2024-2025学年广东省广州市高二年级上册第二次质检数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年广东省广州市高二上学期第二次质检数学

检测试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.直线6》一3/-1=°的倾斜角为（）

A.30。B.135。C.60。D.150。

2.如图，已知正方体耳G2的棱长为1,以。为原点，以便为

单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面48G的一个法向量是（

B.（TU）

C（1，-14）D.（1，-1）

3.己知向量"=（°Q2）,*XT」」），向量5在向量。上的投影向量为（

A.（°，°，3）B.（°，°，6）

C.（T3,9）D（3,-3,-9）

4.圆（x+2y+&+3）2=2的圆心和半径分别是（）

A.（-2,3）,]B.（2，-3）,3C.（々一“*D.*

5.将直线/-7+1=°绕点（°」）逆时针旋转90。得到直线£则4的方程是（）

Ax+y-2=0Bx+y-\=0Q2x—y+2=0口2x—y+1=0

6.空间中有三点尸一2）,M（2,-3,l）,N（3,-2,2）,则点p到直线出的距离为

（）

A.2&B.26C.3D.2石

7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定

点A、B的距离之比为定值〃彳*1）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他

的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系X。中，

1^1_1

/（-2,0）,8（4,0）,点尸满足|尸为2,设点尸所构成的曲线为C,下列结论不正确的是

（）

A.。的方程为（x+4）2+/=16

B.在C上存在点。，使得。到点（1』）的距离为3

C.在°上存在点使得

D.。上的点到直线3尤-4/-13=°的最小距离为1

8.已知尸，°是直线/j7+l=°上两动点，且倒卜生点4T6）,8（0,6）,则

5门+1尸0+1。引的最小值为（）

A.10+V2B.10-V2c.10V2D.12

二、多选题（本大题共3小题）

9.己知加eR,若过定点A的动直线-x一町+"-2=0和过定点B的动直线4：

%X+>+2〃L4=0交于点尸（尸与人，B不重合），则以下说法正确的是（）

A.A点的坐标为（2,1）B.PALPB

C.四+网=25口.2E+阀的最大值为5

10.已知圆Ua+2>+y2=4,直线/：（m+l）x+2y-l+m=0（加eR）,则（）

A.直线/恒过定点（T/）

B.当机=0时，圆C上恰有三个点到直线/的距离等于1

C.直线/与圆C有两个交点

D.圆C与圆/+/-2x+8y+8=0恰有三条公切线

11.如图，在平行六面体/BCD-43cA中，已知"8=/。=/4=1,

ZA}AD=ZAtAB=ABAD=600£为棱CG上一点，且GE=2£C,则（）

V6

ABDX=V2B.直线8'与/C所成角的余弦值为6

c.平面瓦D.直线8R与平面"CG4所成角为7

三、填空题(本大题共3小题)

12.已知空间向量°=(2,3，s),*=(°，2，1),c=(2,7,〃)，若a,b,1共面，则加”的最

小值为.

13.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小

于120。时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三

边的张角相等，均为120°,根据以上性质，已知A-2,0),5(2,0),C(0,4)；P为YABC内

一点，记“BMP川+|M|+|PC|,则/(尸)的最小值为.

14.已知正三棱柱45C-H8C，的底面边长为2«,高为2,点尸是其表面上的动点，

该棱柱内切球的一条直径是MN,则两•丽的取值范围是.

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知圆,+3-4)2=16,过8(0,2)作直线/圆。交于点乱、心

(1)求证：加•丽是定值；

(2)若点”(°T).求储N的值.

16.如图，在空间几何体4BCDEFG中,四边形N8CD是边长为2的正方形，BE,平

面/BCD,CG=1,4E=2,BF=3,CGyAE||BF.

(1)求证：AE，尸,G四点共面.

7后

(2)在线段尸G上是否存在一点M,使得平面E4c与平面肱4c所成角的余弦值为WF?

FM

若存在，求出而的值；若不存在，请说明理由.

17.已知MO/)为圆C：x2+/_4x-14y+45=0上任意一点，

y—4

(1)求x+3的最大值和最小值；

(2)求x2+/-5x-15y的最大值和最小值.

18.我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四

邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智

慧.而英国化学家、物理学家享利・卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪

许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已

知圆C的半径为3,圆心C在直线/：6》一〉+3-6=°位于第一象限的部分上，一条光

线沿直线/入射被*轴反射后恰好与圆C相切.

(1)直接写出/的反射光线所在直线的方程；

(2)求圆C的方程；

(3)点E是圆°与工轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆C相切于点A,并与

x轴交于点B,其在点B处被直线反射后沿着x轴负方向传播，此时的面积恰

3

好为10,求直线加的方程.

19.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面/2c

PD=DC=2AD=2,E是尸。的中点.

/叽/\\X

I。般:........…

•4L-------------

(1)求证：P/〃平面ED8；

(2)求平面功用与平面尸/。夹角的余弦值；

V6

(3)在棱依上是否存在一点尸，使直线即与平面瓦组所成角的正弦值为3,若存在,

求出求线段昉的长；若不存在，说明理由.

答案

1.【正确答案】A

【详解】设直线的倾斜角为"，

—tana——,0°<a<180°

因为该直线的斜率为3,所以3,所以a=30。,

故选：A

2.【正确答案】A

【详解】由题意，4（L°」），8（1,1,0）,G（0,1,1）,

••-4G=（-i,i,o）sq=（-i,o,i）

设〃=（x,y,z）是平面4g的一个法向量，

4cl.五=—x+>=o

则有18G•万=r+z=0,令％=1,得广1,z=l,

.二〃=（1,1,1）

故选：A.

3.【正确答案】A

【详解】由题意可知办小（TL3）,（。+6"=6M=2,

卜〃o6

丁'R=Q《°Z=(o,o,3)

所以向量。+书在向量।上的投影向量为

故选：A

4.【正确答案】C

【详解】由圆的标准方程0+2）一+（"3）2=2,得圆心为（-2,-3）,半径为尼

故选：C.

5.【正确答案】B

【详解】：直线4的方程为4：x-y+i=o,其斜率为1,

设直线4的斜率为左，

/.左=—1.

由题意可知，（0,1）6,（0,1）ed

”的方程为：yT=-（x-0）,即x+y-i=o

故选：B

6.【正确答案】A

【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解

-V3

【详解】因为九W所以加的一个单位方向向量为

用％丽=（1,-1,3）,,\PM\=^/12+（-1）2+32=VTT而4=$（1-1+3）=6

内囚J改II，J

所以点p到直线MN的距离为/-即=而三=2垃.

故选：A

7.【正确答案】C

【详解】对A：设点P（x，y）,

PA\«+2）»」

...函二5,则卮行72,整理得（x+4y+V=16,

故C的方程为（X+4）2+/=16,故人正确；

对B：（x+4）2+/=16的圆心C（4,0）,半径为4=4,

...点（1,1）到圆心GIO的距离4=J（I+4T+（I-。）2=后,

则圆上一点到点（14）的距离的取值范围为［4一04+止［回一4,图+4］,

而-4,后+4）,故在c上存在点〃，使得。到点（U）的距离为9,故B正确;

对C：设点MQy）,

2

8,216

...=21幽，则^x2+y2=2^(x+2)2+y2x+§+y

整理得9

X+1+）=石C2\-7,0r2=~

・•・点河的轨迹方程为卜3）9,是以<3J为圆心，半径3的圆,

48

又匹匕<§=4一々

则两圆内含，没有公共点,

••.在C上不存在点〃，使得=九网，c不正确;

|3X(-4)-4X0-13|

=5

•.•圆心G（T°）到直线3x-4y-13=0的距离为

对D：

••.C上的点到直线3XT"13=O的最小距离为4-4=1,故D正确;

故选：C.

8.【正确答案】A

【详解】不妨设点P（x，x+D在点。的左边，因直线->+1=°的倾斜角为45。,

且附上及,则点。的坐标为（x+Lx+2）,

贝「+|P0|+108|=及+7(X+4)2+(X-5)2+7(X+1)2+(X-4)2

记d=］（x+4）~+（x-5）-+1（x+1）~+（x-4）~

则可将d理解为点M（%x）到“（f5）,C（T,4）的距离之和，

即点£）64,5），0（-1，4）到直线了=》的距离之和，依题即需求距离之和的最小值

如图，作出点C（T4）关于直线了="的对称点C',则C'（4，T）,

连接℃,交直线了=工于点",则|。'|+|。刈即"的最小值，

|C7V|+1DN|=QN|+|CW|=|DC\=^（4+4）2+（-1-5）2=10

_tL,

故|"|+|尸°|+|纱|的最小值为10+收

故选：A.

9.【正确答案】ABC

【详解】因为4：x-叼+5一2=°可以转化为加（17）+x-2=0,

故直线恒过定点/（2」），故A选项正确;

又因为£mx+y+2m-4=0f即广4=-加（x+2）恒过定点8（-2,4）,

(:x—即+加一2=0和4：加x+V-4+2加=0满足1xm+(-^)xl=0

由

所以“与可得尸4上尸2,故B选项正确；

所以照2+lP5|2=I时=（2+2）2+（1一4）2=25,故c选项正确;

因为我，用，设/尸4s=ae为锐角，

则1PH=5cos6\PB\=5sin。

所以2|P24|+|P5|=5（2cos^+sin^）=5V5sin（3+cp^

所以当sing夕）=1时，2］刊+附取最大值5%故选项口错误.

故选：ABC.

10.【正确答案】ACD

【分析】A,将直线变形，即可得到直线过的定点；B,结合点到直线的距离公式，可

得到结果；C,由定点在圆内，即可判断；D,利用圆心距与两圆半径之间的关系即可

判断.

【详解】对于A,直线人（加+1卜+2y-1+加=0（加eR）,所以加x+l）+x+2y-l=0,

Jx+1=0Jx=-1

令1x+2yT=0,解得b=l,所以直线恒过定点（TJ）,故A正确；

对于B,当加=0时，直线/为：x+2了-1=0,

|-2+0-l|_3V5375

u—I---------2--------<1

则圆心C（-2,0）到直线/的距离为VI2+225,5,

所以圆上只有2个点到直线的距离为1,故B错误；

对于C,因为直线过定点（TD,所以（T+2）2+/<4,

所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点，故C正确；

22

对于D,由圆的方程/+/-2苫+8夕+8=0可得，（X-1）+（J/+4）=9；

所以圆心为（L-4）,半径为3,

,,同同、口3J（l+2）2+（-4-0f=5=2+3

此时两圆圆心距为,

所以两圆的位置关系为外切，则两圆恰有三条公切线，故D正确.

故选ACD.

11.【正确答案】ABD

［详解］不妨设/~§7~0=凡-/7。7>=仇I/4=c~,则।\a\=\b^\c\=\,a-b=b-c=a-c=—2.

对于A,因西=丽+西=+±

故BD^=（b-a+^=5|2+回+|c|2+2（-a-b+b-c-a-c^

=3+2x|——|=2i—

I2>,故即=’2,故A正确；

对于B,因西=:+刃+工，贝4元I=JQ+疗=6,

AC,BD、=(〃+/?),(—〃+b+c)

=l++l+=

=-\a^+a-b+a-c-a-b+\b^+b.c-22

设直线8〃与NC所成角为。，则\^C\-\BDX\J3xj26故B正确;

A]E=A,C,+C,E=a+b——c9DD.=c,

对于C,因3

-------一-2-—一一一一2-51121

A.E-DD.=(a+bc)-c=a-c+Z)-c--1c|2=-+0

332233

即4E与不垂直，故4E不与平面8DA4垂直，故c错误；

对于D,因8O=g_a,/C=a+5,/4=c,

因BD-AC=(b—a)-(a+b)=0BD-AAX=(b-a)-c=O

则有BD工AC,BD上AA],因ACc\AAx=A,AC,AAX=平面ACCXAX故g。/平面ACCXAX

即平面/°G4的法向量可取为n=b-a,又82=-4+g+c,

设直线8〃与平面"CG4所成角为。，

因〃=(刃一4).(一a+5+c)=1|z?|=1|BDX|=V2

sin(p=|cos<«,57^)|=—^e(0,-]夕=工

则J.2,因2,故4,故D正确.

故选：ABD.

12.【正确答案】-1

【分析】由空间向量共面定理列方程组得到n=m+2,再结合二次函数的性质解出最值

即可；

【详解】因为"E共面，

所以B=4Q+〃C,

即(0,2,1)=4(2,3,加)+〃(2,7,〃)=(2/1+2〃,3几+7〃,加/1+〃〃)

2几+2〃=0

34+7〃=2n-m=2

成+"〃=1,解得

所以〃=加+2,

所以最小值为T,

故答案为.T

13.【正确答案】4+26/26+4

【详解】设°电°)为坐标原点,由A-2,0),5(2,0),C(0,4),

可得|阳=忸牛2技BC=4,且VABC为锐角三角形，

所以费马点M在线段℃上，如图所示，设“(0，万)，

则为顶角是120。的等腰三角形，可得।।3,

又由〃尸)=|尸川+|PB|+|PC|,

则f(P)>\MA\+\MB\+=—4人+4—分=4+

所以〃尸)的最小值为4+26.

故答案为.4+26

14.【正确答案】网町

【详解】因为正三棱柱的底边长为2应,如图，设V/2C内切圆的半径为r,

—(2V3)2=-x2V3x3r

所以42,得到厂=1,又正三棱柱的高为2,

所以棱柱的内切球的半径为尺=1,与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心,

又“N是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为M,N

而.丽=即+而)®+而)=|呵+防^?+而>而.函=|国I

则

又点尸是正三棱柱表面上的动点,

当尸与M(或N)重合时，的值最小，此时\P°\=l,

由对称性知，当尸为正三棱柱的顶点时，pq的值最大，

…八A,N=-A.H=-XJ(2V3)2-(>/3)2=2

连接4N,并延长交BC于”，则33

\PO\=IAOI=A/12+22=yj'50<\PO\—1<4

此时।Lax।1।,得到JI—.

故[0,4]

15.【正确答案】（1）为定值T2,证明见解析

⑵-1

【详解】（1）若直线/的斜率不存在，则屈（0,0）,阳0,8）,

贝°两=(0,-2),丽=(0,6),所以两.丽=-12；

若直线/的斜率存在，设/：N=^+2,M（XQI）,N（X2，%）,

\y=kx+2

[x2+(jv—4)2=16消去y得(1+左2)x2_4Ax_i2=0

_4k_-12

』+2=I7F'X*2=寸，又丽=(x“M_2),丽=(x2,y2-2),

2

所以BM-BN=再％2+(%—2)(%-2)=xxx2+kxx-kx2=(\+k)xxx2=-12

综上，两•丽为定值72.

7X.+X2=------r

(2)易知直线/的斜率存在，由(1)知1+h

2_

x}+x2_4k*1+左k

所以X\X2]+后2-123得=—3(%]+%2)

必+4kXy+6%+4kx2+6

由Z(0,—4),得再再％2%2,

Axj+6

kAM_/_kxxx2+6X2_-3(%j+X2)+6X2_3x2-3x{_】

2)+

kAN生+6kxxx2+—3(石+工6项3x1—3x2

所以马.

【详解】（1）证明：因为B厂，平面4SCO,/8,8Cu平面4BCD,

所以BFVAB,BFVBC

因为四边形/8CZ）是正方形，所以ABLBC,所以248c,8尸两两垂直，

则以点B为坐标原点，以848c,8/所在直线分别为x轴，V轴，z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，

根据题意，得。（2,2,0）,£（2,0,2）,尸（0,0,3）,G（0,2,1）.

所以瓦=（0,-2,2）,而=（-2,-2,3）,丽=（-2,0,1）

因为DE+DG=（—2,—2,3）=DF

所以共面，

又DEQFQG有公共点D,

所以D,E,F,G四点共面.

（2）解：存在，求解如下：

Z（2,0,0）,C（0,2,0）,则就=（一2,2,0）,方=（一2,0,3）,

设巾=（/，为，Z1）为平面FAC的法向量，

m-AC=0>2尤1+2%=0

则MAF=0,即]-2X|+3Z]=0,令Z]=2,

得平面b4c的一个法向量为加=（3,3,2）.

7位

假设线段尸G上存在点使得平面E4c与平面肱4c所成角的余弦值为WF,

令两=AFG=（0,22,-22）（0<^<1）

则寂=方+前=（-2,22,3-24）

n-AC=0

<

设:=（叼，为*2）为平面跖4c的法向量，则1万•.=（）,

—2%+2%=0

-2X+2为2+(3-22)Z=0

即22

令％=1,得平面跖4c的一个法向量为3-22人

设平面E4c与平面M4c所成角为6,

8__J

„|前•同3-227®

cos6=\-n—r=---------1=----

而FT丁33

则VI3-2#

2=1

化简整理，得（64+11）3T）=°,因为0W%1,所以-2,

7履

所以在线段尸G上存在一点M,使得平面工4c与平面M4c所成角的余弦值为WF,

FM_1

此时FG2.

15+4百15-4百

17.【正确答案】（1）最大值为*,最小值为17

（2）最大值为-50,最小值为-58

【详解】（1）由题可知，（》-2）一+0-7）一=8

尸4_左

设x+3，得直线息7+3上+4=0,

该直线与圆卜一2）2+3-7）2=8有交点即可，所以

圆心,（2,7）到直线的距离要小于等于半径即可，

.一1+34+4|q15-473,15+473

有6+上-解得1717

15-473y-415+473

-------<----<--------

即17x+317

y-415+4615-46

所以於的最大值为*,最小值为17

显然-32>表示点M®y）到点

122）的距离的平方,

22

即

已知也叼)在圆(A2)2+G-7)2=8上,所以^NC\-r\<\MN\<\NC\+r

显然。(2,7),厂=2及

V2

w=~2

所以

572

所以2।।2

22

925

25T

所以

15|一^^[-58,-5。]

x1+y2-5x-15y=x-|I+fy

所以

所以厂+V-5x-15y的最大值为-50,最小值为-58

is.【正确答案】(i)Gx+y+3-G=o；

(2)(X-1，+(>_3)-=9；

(3)X-3J-2=0

【分析】(1)利用对称性质求出反射光线所在直线的方程.

(2)设出圆心坐标，利用切线性质，结合点到直线距离公式求出圆心坐标即得.

(3)由(2)求出点£坐标，设出点8坐标，利用直角三角形边角关系、切线长定理及

三角形面积公式求出点8坐标，再借助光的反射性质求出直线心的方程.

【详解】(1)设/的反射光线所在直线。尸上任意点为(X/),则该点关于x轴对称点

(x,-J)在直线/上，

所以/的反射光线所在直线。尸的方程为瓜+V+3-后=0.

(2)设点0亿6/+3-6)，而圆C与直线。产相切，且圆C半径为3,

IV3f+V3/+3-V3+3-V3I、

--------/==3_

则V(^)2+12----------------,即4(fT)+3|=3,

整理得G(/T)=0或6(1)=-6,又点C在第一象限，即"0,因此"1,点CQ，3),

所以圆C的方程为(x-i)-+(y_3)=9.

(3)由(2)知，点C到x轴距离为3,即x轴与圆C相切于点£(1，°),

由一条光线从第一象限入射后与圆C相切于点A,并与*轴交于点B,得点3在点