2024-2025学年山东省临沂市部分县区高二年级上册学科素养水平监测数学试卷（附解析）

2024-2025学年山东省临沂市部分县区高二上学期学科素养水平

监测数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.直线X+氐-1=0的倾斜角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.椭圆16/+25/=400的离心率为（)

13

A.-B.一c.3D.3

2545

3.已知［=（-4,1,3）是直线/的方向向量，>=为平面0的法向量，若3a

则y=（）

A.--B.；r25n25

44c--TD.-

4.若圆C［：x2+y2-l=0与圆C2：x2+y2-6y+加=0有3条公切线，则机=（）

A.5B.4C.3D.2

5.空间三点4(-1,0,3),5(1,1,0),C(-2,3,l),则以48,NC为邻边的平行四边形的面

积为（）

B.递

A.-C.7D.7G

22

6.若圆C:/+y2=i,点尸在直线/：2x+y-5=0上，过点P作圆C的切线，切点为

A,则切线长『训的最小值为（）

A.1B.2C.V5D.4

7.若3（1,1）两点至!］直线/：ax-y+l=0的距离相等，则。=（）

2222

A.-B.——C.2或一D.2或—

3333

8.设。为坐标原点，耳，月为椭圆C：二+且=1的两个焦点，点夕在。上,

2516

3

cosZF{PF2=-f贝尸|=（）

A.历B.画C.丝D.叵

222

二、多选题（本大题共3小题）

9.若直线过点4-1,2）,且在两坐标轴上截距相等，则直线/方程可能为（）

A.x-y+3=0B.x+y-l=O

C.2x+y=0D.2x-y+4=0

10.在平面直角坐标系工。中，已知4（-2,0）,5（2,0）,点尸满足

*才=左（左>0且左wl）,设点尸的轨迹为C,则（）

A.当左=应时，C的方程是/+/一12尤+4=0

B.当左=应时，以为直径的圆与C的公共弦长为殍

C.当0<%<1时，圆C的圆心在线段3%的延长线上

D.以45为直径的圆始终与。相交

11.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线

是椭圆的模型（称为"Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它

们分别与圆锥的侧面、截切，截面分别与球口,球C切于点石，F（£,方是截口

椭圆c的焦点）.设图中球a，球Q的半径分别为3和1,球心距|onl=40,则

（）

A.椭圆C的中心在直线002上

B.\EF\=4

C.直线。。2与椭圆C所在平面所成的角为

D.椭圆C的离心率为短

7

三、填空题（本大题共3小题）

12.若点8是点4（-3,2,-1）在坐标平面xOz内的射影，贝”历|=.

13.若圆/+y=4上恰有4个点到直线x-V+/=O的距离等于1,则加的取值范围

是.

14.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似地下车库

入口形状的几何体.如图，羡除43CDE/中，四边形ABC。，/BE尸均为等腰梯形，

AB,CD,跖互相平行，平面/3。。1平面/爪尸，梯形48CD,/BE尸的高分别为

2,4,且/3=3,CD=5,EF=7,则ND与平面/8EF所成角的正切值为,

异面直线/。与BE所成角的余弦值为

四、解答题(本大题共5小题)

15.如图，在空间四边形O48C中，D,E分别为8C,的中点，点G为V/8C的

(1)试用向量b-c＞表示向量标；

(2)若O/=OC=2,OB=\,ZAOC=ZBOC=ZAOB=60°,求屉.而的值.

16.已知圆C的圆心在直线x-y-2=0上，并且经过圆V+/-8x=0与圆/+y2=4的

交点.

⑴求C的方程；

(2)直线/：(加+1)尤+(l-m)y-3-2加=0与C交于A,8两点，当弦48最短时，求加的

值，并求出此时C关于/对称的圆。的方程.

17.如图，在直三棱柱48C-44G中，AB=AC=44=2,/A4c=90。，M,N分

别为棱48,8c的中点，尸是BG与4c的交点.

(1)求点P到平面4cM的距离；

(2)在线段4N上是否存在一点。，使尸。〃平面4C",若存在，求出芸的值，若不

存在，请说明理由.

18.在圆。：/+必=1上任取一点尸，过尸作V轴的垂线段尸。，垂足为。，点。在线

段。P的延长线上，且第=2,当P在圆。上运动时，点。形成的轨迹为£.(当尸

经过圆。与〉轴的交点时，规定点P与点。重合.)

(1)求£的方程；

(2)设E的上顶点为A,过点〃(2,1)作斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点B,

C,直线48,/C分别与x轴交于点M,N,证明：线段上W的中点为定点.

19.已知曲线7：厂(x,y)=O,对坐标平面上任意一点尸(x,y),定义肛?］=尸(与内，若两

点P,Q,满足网尸］/［0>0,称点尸，。在曲线T的同侧；尸㈤的0<0,称点P,

。在曲线T的两侧.

⑴若曲线7:尸(x,y)=f+/-孙-4=0,判断3(-1,1)两点在曲线7的同侧还是

两侧；

(2)已知曲线7:尸(x,y)=f+j/-2|x|-l=0,O为坐标原点，求点集

5=｛尸|尸［尸卜/［。］>0｝所构成图形的面积;

⑶记到点(1,0)与到y轴的距离之和为4的点的轨迹为曲线C,曲线

T:F(x,y)=x2+y2-x-a=0,若曲线C上总存在两点M,N在曲线T两侧，求曲线C

的方程和实数。的取值范围.

答案

1.【正确答案】D

【详解】由题意得，直线的斜率左=-且，故直线的倾斜角为150。.

3

故选：D.

2.【正确答案】B

22

【详解】由16/+25/=400得椭圆标准方程为土+匕=1,

2516

•*-Q=5,Z)=4,c=」25-16=3，

c3

二离心率e=£=‘.

a5

故选：B.

3.【正确答案】A

【详解】因为所以刀与力平行.

3

对于两个平行向量"=(-4,1,3)和/=(1,了,-1),根据向量平行的性质，

-413

它们对应坐标成比例，即T=7=

~4

-411

由丁=一,交叉相乘可得-4y=l,解得y=_：.

1y4

故选：A.

4.【正确答案】A

【详解】圆。2：/+/-6了+%=0,其圆心坐标为G(°，3),半径2=-9-加.

圆G：¥+/=l,其圆心坐标为G(0,0),半径1I.

因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距

22

根据两点间距离公式，圆心G(0,0)与。2(0,3)的距离4=7(0-0)+(3-0)=3.

又因为d=(+4，即3=1+.

移项可得J9-加=3-1=2.

两边平方可得9-切=4,解得m=9-4=5.

故选：A.

5.【正确答案】D

【详解】因为，(T,0,3),5(1,1,0),C(-2,3,l),

所以人=(2,1,-3),就=(-1,3,-2),

所以在.刀=2x(-l)+lx3+(-3)X(-2)=7,

洞=-4+1+9=疝,|3ic|=Vl+9+4=714,

…cAB-AC71

所以C°s4"=国7国=而乐3

jr

因为0</A4C<TT,所以N3/C=],

所以，以/C为邻边的平行四边形的面积为

W砌.sinZB/C=府<屈<事=76.

故选：D

6.【正确答案】B

【详解】对于圆。：/+/=1,其圆心坐标为（0,0）,半径厂=1.

|Ax+By+C|

根据点（x。,%）到直线/x+绘+C=O的距离公式”=00

萩+B=

|2x0+0-5|5

贝！Id=

根据切线长、圆半径和圆心到点P距离构成直角三角形，设切线长为I尸川,圆心到点

尸的距离为d,圆半径r=l.

由勾股定理上图=川2一产，当1取最小值6时，最小,

此时|尸/1=7（V5）2-12=右=！=74=2.

故选：B.

7.【正确答案】C

|-2a+l+l|_|«-1+1|

【详解】由题意知,

Vl+a2Vl+a2

2

得|2-2司=同，解得a=2或

2

即实数。的值为2或;.

故选：C

8.【正确答案】A

【详解】对于椭圆C:工+己=1,可得。=5,6=4.

2516

可求出°=格力=3,所以焦点与(TO),&(3,0).

设|「片|=加，\PF1\=n,在中，根据余弦定理|公乙「=优2+"2一2加”3/公尸鸟.

33

已矢口||=2。=6,cosZF{PF2=—,贝!j6?=加？+〃2一2mnx—.

又因为点月在椭圆上，根据椭圆的定义冽+〃=24=10,

将将+方=100展开得病+/+2mn=100.

3_

用小+几2+2加=100减去6?=加2+〃2-2加〃x不可得：

33

m2+n2+2mn-(m2+n2-2mnx—)=100-36,BP2mn+2mnx—=64,则mn=20.

333

代入加2+/-2mnx—=36中，可得加？+/=36+2mnx—=36+2x20x—=60.

555

因为赤=；(两+质)，所以|。尸|2=?质2+“2+2西.陶.

—,—►3

PF】•PF2=mncosZF{PF2=20x—=12.

贝(]|OP|2=1(m2+«2+2西・陶=#60+2xl2)=%60+24)=.21,

所以|OP|="[.

故选：A.

9.【正确答案】BC

【详解】当直线/经过原点时，可得直线方程为：y=-2x,即2x+y=0.

当直线/不经过原点时，可设/的直线方程为：x+y^a,把点(-1,2)代入可得：

—1+2=a,可得。=1.

综上可得：直线/的方程为：2x+y=0或x+y-1=0.

故选：BC.

10.【正确答案】ACD

【详解】设尸xj,因为/(一2,0),5(2,0),则=*U^==左，

PB--2丫+/

整理得点尸的轨迹为C为伊-1)铲+伊一1b2一(4斤2+4b+4/2_4=0,

对于A,B,当左='时，C的方程是12尤+4=0,故A正确；

此时圆心。(6,0),半径厂=4收，又以为直径的圆圆心为(0,0),半径为2,圆的方

程为/+产=4,

2

所以两圆方程作差可得公共弦长所在直线方程为：x=-,

故公共弦长2j4_（g_0；=手，故B不正确；

对于C,由于方程C为（r-1卜2+伊一1.2-（4/+4b+4左2_4=0,则此时圆心坐标为

I"1

当0〈人＜1时，2父+2=2/—1）+4=2+（1*2），则圆C的圆心在线段山的延

H-1k2-]k2-]'，'

长线上，故C正确;

2k2+2

对于D,由于以48为直径的圆方程为/+F=4,圆C的圆心为,0,半径为

k2-l

n4k

Fl'

当0〈斤＜1时，，因为圆C的圆心在线段创的延长线上,

吁2一一-44

1M2一在

斤2-1后2一1一2k2-l

4k24k4MI)44k4(一),

贝U忸C|-R=2=2<0,|^C|-7?=22=0,

\-k21-k]-kl-k~\-k\-k2

故点3在圆C内，A在圆C外，即此时以为直径的圆始终与C相交;

当左＞1时，2£+2=2（£-1）+4=2+C的圆心在线段43的延长线

左2—1左2—1左2_1L）

上，

又忸C|=^^+2=4k22〃+24

1国=

7k21k2-lk2-1k2-l

4k24k4MI)44k_4(1)<

贝U忸C|-R=2>0,|^C|-7?=0,

k2-rk2-ik-lk2-]k2-l~F-l

故点3在圆C外，A在圆C内，即此时以NB为直径的圆始终与C相交;

综上，以为直径的圆始终与C相交，故D正确.

故选：ACD.

11.【正确答案】BD

【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴

确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球。，球外的截面大圆，如图，

点48分别为圆Q,Q与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段"N是椭圆长

轴，

可知椭圆C的中心(即线段的中点)不在直线。。2上，故A错误;

椭圆长轴长2。=\MN\=\MF\+\FN\^\MF\+\ME\=\MB\+|M4|^\AB\,

过■作U。'。/于D,连O[B,显然四边形/BO?。为矩形，

又D同=1，|。/=3,|00』=4/2,

贝"2a==|Q4=J|QQ『-以邛=J(V2)2-1=iTl,

过Q作aCLQE交QE延长线于C,显然四边形C£尸仪为矩形,

椭圆焦距2c=|EF|=eq=J|QQ『-|qq2=J(-4=4故B正确;

V2

所以直线002与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为sin/caa=laC

laal2

故c错误;

所以椭圆的离心率2八c万4而二2『-J1，故D正确;

故选：BD.

12.【正确答案】如

【详解】因为点8是点4-3,2,-1)在坐标平面xOz内的射影,

所以5(-3,0,-1),得OB=(-3,0,-1),

所以画=J(-3)2+(-l)2=丽.

故而

13.【正确答案】(-V2,V2)

\TVI\

【详解】圆心(0,0)到直线X-N+加=0的距离为〃=",

若圆/+产=4上恰有4个点到直线》7+机=0的距离等于1,

则以,

所以d<r—1,解得-V2<»/<V20

所以加的取值范围是（-虚,0）.

故答案为.（-0,0）

14.【正确答案】21/0.2

【详解】

过点A作£尸,。>的垂线，垂足分别为M,N,贝!|/N=2,4M=4.

5-37-3

由四边形4BCD,48E尸均为等腰梯形得DN=——=1,FM=——=2,Affi=7-2=5.

22

AB//CD〃EF,：.AB'AN,AB'AM.

:平面48CD1平面/BE/，平面48CDn平面48,NNu平面/BCD,

4Vl平面ABEF.

'：AMu平面ABEF,；.ANLAM.

以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则40,0,0),5(3,0,0),D(-l,0,2),

现5,4,0),

；•AD=(-1,0,2),BE=(5,4,0)-(3,0,0)=(2,4,0),

由题意得，平面/3E尸的法向量为1=（0,0,1）.

ADW2_2A/5

设40与平面/3E尸所成角为6,贝ijsin。=|cos（NA〃

回悯后15

吟得，.sin。

由。£cos<7..tan0=----=2.

cos。

•••cos（而，码=当翟

AD\\BE5

.•.异面直线与3E所成角的余弦值为:

故2：y-

1---

15.【正确答案】（1）旃=］（〃+6+。）

(2)--

J4

【详解】(1)OG=OA+AG=OA+^^D

___2i_________i______

=OA+-x-(AB+AC)=OA+-(AB+AC)

—67+—(b-a+c-a)

1--一

——(Q+Z?+C)

(2)AD=^(AB+AC)=^(b-a+c-a)=^(b+i-2a),

BE=BO+OE=-b+—a,

2

BEAD=^-b\(b+c-25)

11一

-I-5-fo+-3-c-a2-b2-b-c+2a-b

222

1(5,11,1一1。1

——x2xlx—+—x2x2x--4—1—lx2x—

222222

5

4

16.【正确答案】(1)/+/—4x—2=0

(2)加=0,(X-3)2+(J-1)2=6.

【详解】(1)设经过圆Y+V—8、=0与圆、2+/=4的交点的圆的方程为:

x?+j/2—8x+A卜2+j；2—4)=0(Aw-1),

\24%+44+16

即为卜一告E=(1+"

高,。，代入…”0得，八1,

圆心为

所以。的方程为x2+y2-4x-2=0；

(2)由(加+l)x+(1-m)y-3-2m=0得,m{x-y-2)+x+y-3=0

所以直线/经过％7-2=0与x+y-3=0的交点,

x-y-2=0

由x+二=。,得交点尸

所以当PC，48时最短,

m+1

因为原C=l,所以七B=T=----7>解得机=0,

m-\

即直线/的方程为x+y-3=0

由⑴得C(2,0),半径7=遍,

设圆心C关于直线/的对称点C'(%,比),

%+2।风-3=0

22%=3

则,解得

=

%=-1y()i

%-2

所以。关于/对称的圆。'的方程为(x-3)2+(y-1>=6.

⑵存在,翁g

【详解】(1)在直三棱柱4AG中，AB=AC=AA1=2,ZBAC=90°f

以A为原点，直线/C,AB,44分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,

则Z(0,0,0),5(0,2,0),C(2,0,0),4(0,0,2),^(0,2,2),尸(1,1,1),M(0,l,0),

CP=(-1,1,1),CM=(-2,1,0),C4=(-2,0,2),

mCM=-2x,+y.=0

设平面4cM的法向量为访=Qi，yi，zD，则一一1，取再=1,得

m•CAX=-2x1+2z1=0

m=(1,2,1),

所以点P到平面4CM的距离d=生”|一1+2+1|_V|

\m\V63

（2）由（1）知，N（l,l,2）,设亚=4不=”1,1,0）,则。（2由,2）,PQ-(A-1,Z-1,1),

平面4cM的一个法向量为五=（1,2,1）,

由帚•历=2—1+22—2+1=0,得2=§,而尸平面4cA/,

所以存在点0,当婴=《时，P。〃平面4cM.

IVJ

18.【正确答案】（1）］+/=1

（2）证明见解析

【详解】（1）设。（x,y）,POo，y（））,则。（0,%）,

所以X=2X（）,y=y0,

因为点P在圆X?+/=1上，

所以

即E的方程为工+/=1;

4

（2）设过点a（2,l）的直线为y-l=Mx-2）,川西,必），c（x2,y2）,

y-l=k(x-2)

由＜，X?2，得(1+4左2)》2+(8左-16左2)x+16后2-16左=0,

彳-

所以A=（16