2024-2025学年江西省赣州市高二年级上册期末复习数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江西省赣州市高二上学期期末复习数学检测试题

考试范围：选择性必修第一册考试

本试卷分为第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分

第I卷（选择题共58分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项）

1.已知变量x与y之间的一组数据如表：

X24568

Y30m50n70

若y与X的线性回归方程为丫=6.5丫+17.5,则〃z+〃的值为（）

A.60B.70C.100D.110

【正确答案】C

【分析】首先求出了，根据回归直线方程必过样本中心点（了了），即可求出?，再由平均数

公式计算可得.

一1

【详解】因为X=,x（2+4+5+6+8）=5,又y与X的线性回归方程为V=6.5X+17.5,

_1,、

所以丫=6.5x5+17.5=50，即《x（30+加+50+〃+70）=50，解得加+〃=100.

故选：C.

2.如图，四棱柱4BCD-4B1G2的底面为平行四边形，M为4G与与马的交点，若

）

B.-a+-b+c

22

C.--a+-b+cD.-a--b+c

2222

【正确答案】C

【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.

【详解】因为M为4G与吕2的交点，

则丽7=函+刎=而+（砺=碗+；西—方）

1—■1—.—.11-

=——AB+-AD+AA=——-*+-+c

2222

故选：C.

22

3.已知双曲线%■-1r=19〉0）的焦距为8,则该双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±^xB.y=±3xC.y=+s/3xD.

,V3

、土丁

【正确答案】C

【分析】结合焦距定义与渐近线方程定义计算即可得.

【详解】由题意可得2，12+从=8,解得6=2（负值舍去），

则该双曲线的渐近线方程为y=±-x=±V3x.

2

故选：C.

4.某学校有A,3两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A

餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去8餐厅，那么第2天去A餐厅的概率

为0.4.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率（）

A.0.24B.0.36C.0.5D.0.52

【正确答案】C

【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得.

【详解】设4="第1天去/餐厅用餐”，片="第1天去2餐厅用餐"，4="第2天去/

餐厅用餐”，

根据题意得尸（4）=尸（男）=0.5,P（4I4）=O.6,p（4闯=0.4,

由全概率公式，得

p（4）=P（4）P（4⑷+尸（4）P（4归）=05X0.6+0.5x0.4=0.5,

因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为05

故选：C.

5.在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区

域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（）

A.420种B.360种C.540种D.300种

【正确答案】A

【分析】先分类，再分步进行.先分颜色种类为3,4,5,再分步计算.

【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2,4同色，此时有C；A；=60种；

选用四种颜色时，必须1,5同色或2,4同色，此时有C：C；A：=240种；

选用五种颜色时，有A；=120种，

所以一共有60+240+120=420种，

故选：A.

6.已知样本9,%,10,y，11的平均数是10,标准差是2,则冷的值为（）

A.96B.97C.91D.87

【正确答案】C

【分析】由平均数得x+>=20,由标准差得（x—IO）?+（y—IO）?=18,联立可得孙.

【详解】依题意得9+l0+"+x+y=10,则x+>=20①.

22=-^(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(%-10)2+(^-10)21=-[2+(%-10)2+(3；-10)2

5L」5L

，贝Ij(x-10)2+(>-10)2=18②.

由①②得X2+J2=218,所以孙=(x+H-代+/)=400-218=%.

“22

故选：C.

22

7.已知直线/：X—>—2=0与圆。：x+y=1,过直线/上的任意一点尸作圆。的切线尸/,

PB,切点分别为4B,则N4P5的最大值为()

3兀27r7L7C

A.—B.—C.—D.一

4326

【正确答案】C

【分析】由题意可得sin/APO=血，可知当op最小时，NAPB最大,结合点到直线的

距离公式运算求解.

【详解】由题意可知：圆。：%2+/=1的圆心为0(0,0),半径为],

则圆心0到直线/的距离为里=亚〉1,可知直线/与圆。相离，

72

\OA1

因为/APB=2/APO,且sin/APO=.=西

^/x-y-2=G

当|。尸|最小时，则sin/APO最大，可得NAP。最大,即/APB最大,

又因为|OP|的最小值即为圆心。到直线/的距离为J5,

7

此时sinZAPO=―,ZAPO=-所以NAPB取得最大值2.

2z12

故选：c.

8.如图所示，在顶角为一圆锥内有一截面，在圆锥内放半径分别为1,4的两个球与圆锥的侧

3

面、截切，两个球分别与截切于E,F,则截面所表示的椭圆的离心率为（）

（注：在截口曲线上任取一点4过/作圆锥的母线，分别与两个球相切于点瓦C,由相切

的几何性质可知，AE=AC,AF=AB,于是AE+AF=4B+AC=BC,为椭圆的几何意

义）

【正确答案】C

【分析】设两球的球心分别为设圆锥的顶点为S，取两球与圆锥同一母线上的切点分

别为G,H,连接QG，a笈。尸，连接QS交防于点K,则根据题意易得G/f=36,

O.KFK0、F1

00,=6,再由RtAOpK~RIAC^EK,可得――=――=――=—,从而可得

（J2KEK（J2H4

从而可得FK=JoN-0尸=姮,生叵，再根据

0XK=-0X02=~,EK=4FK=

5555

椭圆离心率的定义，即可求解.

【详解】如图，设两球的球心分别为a，a，

V

设圆锥的顶点为S,取两球与圆锥同一母线上的切点分别为G,H,

连接连接交于点

OXG,O2H,OXF,O2E,02SEFK,

71兀

•.•顶角为一，.•./〃5。2=—,又两球的半径分别为1,4,

36

SG=5SZZ=45SQ=8，

:.GH=3拒,002=6,

:.AE+AF=AB+AC=BC=GH=36,

又~RIA0IFK~RIAQEK,

01KFKOp1

又002=6,

02K~EK~02E~4

•，•0]K=：002=£，；.FK=也片_OF=平,

4vn

•••EK=4FK=

5

：・EF=EK+FK=5，

・・・该椭圆的离心率为—2r二一F^F一旧叵

2aAE+AF373~\27

故选：C.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）

9.下列说法中正确的是（)

A.样本数据3,4,5,6,7,8,9的第80百分位数是7.5

AQ

B,随机变量X〜5（4,0），若E（X）=H，则。（X）=§

C已知随机事件且0<P（Z）<l,0<P（8）<l,若P（HZ）+尸（瓦）=1,则事件43

相互独立

D.若随机变量X服从正态分布N（3,b2）,且尸4）=0.7,则P（3<X<4）=0.2

【正确答案】BCD

【分析】求出第80百分位数判断A；利用二项分布的方差公式计算判断B；利用条件概率化

简判断C；利用正态分布对称性求出概率判断D.

【详解】对于A,由7x80%=5.6,所以数据3,4,5,6,7,8,9的第80百分位数是8,A错误；

对于B,由X〜5（4,2），E（X）=g,得4P=g,解得P=；,因此

11Q

Z）（X）=4x§x（l-§）=,,B正确；

对于C,由P⑹Z）+P（瓦）=1,得与母=1一尸（耳）=p（8）,即尸（/B）=P（4）P（B）,

则事件43相互独立，c正确；

对于D,由X服从正态分布N（3,〃），P（X<4）=0.7,得P（3<X<4）=0.7—0.5=0.2,

D正确.

故选：BCD

10.如图，正八面体棱长为1,M为线段右。上的动点（包括端点），则（）

B.的最小值为班

7F

当时，与的夹角为一

C.2CD.AM-DP2<APiDP2

【正确答案】BC

【分析】根据体积公式即可求解A,根据平面中两点距离最小即可求解B,根据线线垂直可得

线面垂直，进而求解C,根据数量积的运算律即可求解D.

【详解】对于A,连接AC,BD,P{P2相交于。，故

IJ?I-------------Jy

OB=-BD=—,PB=1,PO=^PB2-OB2=—

Slxl1

ABCD==^VP}ABCDp2=2/_ABCD=2x1sAscD,P(9=2x-x—xl=­,A错误;

32

对于B,因ABCR与△。邙均是边长为1的正三角形，故可将XDCP\沿《C翻折,

使其与ABCK共面，得到菱形3CD'4,则=AD'=lx@x2=JI，B正

\/min2

对于C,由8。，/。且8。，68，2。门片巴=0,2。/巴u平面zqc5,

故BDJ,平面24c舄，4Mu平面巴，

若BDcDP]=D,BD,DP2u平面BD6,则W平面BD6,

7F

故舄，知M与C重合，与BC的夹角为一,C正确；

4

对于D,\-AM=AP[+P^M=APl+=（1-2）Z^+,2e[0,l],

由于平面故ZC,平面

巴。匚平面35。，故AC上P21)

-------------►-------------►/\-----------►------------►/\-----------►------------►-----------►-------------►uuui_______»

:.AM-DP2=A)APX-DP2+Q=(l-2)^-DP,>^-DP,(AR与D旦的夹角为钝

角)，D错误.

22

11.已知直线_^=丘（左W0）与双曲线，—£=l（a〉0,b〉0）交于48两点，尸为双曲

线的右焦点，且花・/=]/（，若△/B尸的面积为1/,则下列结论正确的有（）

A.双曲线的离心率为右B.双曲线的离心率为叵

2

C,双曲线的渐近线方程为＞=±半》3

D.k=±—

4

【正确答案】BCD

[分析]先根据对称性及~AB-AF=^AF^得到J_5尸；进而得到以AB为直径的圆过厂点,

列方程组求出仇。的关系；对于A、B,求出离心率即可判断；对于C,求出渐近线方程即

可判断；对于D,由对称性及题意求出3的坐标，进而解出斜率即可判断.

由题意知：k大0,不妨取左>0,由方.*=］彳同2,

^AB-AF=AF-AF>所以舒•（万;-赤卜0,/.而=0,

所以4FJ_BF,所以以48为直径的圆过厂点，

所以圆的直径|48|=|G1=2c,所以圆的方程为:x2+y2=c2,

设|/同=加，忸可=〃，连接GB,/G,则四边形/GB厂为矩形，则阳—〃=2a,

13,

则AABF的面积为:S.ABF=-mn=~a>且加之+〃2=4。2，

m-n=2a

m=3a、、、51

联立《mn=3a2，解得1,4。=10。，c=—a,

n-a2

m2+/=4c2

_32

——a，

2

所以离心率e=£=巫，故A错误，B正确；

a2

对于C,双曲线的渐近线方程为：J=±-X=±—x-故选项C正确；

a2

39

对于D,不妨设点2在第一象限，由对称性可知S△“ri.BDrF=qJVD8=2—a，

a〃2q4

yB=^—=-c>代入/+/=。2中，得XB=-C,

・B2c5.5

,y—033

所以左=B二^=:，由对称性知：当左<0,k=--,

-044

一3

所以后=±—,故选项D正确.

4

故选：BCD.

关键点点睛：由图象对称性可知：点G为双曲线另一个焦点；由定义知加-〃=2。，由题意

3

解出关系，不妨设点2在第一象限，且S"FB=/，进而求解出直线斜率左即

可判断答案.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.直线（百sina）x+y+2=0的倾斜角3的取值范围是.

兀]「2兀）

【正确答案】0?-U—57U

_。」L。J

【分析】借助倾斜角与斜率的关系及三角函数值域即可得.

【详解】tand=—Gsinae[-后,6],故OwU?，兀）.

兀]「2兀）

故答案为.o?-U—?7i

_。」L。J

2016

13.若（2X—1『°16=%+空+呼之+…+期房/”1e对，记S2016=ZU，贝九$2（）16的

i=l2

值为.

【正确答案】—1

【分析】利用赋值法，分别取1=0和X=工，代入运算即可.

2

22016

【详解】因为（2x—l）2°i6=a0+axx+a2x----b^2016x（xGR）,

令x=0,则4=1；

i\2016

令X.，则2x；1-1=。。+；+作+--+篝,

20162016

即1+5才=。所以S2016=X才=T.

Z=1/z=lN

故答案为1

14.一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球.采取不放回摸球，从

中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数.当P（X=k）最大时,

E（X）+k=.

4

【正确答案】17.8##17-

5

【分析】首先分析超几何分布最大项确定左的值，再通过超几何分布的期望公式求出£（X）的

值，即可求出E（X）+H

【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布

「k「22—k

400

p（x=k）=2^,k=0,1,2...22,

Cioo

P（X=左）最大时，即。0或产最大,

超几何分布最大项问题，利用比值求最大项

设4=P（X=s）=节后

^<S+1^77?-S-1

则1

3Q（S—

4

k\（〃-女）！

（s+l）!（k-s-l）!（加-s-1）!（〃一左一加+s+l）!

k\女）！

s!（k-s）!（掰—左—加+s1

（k—s）（m—s）

（5+1）（〃一左一加+5+1）

令H-s）（加-s）

（s+1）（〃一左一加+s+l）

n（"s）（m-s）>（s+l）（〃一4一加+s+l）

s1-[k+m）s+km>s2+（2+n-k-m^s+\+n-k-m

=痴〉(〃+2)$+1+〃一(加+左)

n而+(加+左)+1>(〃+2)s+(l+〃)+l

=§<（左+1）（加+1）J

〃+2

故当sV（"+l）（〃'+l）时,P（X=s）严格增力口,

〃+2

当S2（k++时,p（x=s）严格下降,

77+2

即左二9时取最大值，

此题中口=100,m=22,k=40,s=k,

kx40x22

根据超几何分布的期望公式可得E（X）=—^―==8.8,

E（X）+左=8.8+9=17.8

故17.8

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算）

15.已知圆C:Y+K一4%-6尸=0.

（1）求直线歹=2x被圆截得弦长；

（2）已知圆M过点（一4,0）且与圆+/-4x-6j=0相切于原点，求圆M的方程.

【正确答案】（1）心5

5

（2）（x+2）2+（y+3）2=13

【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案;

（2）利用待定系数法和相切可求圆的方程.

【小问1详解】

由4x—6.v=0可得（x—2『+（＞—3『=13,圆心为（2,3）,半径为厂=而,

|2X2-3|下

圆心C（2,3）到直线y=2x的距离为d=

所以直线歹=2x被圆截得弦长为25=2^13-1=岑1

【小问2详解】

设=及2（及＞0）,

川|(-4-。>+(0-A)?=氏2

、|(o-«)2+(o-z))2=J?2解得a=-2R=,4+6,；

因为圆M与圆。：*2+/-4*-6＞=0相切于原点，且圆M过点（—4,0）,

所以火+g=J（2—a『+（3—，"+/+而=J16+（3-Ip，

两边平方整理可得4-36=m…）,平方可求b=-3,

代入可得氏=g，所以圆M的方程为（x+2y+（＞+3）2=13.

16.在（4H---尸）"的展开式中，若第3项的二项式系数为28,求:

2臼x

（1）展开式中所有项的二项式系数之和;

（2）展开式中的有理项；

（3）展开式中系数最大的项.

【正确答案】⑴256；

（2）T,=x。T、=—x,71=---x2；

589256

（3）4=7转7；=7x"

【分析】（1）利用给定的二项式系数求出〃，再利用二项式系数的性质求得答案.

（2）求出二项式的展开式的通项，由x的幕指数为有理数求解即得.

（3）由展开式通项的系数，列出不等式组并求解即得.

【小问1详解】

依题意，C：=28,〃（"1）=28,〃2-〃-56=0,而〃eN*，解得"=8,

2

所以（、6+—^）8展开式中所有项的二项式系数之和为28=256.

【小问2详解】

4--r

4

二项式（4+8展开式通项为产xrGN,r<8,

3

当4—工〃为整数时，（+1为有理项，则〃=0,4,8,

因此当r=0时，K=/；当厂=4时，笃=!<25=3小当外=8时，々=［《婷=」—

282256

351/

所以展开式中的有理项为工=/7=—x，4=-------X

8256

【小问3详解】

r8!c8!

_Lr>1「八-1

8-------->2-

2,"-2，Tr!(8-r)!(r-l)!(9-r)!

设第r+1项的系数最大，贝珞:

c8!8!

2--------->

r!(8-r)!(r+l)!(7-r)!

9-r>2r

整理得《ccc,解得2<r<3,由reN,得尸=2或r=3,

2r+2>8-r

57

所以展开式中系数最大的项为=7》5,方=7%^,

17.某学校组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1个球，每次摸

球结果相互独立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率为2,摸到2分球的概率

3

为g.

(1)学生甲和乙各摸一次球，求两人得分相等的概率;

(2)若学生甲摸球2次，其总得分记为X,求随机变量X的分布列与期望;

(3)学生甲、乙各摸5次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得

奖励.已知甲前3次摸球得了6分，求乙获得奖励的概率.

【正确答案】（1）-

9

Q

（2）分布列见解析，期望为一

3

16

(3)---

729

【分析】（1）根据题意，甲乙同时摸到1分球或2分球，结合概率的乘法公式，即可求解；

（2）根据题意，变量X的可能取值为2,3,4,求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公

式，即可求解；

（3）记4,="甲最终得分为加分”，其中加=8,9,10,8="乙获得奖励”，结合相互独立事

件的概率公式以及条件概率和全概率公式，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，摸到1分球的概率为2,摸到2分球的概率为1，

33

若学生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，则甲乙同时摸到1分球或2分球,

22115

所以两人得分相等的概率为尸=—x—+—x—.

33339

【小问2详解】

解：由题意知，学生甲摸球2次的总得分X的可能取值为2,3,4,

224214111

x

可得尸(X=2)=--=§，P(X=3)=C2X-X-=-,P{X=4)=-X,

所以随机变量X的分布列为:

X234

44

P

999

所以,

【小问3详解】

解：记4="甲最终得分为加分”，其中加=8,9,10,5="乙获得奖励”,

214?24

可得尸(4)=c；X]X]=5,P(4)=c；X]X]=-,

当甲的最终得分为9分时，乙获得奖励需要最终得分为10分，

则。(04)=屐(夕=(/；

当甲最终得分为8分时，乙获得奖励需要最终得分为10分或9分，

1211

则P(34)=C(?5+C；x-X(-)4=11X(-)5,

所以

p(5)=尸(巡)+尸(。)"(4)尸(切4)+?(4)尸⑻4)

4r4-/、516

——x(z一)5H—x11xf—■)----,

9393729

所以乙获得奖励的概率为也.

729

18.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面N8CQ为菱形，平面/BCD,ZC与5。相

交于点£，点厂在PC上，EF±PC,AC=4V2,BD=4,EF=2-

（1）证明：。尸/平面P8C；

（2）若尸/与平面809所成的角为a,平面上4。与平面P8C的夹角为A，求a+乃.

【正确答案】（1）证明见解析

（2）75°

【分析】（1）通过证明。ELPC,。尸，必即可证明。尸工平面P8C；

（2）建立空间直角坐标系，由（1）知PC,平面厂，即可得a=90°—N/PC=45°，

再求平面P8C和平面上4。的法向量即可求出力.

【小问1详解】

•.,底面48CD是菱形，.•./CLBD,

♦.•24，平面48。>，且BDu平面48CD,.•.力工班.

又•••ZCnPZ=/,ZC,24U平面PNC,BD1平面PAC,

•.•尸。匚平面尸2。，，区0，尸。，又：所，尸。，且£尸,8£><=平面809，所口8。=£,

，：EF=ED=EB=2,:./DFB=90°，即。尸，必，又：<=平面P8C,

且PCcFB=F,二。厂，平面P8C.

【小问2详解】

以£为原点，以E4为x轴，£5为了轴，过点£且平行尸”的直线为z轴建立空间直角坐标

系，如图所不，则

^（2V2,0,0）,C（-2A/2,0,0）,D（0,-2,0）,

•:EF=2,AC=4RBD=4,：.EC=2®，又；EF上PC,

・..在AEEC中由勾股定理得下。2=£。2—£尸2=(20)2—22=4,

即FC=2,ZFEC=p.-.F(-V2,0,V2)..-.DF=(—亚,2,后)，石=(-2^,-2,0)

EF1PC,EF=2,EC=20：.ZACP=45°，

.•.尸2=2。=4后，：.473。=45°，；尸。，平面5。厂，

PA与平面BDF所成的角为a=90°—ZAPC=45°，QDF±平面PBC,

二。厂是平面P8C的一个法向量，平面48C£>,R4u平面尸4D，

平面上4。，平面48CD,设万=(x/,0),只需万，4D,则为，平面P4D，

贝!|n-AD=(x,y,0)卜2A/^,-2,0)=-2—2,y=0,

令万=(—1,后,0),则coslj；晨=£%■=',

二.，二30,/.a+夕=45+30=75.

19.给出如下的定义和定理：定义：若直线/与抛物线「有且仅有一个公共点尸，且/与：T的

对称轴不平行，则称直线/与抛物线r相切，公共点尸称为切点.定理：过抛物线/=2px上

一点（%,%）处的切线方程为^^=夕现）+2%.完成下述问题：如图所示，设E,尸是抛物线

「：/=2px（p〉0）上两点.过点E,尸分别作抛物线「的两条切线/r/2,直线/r4交于点

C,点4,2分别在线段EC,C户的延长线上，且满足反=及凡而=2丽，其中;l〉0.

（1）若点£,方的纵坐标分别为必，%,用外，%和P表示点C的坐标.

（2）证明：直线43与抛物线r相切；

s

（3）设直线45与抛物线「相切于点G,求飞也.

.ARC

【正确答案】（1）2121%+为

2，’2.

（2）证明见解析；（3）2

【分析】（1）分别写出切线CE和切线CE的方程，联立方程即可求出点C的坐标.

（2）设出切点坐标，根据切点坐标写出切线45的方程，从而求出点43的坐标，根据点48

的坐标可求出X的值，从而证明直线48与抛物线「相切.

（3）首先根据（2）的结论求出丽=—正，GB=-BA；然后求片匝和四:形EC的

%丸S.ABCS-ABC

[2]

值，再根据S-CEF=■—V^^ABC'S"BGF=7“+二S”BC，可得到

1+24（1+4）

SaEFG=S