第07讲 拓展二：三角形中线角平分线方法技巧篇 精讲（解析版）

第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高频考点一遍过 2高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式） 2高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余） 8高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法）） 13高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余） 17第一部分：基础知识1、中线：在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）核心技巧：结论：1.2角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、角平分线如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，2.1内角平分线定理：核心技巧：或2.2等面积法核心技巧2.3角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;第二部分：高频考点一遍过高频考点一：中线长问题（方法一：中线向量形式）典型例题例题1．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.(1)求角B的大小；(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）若选①：根据正弦定理，化简得到，再由余弦定理得到，即可求解；若选②：由三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，化简得到，得到，即可求解；若选③：由正弦定理化简可得到，求得，即可求解.（2）根据向量的运算法则和基本不等式，化简得到，结合面积公式，即可求解.【详解】（1）解：若选①：在中，因为，由，可得，由正弦定理得，即，则，又因为，故.若选②：由，可得，所以，因为，所以.若选③：因为，正弦定理得，又因为，所以，即，因为，，所以，又因为，可得；综上所述：选择①②③，都有.（2）解：由，可得，所以，可得，当且仅当时取等号，

则，当且仅当时取等号，则的面积的最大值为.例题2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．(1)求；(2)若的面积为；①已知E为BC的中点，求底边BC上中线AE长的最小值；②求内角A的角平分线AD长的最大值．【答案】(1)(2)长的最小值为，的最大值【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出；（2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值.【详解】（1）由正弦定理，得，即，故，因为，所以，所以；（2）①由（1）知，因为的面积为，所以，解得，由于，所以，当且仅当时，等号取得到，所以；②因为为角的角平分线，所以，由于，所以，由于,所以，由于，又，所以由于，当且仅当时，等号取得到，故，故，例题3．（23-24高一下·安徽合肥·阶段练习）在中，内角的对边分别是，且，.(1)求角B；(2)若，求边上的角平分线长；(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可；（3）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【详解】（1）由及正弦定理得，即，即，所以，因为，所以.因为，所以.（2）由及余弦定理得，又，所以，由得，所以，所以，解得.（3）因为的的中点，所以，则，由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即边上的中线的取值范围为.练透核心考点1．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)已知是的中线，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题设等式利用正弦定理化角为边，结合和余弦定理即可求得；（2）利用三角形的中线表达式得到，两边平方后将其转化为边长和夹角的关系式，再利用重要不等式求得的最大值，最后借助于不等式性质即得.【详解】（1）因，由正弦定理，，由余弦定理，，又代入化简得，因，则（2）因是的中线，故,两边平方可得：，即，由（1）知，则，又因，即，当且仅当时等号成立，此时，即.故当时，的最小值为.2．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，角C为锐角，已知的面积为.(1)求c；(2)若为上的中线，求的余弦值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由三角形的面积公式和余弦定理求解即可；（2）因为为上的中线，所以，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求解即可.【详解】（1）由的面积为可得：，因为，，解得：得，由角为锐角得，故，解得.（2）因为为上的中线，所以，所以，，解得：.

故.3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求B；(2)若的中线长为，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；（2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得：，而，所以，化简得，因为，则，，即，所以，又因为，所以，即.（2）由是的中线，可知，所以，即，可得，即，当且仅当时，等号成立，所以三角形面积，即的面积的最大值为.高频考点二：中线长问题（中线分第三条边所成两角互余）典型例题例题1．（23-24高一下·辽宁沈阳·期中）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（

）A．3 B． C．1或2 D．2或3【答案】C【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式可得，在中由余弦定理可得，综上即可求解c【详解】由得，∴，∵，∴，即.在中，由余弦定理可得，整理得，在中，，∴，即（*），当时，（*）式可解得，；当时，（*）式可解得，；故选：C例题2．（23-24高三·河南郑州·阶段练习）在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得面积的最大值．【详解】设，，由于，在和中应用余弦定理可得：，整理可得：，结合勾股定理可得的面积：，当且仅当时等号成立．则面积的最大值为6．故选：A.例题3．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于．【答案】/【分析】将条件式，利用正弦定理角化边，再根据余弦定理求得，以为邻边做平行四边形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，设，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.【详解】由，得，，注意，得，得，记，由，知，如图，以为邻边做平行四边形，在中：，即，得，所以，故答案为：．法（2）：设，在中：①因为，则，由余弦定理可得，得②联立①②知：，即，解得，后面同上．故答案为：练透核心考点1．（23-24高一下·河北·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则中线AD的长为.【答案】【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可.【详解】如图，由余弦定理得，，又，两式相加得，即，化简得，所以.

故答案为：2．（23-24高一下·福建三明·期中）的内角的对边分别是．已知，，边上的中线长度为，则【答案】【分析】由已知条件结合余弦定理可得用，又由诱导公式得，从而再次利用余弦定理化简等式得到，由此得解.【详解】记的中点为，连接，如图，因为，，所以在中，，则，又因为，边上的中线长度为，即，故由余弦定理得，整理可得，所以.故答案为：.3．（23-24高一·全国·课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，，则BC边上的中线AD长度的最大值为．【答案】【分析】利用正弦定理将条件进行变形，结合三角形内角之和为π，可求得cosA，设AD＝x，由cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范围，从而求得x的取值范围．【详解】因为，由正弦定理可知：，又因为A+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB，则2cosAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，所以cosA，因为A∈(0,π)，所以，设AD＝x，又DB＝DC＝1，在△ADB，△ADC中分别有：cos∠ADB，cos∠ADC，又由于cos∠ADB+cos∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，在△ABC中，，即，因为b2+c2≥2bc，所以，从而b2+c2≤8，所以2x2+2≤8，解之得，（当且仅当b＝c时等号成立），所以BC边上的中线AD长度的最大值为，故答案为：．高频考点三：角平分线问题（等面积法（核心方法））典型例题例题1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于D，则【答案】【分析】根据余弦定理求得的长，再利用建立的等式，即可求得答案.【详解】在中,由余弦定理得，

则，即，解得，（负值舍），而平分，即，又，故，则.故答案为：例题2．（2024·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若是的角平分线，，的面积为，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换求解角度即可.（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列出方程，求解即可.【详解】（1）由及正弦定理得，，所以，因为，所以，又，所以（2）由，得，又，所以，由余弦定理得所以.例题3．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交BC于P点，.

(1)若，求△ABC的面积;(2)若，求BP的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可.【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，在中由余弦定理得，即①因，即，整理得②①②解得，所以.（2）因为，所以在中由余弦定理可得，所以解得，由正弦定理得，即，解得，所以，中由正弦定理得，则，解得，所以.练透核心考点1．（2024·福建龙岩·一模）在中，为上一点，为的角平分线，则.【答案】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式列式计算即得.【详解】由得，，解得.故答案为：2．（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，（2）由，可得，根据等面积法可求，由余弦定理即可求的值．【详解】（1）由可得故，进而，由于所以（2）由面积公式得，解得，，，即，，又，，．3．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）在中，角的对边分别是，且．(1)求；(2)若的角平分线交于点，且，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角，得到，再利用辅助角公式，得到，即可求出结果；（2）根据条件，利用，得到，且有，联立解出，即可求出结果.【详解】（1）在中，，由正弦定理可化简得，又，所以，化简得到，又在中，，所以，得到，即，所以，即，又，所以，得，即（2）由（1）知，又的角平分线交于点，且，所以，得到整理得到①，又在中，，得到②，联立①②解得所以的周长为.高频考点四：角平分线问题（角平分线分第三条边所成两角互余）典型例题例题1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．(1)求；(2)若点在边上，，且满足，求边长；请在以下三个条件：①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可；（2）由（1）问，分析边角关系，利用余弦定理等知识求解即可.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，由倍角公式可得，则，又因为，则，所以，即．且，则，可得，又因为，所以．（2）若选择①：若为的中线，设（），由余弦定理可得，，因为，可得，即，整理得，可知，又因为，解得或（舍去），所以；若选择②：若为的角平分线，则，在中，由余弦定理得，即，可知，即，可知，，所以；若选择③：若为的高线，则，则，即，则，可知，可知，,所以．练透核心考点1．（23-24高二上·辽宁·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于，则．【答案】【分析】由余弦定理求得，然后由角平分线定理求得，，再由余弦定理利用，求得．【详解】中，由余弦定理得，解得（舍去），是角平分线，则，所以，