2025版高考数学大二轮复习课时作业9等差数列与等比数列理

PAGE1-课时作业9等差数列与等比数列1．[2024·河南龙泉中学模拟]已知数列{an}满意an＋1－an＝3(n∈N*)，若eq\f(a5－a3,a2)＝1，则a4的值为()A．2B．4C．12D．16解析：因为an＋1－an＝3(n∈N*)，所以数列{an}是公差为3的等差数列，eq\f(a5－a3,a2)＝eq\f(6,a1＋3)＝1，所以a1＝3，所以a4＝3＋3×3＝12，故选C.答案：C2．[2024·山东淄博一中月考]在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，则数列{an}的前8项和为()A．50B．70C．120D．100解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a11－a4＝21，∴7d＝21，∴d＝3，又a3＋a7－a10＝－1，∴a1－d＝－1，∴a1＝2，∴数列{an}的前8项和为100，故选D.答案：D3．[2024·陕西西安远东中学期中]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)解析：设数列{an}的公比为q，∵S3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，∴q2＝9，又a5＝9，∴a1q4＝9，∴a1＝eq\f(1,9)，故选C.答案：C4．[2024·安徽合肥联考]已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，则S12等于()A．45B．60C．35D．50解析：通解∵a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，∴S3＝3，S6－S3＝6，易知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，∴S9－S6＝12，S12－S9＝24，又S6＝9，∴S9＝21，∴S12＝45，故选A.优解∵a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝6，∴S3＝3，S6－S3＝6，易知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，∵S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝S12，∴S12＝eq\f(31－24,1－2)＝45，故选A.答案：A5．[2024·天津南开中学月考]设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则eq\f(a5,a3)的值为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(5,6)解析：∵S5＝3(a2＋a8)，5a1＋eq\f(5×4,2)d＝3(a1＋d＋a1＋7d)，a1＝－14d，∴eq\f(a5,a3)＝eq\f(a1＋4d,a1＋2d)＝eq\f(－10d,－12d)＝eq\f(5,6)，故选D.答案：D6．[2024·广西柳州二中月考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，S3＝15，则a7＝()A．11B．12C．9D．15解析：通解∵{an}为等差数列，S3＝15，∴3a2＝15，∴a2＝5，又a1＝3，∴公差为2，∴a7优解∵a1＝3，S3＝15，∴a2＋a3＝12，∴a1＋a4＝12，∴a4＝9，∴a1＋a7＝2a4＝18，∴a7答案：D7．[2024·河北保定模拟]已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋bA．4B．5C．8D．15解析：∵a3a11＝4a7，∴aeq\o\al(2,7)＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8，故选C.答案：C8．[2024·贵州贵阳期中]设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq\f(S5,S2)＝()A．11B．5C．－11D．－8解析：设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴q3＝－8，∴q＝－2，∴eq\f(S5,S2)＝eq\f(1－q5,1－q2)＝－11，故选C.答案：C9．[2024·辽宁沈阳联合体月考]已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若S4＋S6>2S5，则a6>a5，即d＝a6－a5>0；若d>0，则a6>a5，则S4＋S6＝2S4＋a5＋a6>2S4＋2a5＝2S5.所以“d>0”是“S4＋S6>2S5答案：C10．[2024·甘肃兰州六中期中]已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且S9＝18，Sn＝240，an－4＝30(n>9)，则n＝()A．10B．14C．15D．17解析：∵{an}为等差数列，S9＝18，∴9a5＝18，∴a5＝2，又an－4＝30(n>9)，∴a1＋an＝a5＋an－4＝32，∴Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝16n＝240，∴n＝15，故选C.答案：C11．[2024·甘肃天水二中月考]已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝eq\f(an＋1,an)，若b10b11＝2，则a21＝()A．29B．210C．211D．212解析：∵b10b11＝2，∴b1·b2·…·b10·b11·…·b19·b20＝210，又bn＝eq\f(an＋1,an)，∴eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(a20,a19)·eq\f(a21,a20)＝210，∴eq\f(a21,a1)＝210，又a1＝2，∴a21＝211，故选C.答案：C12．[2024·河北唐山四校联考]已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，公比q为正数且不为1.将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的依次)是等差数列，则q的值为()A.eq\f(1＋\r(5),2)B.eq\f(±1＋\r(5),2)C.eq\f(±1＋\r(3),2)D.eq\f(－1＋\r(3),2)解析：因为公比q不为1，所以删去的不是a1，a4.①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4，得2a1q2＝a1＋a1q3，因为a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)，又q≠1，所以q2＝q＋1，又q>0，所以q＝eq\f(1＋\r(5),2)；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4，得2a1q＝a1＋a1q3，因为a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1，又q≠1，所以q(q＋1)＝1，又q>0，所以q＝eq\f(－1＋\r(5),2).综上，q＝eq\f(±1＋\r(5),2)，故选B.答案：B13．[2024·全国卷Ⅰ]记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝eq\f(1,3)，aeq\o\al(2,4)＝a6，则S5＝________.解析：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查考生的运算求解实力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．通解设等比数列{an}的公比为q，因为aeq\o\al(2,4)＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝eq\f(1,3)，所以q＝3，所以S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(\f(1,3)×1－35,1－3)＝eq\f(121,3).优解设等比数列{an}的公比为q，因此aeq\o\al(2,4)＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝eq\f(1,3)，所以q＝3，所以S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(\f(1,3)×1－35,1－3)＝eq\f(121,3).答案：eq\f(121,3)14．[2024·山西太原月考]已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，若a3，a4，a7成等比数列，则eq\f(a1,d)＝________.解析：∵a3，a4，a7成等比数列，∴aeq\o\al(2,4)＝a3·a7，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，化简得3d2＝－2a1d，∵d≠0，∴d＝－eq\f(2,3)a1，∴eq\f(a1,d)＝－eq\f(3,2).答案：－eq\f(3,2)15．[2024·贵州同仁一模]记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝________.解析：通解由题意得，当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an＋1)－(2an－1＋1)＝2an－2an－1，整理得，an＝2an－1(n≥2)，故{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，因此S6＝eq\f(－1×1－26,1－2)＝－63.优解∵Sn＝2an＋1，∴Sn＝2Sn－2Sn－1＋1(n≥2且n∈N*)，即Sn＝2Sn－1－1(n≥2且n∈N*)，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)(n≥2且n∈N*)，∴{Sn－1}是公比为2的等比数列．又S1＝2S1＋1，∴S1＝－1，∴S1－1＝－2，∴Sn－1＝－2n，∴Sn＝－2n＋1，∴S6＝－63.答案：－6316．[2024·北京大兴期末]在首项为正数的等差数列{an}中，eq\f(a3,a4)＝eq\f(7,5)，则当其前n项和Sn取最大值时，n的值为________．解析：通解设数列{an}的公差为d，∵eq\f(a3,a4)＝eq\f(7,5)，∴5(a1＋2d)＝7(a1＋3d)，∴2a1＋11d＝0，∴d＝－eq\f(2,11)a1，∴Sn＝－eq\f(1,11)a1n2＋eq\f(12,11)a1n＝－eq\f(a1,11)(n－6)2＋eq