1-/)机-4m(z+1)

-4m2+4(1-0加2+0_/J(]_/J_4m2/，

故当r=-l时，左期+%BN=。，即存在点N(-1,O)使得左她+左9为定值0.故D项正确.

故选：ACD.

教材挖掘拓展9:抛物线的重要结论2

【链接教材1】(人教A版选择性必修第一册P忸习题3.3T6)如图，直线

y=x-2与抛物线J?=2x相交于A,B两点,求证：OA±OB.

[y=x-2。

【解析】由＜2个得y-2y-4=0,设A(再,%工例々，％)，

y=2x

则有X%=—4，玉々=花•义=^^=4，

224，y

OAC)B=\x2+=4+(-4)=0,即厉J_砺，所以OA_LOB.

拓展：结论：直线1与抛物线C：V=2px交于A,B两点，。为坐标原

点，且。4，。8,则直线/过定点(2P,0),反之亦成立

【链接教材2】(人教A版选择性必修第一册Pus复习参考题3T10)如图，已知直

线与抛物线：/=2力(2＞0)交于48两点，且。4,OB,a)_LAB交A3于点。，点

£＞的坐标为(2,1),求P的值.

试卷第17页，共26页

【解析】：.kOD=^,-.-ODLAB,：.kAB=-2,

则直线AB的方程为：y-l=-2（x-2）,即y=—2x+5,

设AB两点的坐标分别为A（x1,y1）,B（x2,y2）,

y2二2DX

联立〈■',消X得：/+py-5p=Q,.,.x%=-5p,

y=-lx+5-

—.—.y2y2255

OAJ_OB,OA-OB=X1%2+%%=——二-+%%=-----5p=0,p=一.

2p2p44

教材挖掘拓展10：圆锥曲线的光学性质及其应用

【链接教材】选择性必修一P140阅读与思考：圆锥曲线的光学性质及其应用

【应用1]椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，

反射光线交于椭圆的另一个焦点上.请根据椭圆的这一光学性质解决以下问题：已知椭圆C:

22

R+工=1,其左、右焦点分别是第，F2,直线/与椭圆C相切于点P,且I尸居1=2,《关于

直线/的对称点为居'，过点P且与直线/垂直的直线/'与椭圆长轴交于点则下列结论正

确的是（）

JT

A."PF?.B.F；,p,B三点共线

C.NRPM=NF2PMD.忸=

【答案】BCD

【解析】由题意可知：a=4,b=3,c=da2-H=布,即因用|=2疗，

尸耳|+|尸盟=8,则忸闾=6,

」.cosR工」呐：用即”=；,且N甲里e（O,江贝I]/甲迅旧，A错误；

根据结合光线反射可知：ZF1PM=ZF2PM,C正确；

设用ZrV=N,根据对称可知：NF\PN=NF：PN,

：.ZF}PF2=ZF^PFl+ZF}PF2=2(ZFlPN+ZFiPM)=2ZNPM=n,故耳'，P,6三点共

线，B正确;

在党加中,由正弦定理号:闺尸I\FtM\sinZFtPM

sin/耳MP，人」,尸|sinZFtMP

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FMsinZFPM

同理在口后尸”中得22

sinZF2MP

•「NF2Mp=7t-/F[MP,贝Usin/F2Mp=sin（兀一ZFiMP）=sinZF{MP,

*FM\FP1

皿优MXX

贝。-----=I----------=—即闺闾:叵闿=1:3D正确;

FM\FP3

国尸「