数据波动易错点剖析

统计中的常见错解示例一、概念理解不透造成错解例1．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表，分数708090100人数13x1已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（）A.80分B.85分C.90分D.80分或90分错解：选B.根据该小组本次数学测验的平均分是85分，得70×1+80×3+90×x+100×1=85×（1+3+x+1），解得x=3.由于80分出现了3次，90分也出现了3次，所以这组数据的众数是（80+90）=85（分）.故本题答案选B.错解分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据.若一组数据中，若干个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这若干个数据都是这组数据的众数.由此可见，一组数据中可以有不止一个众数.所以这组数据的众数是80分或90分，故应选D.造成这一错解的原因是：对众数的概念理解不透，并误用求平均数的方法来求众数.正解：选D.根据题意，如同前面所解，得x=3，所以在这组数据中80分出现了3次，90分出现了3次，次数最多，所以该组数据的众数是80分或90分.故答案应选D.例2.一组数据的方差为s2,将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（）A.s2B.2s2C.s2D.4s2错解：选A.错解分析：错误的原因是由于对方差的概念没有深刻理解，误认为只要把原数据的方差也除以3就可得到新数据的方差.事实上，样本中各数据与样本平均数差的平方的平均数才叫方差.通过相关计算可得，新数据的方差应是s2.正解：选C.设原数据为x1,x2,…,xn,其平均数为，方差为s2.根据题意，则新数据为x1,x2,…,xn,其平均数为.根据方差的定义可知，新数据的方差为：s′2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=×[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=s2.所以，本题答案应选C.例3.在一次数学测试中，某班２５名男生的平均成绩是86分，23名女生的平均成绩是82分．求这些学生的平均成绩（结果精确到0.01分）．错解：平均成绩为＝＝84（分）．错解分析：错解在求平均数时，混淆了算术平均数与加权平均数的计算公式．当数据中有些数据是重复的，要使用加权平均数公式计算．正解：平均成绩为=≈84.08（分）．例4.若一组数据ｘ１，ｘ２,ｘ３，ｘ４，ｘ５的平均数为２，则３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，3ｘ５－２的平均数为________.错解：数据３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，事实上,x的大小可分三种情况:①x≤5;②5<x≤7;③x>7.从而可知本题的中位数是不确定的,要分类讨论.正解：①当x≤5时,中位数为6,此时=6,解得x=5;②当5<x≤7时,中位数为,此时=,解得x=5,不符合题意,舍去；③当x>7时,中位数为7,此时=7,解得x=9.综上可知,x=5或x=9.例8.一组数据-1,0,3,5，x的极差是7，那么x的值可能有（）A.1个B.2个C.4个D.6个错解：选A.根据题意，由x-（-1）=7，解得x=6，所以x的值有1个，故答案选A.错解分析：根据极差的定义知，数据中最大数据与最小数据的差叫做极差.因为-1,0,3,5四个数中，最小数为-1，最大数为5，它们的差是6.而题目中的极差为7，所以x可能是这组数据的最大数，或是最小数.错解中丢失了解.本题必须进行分类讨论才能求得正确答案.正解：选B.根据极差的定义，对数据中的x的大小必须分两种情况来讨论：①当x为这组数据中的最大数时，-1就为其最小数，则有x-(-1)=7,解得x=6.②当x为这组数据中的最小数时，5就为其最大数，则有5-x=7,解得x=-2.综上所述，x可取两个值：-2或6.故答案应选B.三、因审题不仔细、考虑问题不周全造成错解例9.有m个数的平均数为x，n个数的平均数为y，则（m+n）个数的平均数是（）A.B.C.D.错解一：选A．由题意可知，这是求x与y的平均数，所以它们的平均数是．故答案选A．错解二：选B．由题意可知，所求（m+n）个数的总和为（x+y），所以，其平均数为．故答案选B．错解分析：以上两个错解都是由于审题不仔细、考虑问题不周全所造成的．错解一是误认为求x,y的平均数，由此把样本容量当作2，把（x+y）当作了样本总量．错解二虽然确定样本容量为（m+n），判断正确，但误将（x+y）当作样本总量，而此时的样本总量应为（mx+ny），所以，它们的平均数是．正解：选C例10.甲、乙两工人生产直径为40mm的同一种零件．现各抽取两人加工的5个零件，量得尺寸如下（单位：mm）：甲：42,41,40,39,38乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5．问哪位工人生产的零件质量较好？错解：甲、乙两工人生产的零件尺寸的平均数分别为：=×（42+41+40+39+38）=40，=×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40.所以，两工人生产的零件质量一样好.错解分析：错解是由于掌握知识不全面，考虑问题不周全造成的.分析数据不应该只从平均数上分析，还应该知道利用方差、极差来解决问题.极差、方差都可以反映数据的波动情况，由计算可知工人乙的极差、方差都比工人甲的小，所以工人乙生产的零件质量较好.正解：=×（42+41+40+39+38）=40，甲的极差是42-38=4.s甲2=×[（42-40）2+（41-40）2+（40-40）2+（39-40）2+（38-40）2]=2.=×（40.5+40.1+40+39.9+39.5）=40，乙的极差是40.5-39.5=1.